勾股定理的证明方式和相关故事
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数学家毕达哥拉斯的故事两直边的平方和等于斜边的平方相传2005年前毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某中数量关系
勾股定理
a b c a2+b2=c2
数学家毕达哥拉斯的故事 相传2005 年前，毕达哥拉斯有一次在朋 友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中 反映了直角三角形三边的某中数量关系。
依据科学理论的证实：一
3世纪我国汉代的赵爽指出：四个全等的直角三角形 如下拼成一个中空的正方形，你会计算大正方形的面 积吗？
c b a c2 = (a − b)2 + 4(½ab) = a2 − 2ab + b2 + 2ab
赵爽弦图
∴ c2 = a2 + b2
依据科学理论的证实：二
你会用不同的方法求梯形的面积吗？
想一想
小米妈妈买了一部29英寸 小米妈妈买了一部 英寸 厘米） （74厘米）的电视机。小 厘米 的电视机。 米量了电视机的屏幕后， 米量了电视机的屏幕后， 发现屏幕只有58厘米长和 发现屏幕只有 厘米长和 厘米宽， 约46厘米宽，他觉得一定 厘米宽 是售货员搞错了。 是售货员搞错了。你同意 他的想法吗？ 他的想法吗？你能解释这 是为什么吗？ 是为什么吗？
A、B、C的面积有什么关系？ 、 、 的面积有什么关系 的面积有什么关系？ A C 两直边的平方和等于斜边的平方 B
的面积有什么关系？ A、B、C的面积有什么关系？
A由2个 组成，B由2个 组成，C由4个 组成。
∴SA+SB=SC
A A C
B B
等腰直角三角形三边有什么关系？ 等腰直角三角形三边有什么关系？
a
∟
b
c
½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab) ½a2 + ab + ½b2 = ½c2 + ab ∴
a
∟
c b
a2 + b2 = c2
勾股定理 （gou－gu theorem）
对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边 分别为a、b，斜边为c，那么一定有：
a2+b2=c2
直角三角形的这种关系，我们称为勾股定理。 勾股定理： 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方。 的平方。 A b C c a B
（2）观察图 ）观察图1-2 正方形A中含有 个小方格， 正方形 中含有 4 个小方格，即A的面积是 4 个单位 的面积是 面积。正方形B的面积是 个单位面积。正方形C的面 面积。正方形 的面积是 4 个单位面积。正方形 的面 个单位面积。 积是 8 个单位面积。
对于等腰直角三角形有这样的性质： 两直角边的平方和等于斜边的平方 对于任意直角三角形都有这样的性质吗？
看下图
探究二：你会求出正方形 探究二： 的面积吗？ 的面积吗？
B b c C 图3 图4 aA 图3 A的面 的面 积(单位 单位 长度) 长度 B的面 的面 积(单位 单位 长度) 长度 C的面 的面 积(单位 单位 长度) 长度
4 9
9 25
13 34
C Aa
b c A、B、 、 、 C面积 面积 关系 直角三 角形三 边关系
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2
c
b
a
小试牛刀，可要当心哦！ 小试牛刀，可要当心哦！
（1）在直角△ABC中，∠C=90° ）在直角△ 中 ° a=3，b=4，则c的值是 5 ， ， 的值是 (2) 在直角△ABC中，∠B=90°，a=3， 在直角△ 中 ° ， 7 b=4，则c的值是 ， 的值是 (3) 在直角△ABC中， ∠A= 90° b =6， 在直角△ 中 ° ， C=8,则a 是____ 10 则 (4)在直角三角形中，两边为5，12 则第 13 或 三边_________
sAc2
小故事
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一 位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄 亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近 的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么， 时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔 德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。 只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三 角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也 不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分 别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是 5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7， 那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加 思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的 平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？” 伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽 菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难 题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理。
试一试
F
4
A
D
3
B
E
12
C
1. 如图 如图1.1-2,在四边形 在四边形ABCD中, ∠ BAD=90°, 在四边形 中 ° 求正方形DCEF ∠ CBD=90°,AD=4,AB=3,BC=12,求正方形 ° 求正方形 的面积. 的面积
两直边的平方和等于斜边的平方
（1）观察图 ）观察图1-1
C A B C 图1-1 A B 图1-2 （图中每个小方格代表一个单位面积） 图中每个小方格代表一个单位面积）
