高二数学直线、平面和简单几何体的综合提高知识精讲

高二数学直线、平面和简单几何体的综合提高
【本讲主要内容】
直线、平面和简单几何体的综合提高
空间的线线、线面、面面的位置关系，以及几种最基本的简单的几何体。

在位置关系中着重研究的是平行和垂直关系。

【知识掌握】
【知识点精析】
1. 空间元素的位置关系
空间元素间位置关系
两条直线位置关系
平行
相交
斜交
垂直
异面
直线与平面位置关系
直线在平面内
平行
相交
斜交
垂直
两个平面位置关系
平行
相交
斜交
垂直
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎪
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⎧
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⎧
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⎪
2. 平行、垂直位置关系的转化
3. 空间元素间的数量关系
（1）角
①相交直线的夹角；
②异面直线所成的角——转化为相交直线夹角；
③直线与平面所成的角——斜线与斜线在平面内射影的夹角；
④二面角——利用二面角的平面角来度量。

（2）距离
①两点间的距离——连接两点的线段长；
②点线距离——点到垂足的距离；
③点面距离——点到垂足的距离；
④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离；
⑤异面直线间的距离——公垂线段长；
⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离；
⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离；
⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆的劣弧长。

【解题方法指导】
1. 用类比的思想去认识线面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间关系。

2. 注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立体几何问题平面化。

3. 注意平行、垂直间的转化关系。

4. 在直接证明有困难时，可考虑间接证法，如同一法和反证法。

5. 求角与距离的关键是化归。

即空间距离与角向平面距离与角化归，具体方法如下：
（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。

（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为求三棱锥的高，即等体积法。

（3）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。

方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角θ，构造一个含θ的三角形，解三角形即可。

方法二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ。

（4）求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（斜足除外）作平面的垂线，再连结垂足和斜足（即直线在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。

（5）求二面角，一般有直接法和间接法两种。

所谓直接法求二面角，就是作出二面角的平面角来解。

其中有棱二面角作平面角的方法通常有：①根据定义作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平面角；③利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角先作出棱后同上进行。

间接法主要是投影法：即在一个平面α内的图形面积为S，它在另一个
平面β内的射影面积为S'，这两个平面所成角的余弦
' cos
S
S
=
θ。

求角和距离问题的基本步骤是作、证、指、算。

此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。

6. 割补法。

它是通过“割”与“补”等手段，将棱台、圆台及不规则的几何体转化为棱锥、圆锥及其它规则的几何体，是一种常用的转化方法。

7. 正棱锥的计算问题。

应抓住四个直角三角形和两个角。

四个直角三角形，即正棱锥的高、侧棱及其在底面内的射影、斜高及其在底面内的射影、底面边长的一半可以组成四个直角三角形。

两个角，即侧棱与底面所成的线面角，侧面与底面所成的二面角。

8. 关于等积变换问题。

用等积变换求体积或求点到平面的距离，都是在基本几何体——四面体和平行六面体中进行的。

这是因为这些几何体变换底面后，计算体积的方法不变，几何体仍为四面体和平行六面体，这样，我们就可以选择适当的面为底面，使计算简单、易行。

若几何体本身不是四面体或平行六面体，则需先将其分成几个四面体或平行六面体之后，再施行等积变换。

用等积变换求点到平面的距离，是用两种不同的体积计算方法，来建立所求距离的方程，使问题得解。

异面直线间的距离，可转化为点到平面的距离，因此也可用等积变换求解。

用等积变换求距离，可绕过距离的作图，从而降低了解题的难度。

例1. （2003年全国高考题文）如图，已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，AA 1＝2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点。

（1）求证：EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离。

思路：根据公垂线定义，转化为证明线线垂直；求点到平面的距离，利用等体积法进行转化。

证明：（1）如图，取BD 中点M ，连结MC 、FM ∵F 为BD 1中点，∴FM ∥D 1D 且FM =1
2
1D D 又EC CC =
1
2
1且EC ⊥MC ∴四边形EFMC 是矩形，∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1，∴EF ⊥面DBD 1 ∴BD 1⊂面BDD 1，∴EF ⊥BD 1 ∴EF 为BD 1与CC 1的公垂线。

解：（2）连结ED 1
由（1）知EF ⊥面DBD 1
设点D 1到面BDE 的距离为d 则V V D DBE E DBD 三棱锥三棱锥11--=
∴
131
3
1····△△S d S EF DBE DBD = ∵AA AB 121==，
∴BD BE ED EF ====
222
， ∴S S DBD DBE △△××，××1
12222123223
2
2====
() ∴点D 1到面BDE 的距离为
2
3
3。

