永磁同步电机混沌现象的控制仿真

永磁同步电机混沌现象的控制仿真
永磁同步电动机(PMSM)在某些参数及工作条件下会出现混沌运动，表现为转矩和转速的间歇振荡、控制性能的不稳定、系统不规则的电磁噪声等。

这种混沌现象严重影响了永磁同步电动机(PMSM)的稳定工作，控制和消除此种混沌现象已经成为这一领域的一个重要课题。

研究和解决永磁同步电动机(PMSM)在运动当中的混沌现象对提高永磁同步电机(PMSG)的稳定性、可靠性等重要性能有这深远的意义。

同步永磁直流电机的数学模型
在dq 同步旋转坐标系下建立的同步永磁直流电机（PMSM ）的数学模型为：
1
q d a d e q d d d d L di R i i u dt L L L ω=-++011
()q a d q e d q q q q q
di R L i i dt L L L L ωλ=-
-++1
()g e w m g eq
d T T B dt J ωω=
--(1)
式中，d i 和q i 分别为发电机的d 轴和q 轴电流，d L 和q L 分别为发电机的d 轴和q 轴电感，a R 为发电机的定子电阻，e ω为发电机的电角频率，=e p g n ωω，p n 为风力发电机转子的极对数，0λ为永磁体的磁链，d u 和q u 分别为g u 的d 轴和q 轴分量，eq J 为风电机组的等效转动惯量，m B 为转动粘滞系数，e T 为发电机电磁转矩，
g ω为发电机转子的转速，且有g ω=w ω。

由以上式子，直驱式永磁同步电机的电磁转矩表达式可以化简为：
1.5e p d T n i λ=（2）
对(2-1)式中直驱式永磁同步风力发电机的数学模型进行进一步的分析。

假设发电机d 轴和q 轴电感是相等的，即d L =q L =l ，经过无量纲变换的均匀气隙的PMSM 数学模型为：
d
d g q d di i i u dt
ω=-++
q q g d g q di i i u dt ωγω=--++()g q g w
d i T dt
ωσω=--（3）
(2-3)式当中，d i ，q i ，g ω，分别为经过变换的直轴电流、交轴电流和发电机的角速度。

d u ，q u 和w T 分别为经过变换的d 轴和q 轴电压和电机的转矩，σ和γ为系统参数。

以(2-3)式为基础，令x=d i ，y=q i ，z=g ω，则(3)式可以写成：
d dx
x yz u dt
=-++q dy
y xz z u dt
γ=--++()w dz
y z T dt
σ=--(4)
以上(4)式即是同步永磁直流电机（PMSM ）的数学模型，接下来本文将使用
这个模型分析同步永磁直流电机（PMSM ）的混沌现象并设计控制器。

混沌现象的产生和仿真
设d u =0，q u =0，w T =0，此时电机相当于运行一段时间后，突然停止的状态。

在此情况下，取=5.46σ，=20γ，在此情况下，系统的李雅普诺夫指数为一个负值，一个零值，还有一个负值，且其李雅普诺夫指数之和为一负值，因此系统表现出混沌运动的状态。

将参数带入方程后，如式(5)式所示。

x
x yz =-+ 20y
y xz z =--+ 5.46()z
y z =- (5)
用matlab 采用龙格库塔算法求解微分方程，得到系统的相轨迹图像如图1。

由图可知，系统此时出现混沌现象。

混沌吸引子如下图所示:
图1：混沌吸引子仿真图
由线性反馈法设计控制器
在本系统当中，三个变量分别为永磁同步风电机的定子、转子电流和角速度，而角速度又与转速成正比关系。

由于实际应用的需要，本控制器重点研究对角速度的控制，对于任意临近混沌吸引子的点0z ，根据混沌轨道的遍历性，式(9)的系统能到达点0z z =，而此时系统处于不稳定的状态，如果不对系统进行进一步的控制，系统不会停留在点0z z =处,为了使系统稳定在期望点0z z =上，三个变量x,y,z 必须同时满足下列关系式：
*
*
*
x
x
x
dx
dy dz dt
dt
dt
=
=
=(6)
其中，*x 表示系统的平衡点。

