2025届高考数学二轮复习大题专讲专练第39讲构造辅助函数的方法含解析

第39讲构造协助函数的方法
对于证明与函数有关的不等式、零点或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围,探讨一些方程解的个数等类型问题时,经常须要构造协助函数,并通过求导探讨其单调性或寻求其几何意义来解决.题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,解题的繁简程度也不同,所以为了构造出合理的函数,便利我们解题,我们须要遵循一大构造原则是“导函数可判定原则”. 所谓的“导函数可判定原则”就是所构造的函数,求导之后要能够判定出函数的正负号,从而探讨原函数单调性,假如无法判定导函数正负号,则说明原函数构造得有问题,须要重新构造. 本节会总结出一些常用的构造函数的方法,假如解题过程中求导很困难或者进行不下去就须要思索函数构造得是否合理,而且在解题过程中函数的构造方式有许多种,要选择合理的构造方式,而所要遵循的就是“导函数可判定原则”. 构造法一:移项作差构造函数
移项作差构造是我们最常用的方法,当试题中给出简洁的基本初等函数,例如
()()3,ln f x x g x x ==,进而证明在某个取值范围内不等式()()f x g x 成立时,可以通过移
项作差,构造函数()()()F x f x g x =-,进而证明min ()0F x 即可,在求最值的过程中,可以利用导数作为工具.
留意:下面的例题用到了隐零点相关的内容,读者假如有怀疑可以在看完后面隐零点部分的章节后再回来看.
【例1】已知函数()()
21e x
f x x =-,其中(),0,1a x f x ax ∈∀-R ,求实数a 的取值范围.
【解析】0x =时,不等式()1f x ax -为11--,对随意实数a 都成立.
当0x >时:0a >时,不等式()f x ax 1-化为()10f x ax -+,令()()g x f x =-1ax +, 则()()g x f x a '=-'.
由()()
221e x f x x x =+-',令()h x =()()()
2221e ,41e 0x x
x x h x x x +-='++>,
()h x ∴即()f x '在()0,∞+上单调递增,()()01f x f '>=-'. ()()01g x g a '>=-'∴-.
若10a --,即1a -,则()0g x '>在()0,∞+上恒成立,()g x 在()0,∞+上递增.
()()00g x g >=,不等式()1f x ax -+0成立.
若1a >-,由上探讨知存在00x >,使得()00g x '=,且当00x x <<时,()0g x '<,()g x 递减.
0x x >时,()()0,g x g x '>递增,()min 0()g x g x =.
而()00g =,因此00x x <<时,()g x <()()00,0g g x =不成立. 综上1a -.
【例2】已知函数()e x
f x x =(其中e 为自然对数的底数),求证:()1e ln 2
x f x x >+-
. 【解析】证明：要证()1e ln 2
x
f x x >+-
, 只需证明:()1
1e ln 02
x
x x --+
>对于0x >恒成立, 令()()11e ln 2x
g x x x =--+
,则()1e (0)x
g x x x x
=->'. 当0x >时,令()()1
e x
h x g x x x
'==-
, 则()()()211e 0,x
h x x h x x =++
>'在()0,∞+上单调递增,即()1e x
g x x x
=-'在()0,∞+上为增函数.
又2223
3322
3227e e 33
238g ⎡
⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥
=-=-< ⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎦
'⎣
()0,1e 10g -'=>. ∴存在02,13x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
使得()00g x '=.
由()0
200000
e 11e 0x
x x g x x x x -=-=='得 0
20e 1x x =,即020
1
e x x =
, 即0
0002ln ,ln 2
x x x x -==-
.
∴当()00,x x ∈时,()1
e 0x g x x x
=-
<',()g x 单调递减. 当()0,x x ∞∈+时,()1
e x g x x x
=-
>'()0,g x 单调递增. ()()0
min
000()1e ln x g x g x x x ∴==--+32000
0022
00
122112222x x x x x x x -++-=++=. 令()3222213x x x x x ϕ⎛⎫
=++-<<
⎪⎝⎭
, 则()2
2
132233x x x x ϕ⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭'503>
()x ϕ∴在2,13
⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增.
()022
0327
x ϕϕ⎛⎫∴>=> ⎪⎝⎭.
()()()
002
0,
2x g x g x x
ϕ∴=
>
()11e ln 02x x x ∴--+
>
()1
e ln .2
x f x x >+-即
构造法二：等价变形构造函数
通常我们对不等式移项构造出来的函数无法干脆判定导函数的正负号,所以须要利用不等式性质对所证不等式进行等价变形,先做一个简化,再构造函数,而简化的原则通常是“削减分式,去掉分母”,构造出一些常用的,可判定的函数.