点评：解决本题的关键是把握住正四棱柱的特征，恰当使用转化法进行证明与求解。

例2. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，并且PD ＝a ，PA ＝PC =
2a
（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；
（2）求异面直线PB 与AC 所成的角； （3）求二面角A －PB －D 的大小。

思路：利用数量关系的特殊性推导位置关系是本题的关键；第二问求异面直线所成的角实际是证明垂直；第三问采用三垂线定理的逆定理来求二面角的平面角。

解：（1）∵PC ＝2a ，PD ＝DC ＝a
∴△PDC 是直角三角形，∴PD ⊥PC
同理PD ⊥AD ，而AD DC ＝D ，∴PD ⊥平面ABCD （2）如图，连BD ，因为ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC
又PD ⊥平面ABCD
∴BD 是PB 在平面ABCD 内的射影 由三垂线定理，得PB ⊥AC ∴PB 与AC 所成的角为90°。

（3）设AC BD ＝O ，作AE ⊥PB 于E ，连OE ∵AC ⊥BD 又PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ∴PD ⊥AC 而PD BD ＝D ，∴AC ⊥平面PDB ∴OE 是AE 在平面PDB 内的射影 由三垂线定理的逆定理知OE ⊥PB ∴∠AEO 是二面角A －PB －D 的平面角 又AB ＝a ，PA =
2a ，PB ＝3a
∵PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥AB ，∴PA ⊥AB 在Rt △PAB 中，AE PB PA AB ··=
∴AE a AO a =
=23
22，又
∴sin ∠AEO AO AE =
=
3
2
，∴∠AEO ＝60° ∴二面角A －PB －D 的大小为60°。

点评：通过本题需要掌握数量关系与位置关系的相互转化以及三垂线定理及其逆定理在证明垂直关系时的重要作用。

【考点突破】
【考点指要】
近年的高考解答题中对本章考查多以简单几何体尤其是棱柱、棱锥为依托，借助其丰富的线、面关系，考查平行和垂直关系的证明、空间角、距离和体积的计算。

填空题和选择题中对本章的考查多为空间线面关系的分析讨论、球体的相关计算以及综合题等新题型。

本章题目对学生的空间想象能力、计算能力提出很高的要求。

【典型例题分析】
例1. （2002年京皖春）在三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，且AC ＝BC ＝5，SB =55。

（1）证明：SC ⊥BC ；
（2）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小； （3）求三棱锥的体积V S －ABC 。

（1）证明：∵∠SAB ＝∠SAC ＝90° ∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC 又∵AB AC ＝A ∴SA ⊥平面ABC
∵∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ∴SC ⊥BC （三垂线定理） （2）解：∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC
∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角
在Rt △SCB 中，BC ＝5，SB =55，得SC SB BC =-=2210
在Rt △SAC 中，AC ＝5，SC ＝10，cos ∠SCA AC SC =
=1
2
∴∠SCA ＝60°即侧面SCB 与底面ABC 所成二面角为60°。

（3）解：在Rt △SCA 中 ∵SA SC AC =-=-=222210553
S AC BC ABC △·××=
==121255252 ∴V S SA S ABC ABC -===131325353125
6
3··×
×△
例2. （2005年浙江）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kPA ，点O 、D 分别是AC 、PC 上的中点，OP ⊥底面ABC 。

（1）求证：OD ∥平面PAB ； （2）当k =
1
2
时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小； （3）当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰为△PBC 的重心？ 解析：（1）∵O 、D 分别为AC 、PC 的中点 ∴OD ∥PA ，∵PA ⊂平面PAB ∴OD ∥平面PAB
（2）∵AB ⊥BC ，OA ＝OC ，∴OA ＝OB ＝OC 又∵OP ⊥平面ABC ∴PA ＝PB ＝PC
取BC 中点E ，连结PE ，则BC ⊥平面POE 作OF ⊥PE 于F ，则OF ⊥平面PBC ，连结DF ∴∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角 又OD ∥PA
∴PA 与平面PBC 所成角的大小等于∠ODF 在Rt △ODF 中，sin ∠ODF OF OD =
=
210
30
∴PA 与平面PBC 所成的角为arcsin
210
30。

