2022年广东省东莞市中考数学一模试题及答案解析

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2022年广东省东莞市中考数学一模试卷
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。

在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. −3的相反数是( )
A. −3
B. −1
3
C. 3
D. ±3
2. 目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米,将0.00012用科学记数法表示为( )
A. 0.12×10−3
B. 1.2×10−4
C. 1.2×10−5
D. 12×10−3
3. 若一个正多边形的一个外角是36°,则这个正多边形的边数是( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
4. 下列运算正确的是( )
A. a3+a3=a6
B. a2⋅a3=a6
C. (ab)2=ab2
D. (a2)4=a8
5. 下列哪个图形是正方体的展开图( )
A. B.
C. D.
6. 分别标有数字0,π,1
3
,−1,√2的五张卡片,除数字不同外其他均相同,从中任抽一张,那么抽到无理数的概率是( )
A. 1
5B. 2
5
C. 3
5
D. 4
5
7. 关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
8. 如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,若四边形OBCD为菱形,则∠BAD的度数为( )
A. 45°
B. 60°
C. 72°
D. 36°
9. 如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC等于( )
A. √2
3B. √10
5
C. √5
10
D. √5
5
10. 如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc>
0;②4a+2b+c>0;③b−a>c;④若B(−1
2,y1),C(3
2
,y2)为函数图象上的两点,则y1>y2;
⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数).其中正确结论的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题(本大题共7小题,共28.0分)
11. 已知点P(−2,1),则点P关于x轴对称的点的坐标是______.
12. 将抛物线y=2x2向右平移1个单位,所得抛物线的解析式为______.
13. 如图,AB//CD,CB平分∠ECD,若∠B=26°,则∠1的度数是______ .
14. 若实数m,n满足(m−6)2+√n+2=0,则√m+n的值是______.
15. 如图,已知一次函数y=kx+3和y=−x+b的图象交于点P(2,4),则关于x的方程kx+ 3=−x+b的解是_____________.
16. 若x−y−3=0,则代数式x2−y2−6y的值等于______.
17. 如图,在矩形ABCD中,E为AB的中点,P为BC边上的任意一点,把△PBE沿PE折叠,得到△PFE,连接CF.若AB=10,BC=12,则CF的最小值为______.
三、计算题(本大题共1小题,共6.0分)
18. 计算:|1−√2|−2sin45°+(3.14−π)0−(−1
)−2.
2
四、解答题(本大题共7小题,共56.0分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
19. (本小题6.0分)
为了解某市人口年龄结构情况,一机构对该市的人口数据进行随机抽样分析,绘制了如下尚不完整的统计表和如图所示的统计图.
类别A B C D
年龄t/岁0≤t<1515≤t<6060≤t<65t≥65
人数/万 4.711.6m 2.7
根据以上信息解答下列问题:
(1)m=______,扇形统计图中“C”对应的圆心角度数是______;
(2)该市现有人口约800万人,请根据此次抽查结果,估计该市现有60岁及以上的人数.
20. (本小题6.0分)
已知:如图,△ABC,AB=AC,∠A=120°.
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线,分别交BC、AB于点M、N(保留作图痕迹,不写作法).
(2)求证:CM=2BM.
21. (本小题8.0分)
在疫情期间,某单位准备为一线防疫人员购买口罩,已知购买一个N95口罩比购买一个普通口罩多用20元.若用5000元购买N95口罩和用2000元购买普通口罩,则购买N95口罩的个数是购买普通口罩个数的一半.
(1)求购买一个N95口罩、一个普通口罩各需要多少元?
(2)若该单位准备一次性购买两种口罩共1000个,要求购买的总费用不超过10000元,则该单位最多购买N95口罩多少个?
22. (本小题8.0分)
如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上任意一点(BE>DE),CE的延长线交AD于点F,连接AE.
(1)求证:△ABE∽△FDE;
(2)当BE=3DE时,求tan∠1的值.
23. (本小题8.0分)
如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b(k≠0)图象与反比例函数y2=m x(m≠0)图象交于A(4,1),B(4−2a,1−a)(a>0)两点,与y轴交于点C.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)当y1>y2时,直接写出自变量x的取值范围;
(3)若点D是y轴上一点,且S△ABD=6,求点D坐标.
24. (本小题10.0分)
如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上两点,且BD⏜=CD⏜,过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连结AD、OE交于点G.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DG
AG =2
3
,⊙O的半径为2,求阴影部分的面积;
(3)连结BE,在(2)的条件下,求BE的长.
25. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中,抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A,B两点.与y轴交于点C.且点A的坐标为(−1,0),点C的坐标为(0,5).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如图(甲).若点P是第一象限内抛物线上的一动点.当点P到直线BC的距离最大时,求点P的坐标;
(3)图(乙)中,若点M是抛物线上一点,点N是抛物线对称轴上一点,是否存在点M使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:−3的相反数是3.
故选:C.
根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答.
本题考查了相反数的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键.
2.【答案】B
【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10−n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
解:将0.00012用科学记数法表示为1.2×10−4.
故选:B.
本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10−n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
3.【答案】D
【解析】解:360°÷36°=10,所以这个正多边形是正十边形.
故选D.
利用多边形的外角和是360°,正多边形的每个外角都是36°,即可求出答案.
本题主要考查了多边形的外角和定理.是需要识记的内容.
4.【答案】D
【解析】解:A.a3+a3=2a3,故本选项不符合题意;
B.a2⋅a3=a5,故本选项不符合题意;
C.(ab)2=a2b2,故本选项不符合题意;
D.(a2)4=a8,故本选项符合题意;
故选:D.
先根据合并同类项法则,同底数幂的乘法,积的乘方和幂的乘方求出每个式子的值,再得出选项即可.
本题考查了合并同类项法则,同底数幂的乘法,积的乘方和幂的乘方等知识点,能熟记合并同类项法则、同底数幂的乘法法则,积的乘方和幂的乘方的内容是解此题的关键.
5.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了正方体的展开图,正方体展开图有11种特征,分四种类型,即:第一种:“1−4−1”结构,即第一行放1个,第二行放4个,第三行放1个;第二种:“2−2−2”结构,即每一行放2个正方形,此种结构只有一种展开图;第三种:“3−3”结构,即每一行放3个正方形,只有一种
展开图;第四种:“1−3−2”结构,即第一行放1个正方形,第二行放3个正方形,第三行放2个正方形.
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题.
【解答】
解:根据正方体展开图的特征,选项A、C、D不是正方体展开图;选项B是正方体展开图..
故选:B.
6.【答案】B
【解析】解:∵五张卡片上分别标有0,π,1
3
,−1,√2,其中无理数有π,√2,共2个,
∴抽到无理数的概率是2
5