【例1】设函数()1e x
f x -=-.证明:当x >1-时,()
1
x f x x +. 【分析】本题依旧考虑构造函数解决不等式,但假如仅仅是移项,则所证不等式为1-
e 01x x x --
+,令()1e 1
x x
g x x -=--+,其导函数比较困难,不简洁求出函数最值,所以考虑先对不等式进行等价变形再构造,转变为形式较为简洁的不等式,再构造函数进行证明,这个也就
是导函数可判定原则. 【解析】证明：1111e 1e 1x x x x x x -
⇔-⇔++11
.e
1x
x +
1,x >-∴所证不等式等价于e 1e 10x x x x +⇔--
设()e 1.x
g x x =--
∴只需证min?()0g x 即可
()e 1,x g x =-'令()00g x x >⇒>'，令()010g x x <⇒-<<',
()g x ∴在()1,0-上单调递减,在()0,∞+上单调递增. ()()()min ()00,00g x g g x g ===,
故不等式得证.
【例2】已知函数()1
1x e f x ax x
-=--()a ∈R ,若对随意的()()0,,0x f x ∞∈+>恒成立,求a 的取值范围.
【解析】()()0,0,,0x x f x ∞>∴∈+>恒成立转化为2
e 10x
ax x --->在0x >上恒成立.
设()2
e 1(0)x
h x ax x x =--->,
()e 21x h x ax ∴'=--.
设()()e 21(0)x
x h x ax x ϕ=='-->,
()e 2x x a ϕ=-'∴.
①当1
2
a
时,()0x ϕ'>, ()x ϕ∴在()0,∞+上单调递增. ()()00x ϕϕ∴>=,即()0h x '>. ()h x ∴在()0,∞+上单调递增.
从而()()00h x h >=,即对随意的x ∈()()0,,0f x ∞+>恒成立.
1
2
a
∴符合题意. ②当12
a >
时,由()e 20x
x a ϕ=-='得()ln 2x a =, 令()()0,0ln 2x x a ϕ<∴<<'. 令()()0,ln 2x x a ϕ>∴>'.
∴函数()x ϕ在()()0,ln 2a 上单调递减,在()()ln 2,a ∞+上单调递增. ()()()()ln 2212ln 2x a a a a ϕϕ∴=--. ()()()ln 221h x h a a ∴='--'()2ln 2a a .
设()1ln (1)t x x x x x =-->,
()ln 0t x x ∴='-<.
()t x ∴在()1,∞+上单调递减.
()()()()10.ln 20t x t h a ∴'<=∴<.
()00,x ∞∴∃∈+,使得()00h x '=.
∴当()00,x x ∈时,()0h x '<,函数在()00,x 上单调递减.
()()000,0,h x x =∴∈时,()0h x <.
1
2
a ∴>
时不符合题意. 综上,a 的取值范围为12
a
. 构造法三:拆分转化构造函数
有些函数经干脆移项作差构造出来的新函数,求导后无法干脆推断导函数的正负号,变形后也不行,则须要利用不等式性质对所证不等式拆分为()()f x g x >的形式,若能证明
min max ()()f x g x >,即可得()()f x g x >.本方法的优点在于对x 的项进行分割变形,可将较困
难的解析式拆成两个简洁的解析式.但缺点是局限性较强,假如min ()f x 与max ()g x 不满意
min max ()()f x g x >,则无法通过这种方式证明()()f x g x >.
【例1】求证：
()120,,ln 1e e x x x x ∀∈+∞+>
-
.
【分析】所证不等式12ln 1e ex x x +>
-,若都移到左边构造函数,则函数12ln 1e ex
x y x =+-+,很难分析单调性,进而无法求出最值.本题考虑在两边分别求出最值,再比较大小即可.
【解析】
122ln 1ln .e e e e
x x x x x x x x 解+>
-⇔+>- 设()()ln ,1ln 1ln 2p x x x x p x x x =+=+='++. 令()()()22110,00,e e p x x p x x p x '>⇒>'<⇒<<∴在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,在21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
单调递增.
()min 2211()e e p x p x p ⎛⎫
∴==- ⎪⎝⎭
.
设()()()2e ,1e e
x x
q x x q x x --=--'=.
()q x ∴在()0,1单调递增,在()1,∞+单调递减.
()()max 1
()1e
q x q x q ∴==-.
()min max ()().0,p x q x x ∞∴>∴∀∈+, ()()min max ()()p x p x q x q x >. ()()p x q x ∴>,所证不等式成立.