（3）由（2）知，OF ⊥平面PBC ， ∴F 是O 在平面PBC 内的射影
∵D 是PC 的中点，若点F 是△PBC 的重心，则B 、F 、D 三点共线 ∴直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD 由OB ⊥PC ，得PC ⊥BD ，PB ＝BC ，即k ＝1
反之，当k ＝1时，三棱锥O －PBC 为正棱锥， 故O 在平面PBC 内的射影是△PBC 的重心。

点评：本题主要考查空间线面关系及空间想象能力和推理运算能力。

例3. （2003年北京）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为3，侧棱AA 13
2
3=，D 是CB 延长线上一点，且BD ＝BC 。

（1）求证：直线BC 1∥平面AB 1D ； （2）求二面角B 1－AD －B 的大小； （3）求三棱锥C 1－ABB 1的体积。

思路：欲证线面平行先证线线平行；三垂线定理求二面角的平面角；利用体积变换求四面体的体积。

（1）证明：∵CD ∥C 1B 1，又BD ＝BC ＝B 1C 1 ∴四边形BDB 1C 1是平行四边形
∴BC 1∥DB 1，又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ∴直线BC 1∥平面AB 1D
（2）解：如图，过B 作BE ⊥AD 于E ，连EB 1， ∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD
∴∠B 1EB 即为二面角B 1－AD －B 的平面角 ∵BD ＝BC ＝AB
∴E 是AD 的中点，BE AC =
=1232
在Rt △B 1BE 中，tan ∠B EB B B BE
113
2
3
32
3===
∴∠B 1EB ＝60°
即二面角B 1－AD －B 的大小为60°。

（3）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵S S ABB AA B △△111=
∴V V V S AA C ABB C AA B A A B C A B C 111111111111
3
1---===··△ 8
27
233)343(
312=
=××· ∴三棱锥C 1－ABB 1的体积为
27
8。

点评：解决本题的关键是掌握证明线面平行和求二面角的一般方法，以及体积变换法求有关体积问题。

【综合测试】
一. 选择题：
1. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 为异面直线A 1D 和AC 的公垂线，则直线EF 与BD 1的关系是（ ）
A. 异面直线
B. 平行
C. 相交且垂直
D. 相交且不垂直 2. 有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一平面与b 都不垂直。

其中正确的命题的个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3. 对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：①与a 是异面直线；②与a 所成的角为定值θ；③与a 的距离为定值d 。

那么，这样的直线b 有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
4. 设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题： ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ②若a ∥α，a ∥β，则α∥β； ③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β。

其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1
C. 2
D. 3
二. 填空题：
5. 命题A：底面为正三角形，且顶点在底面内的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，___________的三棱锥是正三棱锥。

6. 长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为______________。

三. 解答题：
7. 已知三棱柱ABC－A'B'C'，底面ABC是边长为a的正三角形，侧面ABB'A'是菱形，且∠A'AB＝60°，M是A'B'中点，BM⊥AC。

（1）求证：BM⊥平面ABC；
（2）求证：平面ABB'A'⊥平面ABC；
（3）求棱锥M－CBB'C'的体积；
（4）求异面直线AA'与BC所成角的余弦大小。

综合测试答案
1. B 可证BD 1⊥A 1D ，BD 1⊥AC
2. D 都正确
3. D 先构造与a 相交的满足②③的直线b'∥b
4. A 都是假命题
5. 可填侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/…
6. 14π 可先算长方体同一顶点三条棱长1，2，3，体对角线14，体对角线为球直径。

7. （1）连接A'B ，由于ABB'A'为菱形，且∠A'AB ＝60°，
知△A'AB 是正三角形 故BM ⊥A'B'，即BM ⊥AB 又BM ⊥AC ，∴BM ⊥平面ABC
（2）由BM ⊥平面ABC ，得平面ABB'A'⊥平面ABC （3）S a A B C △'''=
342，S a MB C △，''=38
2 BM ⊥平面A'B'C'，BM =
3
2
a ∴V S BM a B MB C MB C -==''''131163··△
V V V V a M CBB C M BB C M C CB B MB C ----=+==
'''''''218
3 （4）作MN ⊥B'C'，垂足为N ，连接BN
又BM ⊥B'C'，故B'C'⊥平面BMN B'C'⊥BN ，∴在Rt △BB'N 中， ∵B N B C a '''=
=1414，BB'＝a ∴cos '''∠BB N B N BB ==14
， 由AA'∥BB'，BC ∥B'C'，则∠BB'N 是异面直线 AA'与BC 所成的角，∴AA'与BC 所成角的余弦为
1
4。