正方形A中含有 正方形 中含有 9 个 小方格， 小方格，即A的面积是 的面积是 9 个单位面积。 个单位面积。 正方形B的面积是 正方形 的面积是 9 个单位面积。 个单位面积。 正方形C的面积是 正方形 的面积是 18 个单位面积。 个单位面积。
勾股定理
a b c a2+b2=c2
数学家毕达哥拉斯的故事 相传2005 年前，毕达哥拉斯有一次在朋 友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中 反映了直角三角形三边的某中数量关系。
依据科学理论的证实：一
3世纪我国汉代的赵爽指出：四个全等的直角三角形 如下拼成一个中空的正方形，你会计算大正方形的面 积吗？
c b a c2 = (a − b)2 + 4(½ab) = a2 − 2ab + b2 + 2ab
赵爽弦图
∴ c2 = a2 + b2
依据科学理论的证实：二
你会用不同的方法求梯形的面积吗？
想一想
小米妈妈买了一部29英寸 小米妈妈买了一部 英寸 厘米） （74厘米）的电视机。小 厘米 的电视机。 米量了电视机的屏幕后， 米量了电视机的屏幕后， 发现屏幕只有58厘米长和 发现屏幕只有 厘米长和 厘米宽， 约46厘米宽，他觉得一定 厘米宽 是售货员搞错了。 是售货员搞错了。你同意 他的想法吗？ 他的想法吗？你能解释这 是为什么吗？ 是为什么吗？
A、B、C的面积有什么关系？ 、 、 的面积有什么关系 的面积有什么关系？ A C 两直边的平方和等于斜边的平方 B
的面积有什么关系？ A、B、C的面积有什么关系？
A由2个 组成，B由2个 组成，C由4个 组成。
∴SA+SB=SC
A A C
B B
等腰直角三角形三边有什么关系？ 等腰直角三角形三边有什么关系？
a
∟
b
c
½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab) ½a2 + ab + ½b2 = ½c2 + ab ∴
a
∟
c b
a2 + b2 = c2
勾股定理 （gou－gu theorem）
对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边 分别为a、b，斜边为c，那么一定有：
a2+b2=c2
直角三角形的这种关系，我们称为勾股定理。 勾股定理： 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方。 的平方。 A b C c a B
（2）观察图 ）观察图1-2 正方形A中含有 个小方格， 正方形 中含有 4 个小方格，即A的面积是 4 个单位 的面积是 面积。正方形B的面积是 个单位面积。正方形C的面 面积。正方形 的面积是 4 个单位面积。正方形 的面 个单位面积。 积是 8 个单位面积。
对于等腰直角三角形有这样的性质： 两直角边的平方和等于斜边的平方 对于任意直角三角形都有这样的性质吗？
看下图
探究二：你会求出正方形 探究二： 的面积吗？ 的面积吗？
B b c C 图3 图4 aA 图3 A的面 的面 积(单位 单位 长度) 长度 B的面 的面 积(单位 单位 长度) 长度 C的面 的面 积(单位 单位 长度) 长度
4 9
9 25
13 34
C Aa
b c A、B、 、 、 C面积 面积 关系 直角三 角形三 边关系
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2
c
b
a
小试牛刀，可要当心哦！ 小试牛刀，可要当心哦！
（1）在直角△ABC中，∠C=90° ）在直角△ 中 ° a=3，b=4，则c的值是 5 ， ， 的值是 (2) 在直角△ABC中，∠B=90°，a=3， 在直角△ 中 ° ， 7 b=4，则c的值是 ， 的值是 (3) 在直角△ABC中， ∠A= 90° b =6， 在直角△ 中 ° ， C=8,则a 是____ 10 则 (4)在直角三角形中，两边为5，12 则第 13 或 三边_________
sAc2
小故事
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一 位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄 亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近 的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么， 时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔 德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。 只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三 角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也 不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分 别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是 5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7， 那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加 思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的 平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？” 伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽 菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难 题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理。
试一试
F
4
A
D
3
B
E
12
C
1. 如图 如图1.1-2,在四边形 在四边形ABCD中, ∠ BAD=90°, 在四边形 中 ° 求正方形DCEF ∠ CBD=90°,AD=4,AB=3,BC=12,求正方形 ° 求正方形 的面积. 的面积
两直边的平方和等于斜边的平方
（1）观察图 ）观察图1-1
C A B C 图1-1 A B 图1-2 （图中每个小方格代表一个单位面积） 图中每个小方格代表一个单位面积）
正方形A中含有 正方形 中含有 9 个 小方格， 小方格，即A的面积是 的面积是 9 个单位面积。 个单位面积。 正方形B的面积是 正方形 的面积是 9 个单位面积。 个单位面积。 正方形C的面积是 正方形 的面积是 18 个单位面积。 个单位面积。