【例2】设函数()1
ln f x x t x x
=-
-，其中()0,1,x t ∈为正实数. (1)若不等式()0f x <恒成立,求实数t 的取值范围.
(2)当()0,1x ∈时.证明:2
1
1e ln x x x x x
+-
-< 【解析】(1)由题意得()222
11
1t x tx f x x x x -+=+-='
设()2
1(01)h x x tx x =-+<<,则2Δ4,0t t =->
①当2
40t -时,即02t <时,()0f x '
∴函数()f x 在()0,1上单调递增,()()10f x f <=,满意题意.
②当2
40t ->时,即2t >时,则()h x 的图像的对称轴12
t
x =
>. ()()01,120h h t ==-<,
()h x ∴在()0,1上存在唯一实根,设为1x ,则当()10,x x ∈时,()()0,0h x f x >>'.
当()1,1x x ∈时,()()0,0h x f x <<'.
()f x ∴在()10,x 上单调递增,在()1,1x 上单调递减.
此时()()max 110f f x f =>=,不合题意.综上可得,实数t 的取值范围是(]
0,2. (2)(证明)321e ln x
x x x x x +--<等价于()
()211e ln x x x x x
-+<.
()0,1,ln 0x x ∈∴<.
∴原不等式等价于
21e ln 1
x
x x x x ->+. 由(1)题知当2t =时,1
2ln 0x x x --<在()0,1x ∈上恒成立,整理得
212ln x x x
->. 令()e (01)1x
m x x x =<<+,则()2
e 0(1)x x m x x '=>+ ∴函数()m x 在区间()0,1上单调递增.
()()2e 1122ln x m x m x x -∴<=<<,即21e ln 1
x
x x x x ->+在()0,1上恒成立.
∴当()0,1x ∈时,恒有21
1e ln x x x x x
+--<
构造法四：整体代换构造函数
在处理函数时,假如函数有相同的部分,或者可以凑出相同的部分,则可以整体代换达到简化函数的目的,进而提高运算效率.这里我们常用的一个变形结构是ln e e x
x x
x +=,令ln t x x
=+来实现指对互化的整体代换.
【例1】已知函数()()2ln 21f x x x =+-,求证:()()2121e x f x x --.
【解析】证明：令210t x =->,要证()
()2121e x f x x --,即证1ln t t t
te ++,其中0t >,构
造函数()e ln 1t
g t t t t =---,其中()()()110,1e 11t t t g t t t e t t ⎛⎫⎛⎫>=+-+=+- ⎪ ⎪⎭
⎝'⎝
⎭
令()1e t t t ϕ=-,其中0t >,则()2
1
e 0,t
t t ϕ=+
>∴'函数()t ϕ在()0,∞+上单调递增
. ()()000000120,1e 10,
2
11,1,e 0,e 1.2t t t t t t 存在使得即ϕϕϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
⎛⎫
∴∈=-== ⎪⎝⎭
当00t t <<时,()0t ϕ<,即()0g t '<,此时函数()g t 单调递减. 当0t t >时,()0t ϕ>,即()0g t '>,此时函数()g t 单调递增.
()()
0000min 00000()e lne ln 1e ln e 1110t t t t g t g t t t t t ∴==---=--=-=.∴所证不等式成立.
【例2】设0x >.证明()1:1x
f x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
是增函数，且()f x e <（e 为自然对数的底数）
【解析】证明：设()()()1ln ln 1ln 1ln (0)m x f x x x x x x x ⎛⎫
⎡⎤==+=+-> ⎪⎣⎦⎝⎭
, 则()11ln 11ln 111x x x m x x x
x x +'⎛⎫
=++-=+- ⎪++⎝⎭
令
(01)1x t t x =<<+,则1ln ln x t x
+=-,设()()1ln m x h t t t ==--'. 由对数不等式(见10.2.2一节)可知()0h t (1t =时取等号),
()0h t ∴>,即()0m x >,
0x ∴>时,()m x 是增函数,而ln y x =也是增函数,
0x ∴>时,()11x
f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
是增函数. 要证明()e f x <等价于证明()ln f x <1,即证1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,即证11
ln 1x x
⎛⎫+< ⎪⎝⎭, 设11k x +
=,则1
1(1)k k x
=->,即证ln 1(1)k k k <->. 由对数不等式(见10.2.2一节)可知ln 1k k -,当且仅当1k =时取等号. 1k >,
ln 1k k ∴<-,即()e f x <成立.
【例3】已知函数()()ln ,x
f x xe a x x a R =-+∈,若()f x 有两个零点,求实数a 的取值范围。

【解析】记ln t x x =+,则ln t x x =+在()0,∞+上单调递增,且t ∈
.