在式(9)表示的系统当中，加入控制输入1u ，2u ，3u 后，得到新的系统如下：
1x
x yz u =-++ 220y
y xz z u =--++ 35.46()z
y z u =-+ (7)
设置期望角速度为0z z =，则代入式(7)计算得到平衡点*x 为：
2*
00
022002020(,,)
11
z z x z z z =++(8)
因此，根据系统的要求，设计控制器如下：
2
012020()
1
z u k x z =-+0
22
020()1
z u k y z =-
+0
3002020() 5.46()1
z u k z z z z =-+-
+(9)
将控制器代入系统中，得到受控系统为：
2
02020()1
z x
x yz k x z =-++-+ 0
2
02020()1
z y
y xz z k y z =--++-+ 0
30020205.46()() 5.46()1
z z
y z u k z z z z =-+=-+-+ (10)
由以上计算，得到了加入控制输入后的系统，接下来对控制器的参数进行计算，使控制器能够消除永磁同步风力发电机中的混沌运动，并且能够使发电机系统的转子角速度稳定在期望值上。

控制器参数的计算
本文采用将系统的李雅普诺夫指数变为负值的基础思想设计控制器，接下来要考虑李雅普诺夫指数的问题来确定k 的范围。

受控系统(10)的雅可比矩阵为：
00
202
*
0020201120()12010 5.46 5.46z k z z z A x z k
z k ⎛
⎫-+ ⎪
+ ⎪ ⎪=--+- ⎪
+ ⎪ ⎪
-+ ⎪⎝
⎭
(11)
矩阵*()A x 的特征方程为：
22
2
2
00022002020(1)( 5.46)( 5.46) 5.46 5.46(1)(20)0
11
z z k k z k k z z λλλλ+-+-++-+++--=++(12)
将式(12)展开得：
2
3
2
2
200
2020[(5.46)2(1)][2(1)(5.46)(1) 5.46(20)]1
z k k k k k z z λλλ
+-+-+--+-++-++222
2
00022002020(1)(5.46) 5.46(5.46) 5.46(1)(20)011
z z k k z k k z z --++-+--=++(13)
取λ的二次项，一次项，零次项系数分别等于1θ，2θ，3θ，则：
1(5.46)2(1)
k k θ=-+-2
2
2
02020202(1)(5.46)(1) 5.46(20)
1
z k k k z z θ=--+-++-+222
2
003022002020(1)(5.46) 5.46(5.46) 5.46(1)(20)
11
z z k k z k k z z θ=--++-+--++(14)
由劳斯-赫尔维兹判据可知，当满足
10θ>，20θ>，30θ>123
θθθ>(15)
的时候，特征方程的特征根和复特征根的实部均为负值，此时系统收敛稳定。

因此，要使得受控系统收敛，需使其特征根均为负值，由式(15)计算出k 的范围为：
2.48
3.437.077.07k k k k <⎫
⎪
<-→<-⎬⎪<-⎭
(16)
因此，设计控制器时，需要使k 的范围满足7.07k <-。

加入线性反馈控制器后的仿真结果
仍旧设定系统的初始条件为x(0)=y(0)=z(0)=1，=5.46σ，=20γ，设置系统的期望值z 0=15，控制器参数k=10，对被控系统(5)进行仿真，得到以下仿真结
果。

图2受控系统的三维相图图3受控系统的x变量时间响应图
图4受控系统的y变量时间响应图图5受控系统的z变量时间响应图
其中，从图2可以清楚地看到，原来混沌系统的奇异吸引子已经消失了，并且收敛到了一个点上。

图5里，z变量的终值稳定在预设的z0=15处，而且响应时间很短，满足了控制要求。

因此说明本文设计的控制器对于直驱式永磁同步风力发电机系统的控制是有效的。

仿真程序见附录。

附录
function dy=kzhs1(t,y)
dy=zeros(3,1);
u=zeros(3,1);
ud=0;
uq=0;
tw=0;
sigma=5.46;
gamma=20;
k=-10;
z0=15;
u(1)=k*(y(1)-20*(z0^2)/((z0^2)+1));
u(2)=k*(y(2)-20*z0/((z0^2)+1));
u(3)=k*(y(3)-z0)+sigma*(z0-20*z0/((z0^2)+1)); dy(1)=y(2)*y(3)-y(1)+ud+u(1);
dy(2)=-y(2)-y(1)*y(3)+uq+gamma*y(3)+u(2); dy(3)=sigma*(y(2)-y(3))-tw+u(3);
[t,y]=ode45('kzhs1',[010],[1,1,1]);
figure(1);
plot(t,y(:,1));
title('变量x');
figure(2);
plot(t,y(:,2));
title('变量y');
figure(3);
plot(t,y(:,3));
title('变量z');
figure(4);
plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3));
title('系统三维相图');。