()()()()ln x ln e ln e x x x t f x e a x x a x x at g t +∴=-+=-+=-=.
()f x ∴在0x >上有两个零点等价于()t g t e at =-在t R ∈上有两个零点.
(1)在0a =时,()e t
g t =在R 上单增,且()0g t >,故()g t 无零点.
(2)在0a <时,()e t
g t a '=-在R 上单调递增,又()1
1010,e 10a g g a ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭
,故()g t 在
R 上只有一个零点.
(3)在0a >时,由()0t
g t e a =-='可知,()g t 在ln t a =时有唯一的一个微小值
()()ln 1ln g a a a =-.
若()min 0e,()1ln 0a g t a a <<=->,()g t 无零，点;若()min e,()0,a g t g t ==只有一个零点;若e a >时,()min ()1ln 0g t a a =-<. 而()010g =>,由于()ln x f x x
=
在x e >时为减函数,可知:e a >时,e 2
e a a a >>.从而
()()2e 0,a g a a g x =->∴在()0,ln a 和(ln a ,)∞+上各有一个零点.
综上,e a >时()f x 有两个零点,即实数a 的取值范围是()e,∞+.
构造法五:同构替换构造函数
在导函数中,有一部分不等式问题的左、右两边是由同种结构的函数构成,我们解决这一类问题就须要找到同构式,构造原函数,利用单调性简化不等式,进而解决问题,这一方法,称之为同构法,如,若()0F x 能等价变形为()()f g x f h x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,然后利用()f x 的单调性,[若递增,再转化为()()]g x h x ,这种方法我们就可以称为同构不等式(等号成立时,称为同构方程),简称同构式.
【例1】求证:当0x >时,()
e 1ln(x x -+1)2
x >. 【解析】证明：要证()
()2
e 1ln 1x
x x -+>,只需证
()ln 1e 1
x x x
x
+>
-,只需证()
()
ln e 11ln 1e 1
x
x x x ⎡⎤-++⎣⎦>-. 设()()ln 1x g x x +=,只需证()()1x
g x g e >-.
则()()()()()22
ln 11ln 1
11x
x x x x x g x x x x
-+-+++==+', 令()()()1ln 1t x x x x =-++,则()()()()()ln 10,00,0t x x t x t g x '=-='+<<<,
()g x ∴在()0,∞+单调递减.故只需证e 1x x <-即可.
设()e 1x
k x x =--,则()()()e 10,00x
k x k x k '=->>=.
∴原不等式成立.
【例2】知函数()3
e x
f x -=,若1a >,ln x a >时,()ln ln 3x a f x a -⎛⎫
<-
⎪⎝⎭
恒成立,求实数a 的取值范围. 【解析】
()3ln ln ln e 3x x a a ---<-,
()3ln ln ln e 3x x a x a x -∴-+-<+-.
()()ln ln 3e ln ln e 3x a x x a x --∴+-<+-.
令()e x
h x x =+,则()()
()ln ln 3h x a h x -<-恒成立.
()e 10x h x =+'>恒成立,()e x h x x ∴=+在R 上单调递增. ()ln ln 3x a x ∴-<-恒成立.即33ln e ,ln e x x x a a x ---<>-
即恒成立.
由构造函数可知3
e
x x --的最大值为2,
所以ln 2a >,【解析】得2
e a >, 所以实数a 的取值范围为()
2e ,∞+.
【例3】已知函数()()1
e x
f x a a R -=∈,当1a
时,求证:当0x >时,()ln ln 1f x x a -+恒成
立.
【解析】证明：要证1ln ln 1x ae x a --+对x >0恒成立, 只需证1e ln ln 1x a a x -++对0x >恒成立, 即证ln 1e ln ln 1a x a x +-++对0x >恒成立. 两边同时加()1x -,即证ln 1
e ln 1ln a x x a x x +-++-+,对0x >恒成立.
即证()ln 1
ln e
ln 1ln a x x x a x e +-++-+,对0x >恒成立.
设()e x
g x x =+,则()1e 0x
g x =+>',
()y g x ∴=是单调递增函数.
只需证ln 1ln a x x +-,即ln ln 10x x a -+-对0x >恒成立. 设()ln ln 1h x x x a =-+-,则()11h x x
'=-
. ()h x ∴在()0,1单调递减,在()1,∞+单调递增. ()min ()1ln h x h a ∴==.
∴当1a 时,()0h x 成立.
∴当1a 且0x >时,()ln ln 1f x x a -+恒成立.。