故选:B.
先找出无理数的个数,再根据概率公式计算可得.
本题考查的是概率的求法.如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出
现m种结果,那么事件A的概率P(A)=m
n
,本题找到无理数的个数是关键.
7.【答案】A
【解析】解:根据题意得△=(−6)2−4m>0,解得m<9.
故选A.
根据判别式的意义得到△=(−6)2−4m>0,然后解关于m的不等式,最后对各选项进行判断即可.
本题考查了根的判别式.
8.【答案】B
【解析】解:∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
由圆周角定理得:∠BOD=2∠BAD,
∵四边形OBCD为菱形,
∴∠BOD=∠BCD,
∴∠BAD+2∠BAD=180°,
解得:∠BAD=60°,
故选:B.
根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD=180°,根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BAD,根据菱形的性质得到∠BOD=∠BCD,计算即可.
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
9.【答案】D
【解析】解:连接CD,点D在格点上,如右图所示:
设每个小正方形的边长为a,
则CD=√a2+a2=√2a,
AC=√a2+(3a)2=√10a,
AD=√(2a)2+(2a)2=2√2a,
∴CD2+AD2=(√2a)2+(2√2a)2=(√10a)2=AC2,
∴△ACD是直角三角形,
∴sin∠BAC=sin∠CAD=CD
AC =√2a
√10a
=√5
5

故选:D.
根据题意,做出合适的辅助线,然后根据勾股定理的逆定理,可以得到△ACD的形状,从而可以
求得sin ∠BAC 的值.
本题考查解直角三角形、勾股定理,解答本题的关键是判断出△ACD 的形状.
10.【答案】C
【解析】解:①∵对称轴在y 轴的右侧, ∴ab <0,
由图象可知:c >0, ∴abc <0, 故①不正确;
②由对称知,当x =2时,函数值大于0,即y =4a +2b +c >0, 故②正确;
③当x =−1时,y =a −b +c <0, ∴b −a >c , 故③正确;
④∵抛物线开口向下,对称轴为直线x =1,且1−(−1
2)>3
2−1, ∴y 1<y 2, 故④不正确;
⑤当x =1时,y 的值最大.此时,y =a +b +c , 而当x =m 时,y =am 2+bm +c , 所以a +b +c >am 2+bm +c(m ≠1), 故a +b >am 2+bm ,即a +b >m(am +b), 故⑤正确. 故②③⑤正确. 故选:C .
由抛物线对称轴的位置判断ab 的符号,由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系,二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定,熟练掌握二次函数的性质
是关键.
11.【答案】(−2,−1)
【解析】解:点P(−2,1),则点P关于x轴对称的点的坐标是(−2,−1),
故答案为:(−2,−1).
根据关于x轴对称的点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,可得答案.
本题考查了关于x轴对称的对称点,利用关于x轴对称的点的横坐标相等,纵坐标互为相反数是解题关键.
12.【答案】y=2(x−1)2
【解析】解:由“左加右减”的原则可知,将抛物线y=2x2右平移1个单位,所得函数解析式为:y=2(x−1)2.
故答案为:y=2(x−1)2.
直接根据“左加右减”的原则进行解答即可.
本题考查的是函数图象平移的法则,根据“上加下减,左加右减”得出是解题关键.
13.【答案】52°
【解析】解:∵AB//CD,∠B=26°,
∴∠BCD=∠B=26°,
∵CB平分∠ECD,
∴∠ECD=2∠BCD=52°,
∵AB//CD,
∴∠1=∠ECD=52°,
故答案为:52°.
根据平行线的性质得出∠B=∠BCD=26°,根据角平分线定义求出∠∠ECD=2∠BCD=52°,再根据平行线的性质即可得解.
本题考查了平行线的性质和角平分线定义的应用,能根据平行线的性质求出∠B=∠BCD是解此题的关键.
14.【答案】2
【解析】解:∵实数m,n满足(m−6)2+√n+2=0,
∴m−6=0,n+2=0,
∴m=6,n=−2,
∴√m+n=√6−2=√4=2.
故答案为:2.
根据非负数的性质可求出m、n的值,进而可求出它们的和的算术平方根.
此题考查了非负数的性质,熟练掌握非负数的性质是解本题的关键.初中阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们相加和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类题目.
15.【答案】x=2
【解析】解:∵已知一次函数y=kx+3和y=−x+b的图象交于点P(2,4),
∴关于x的方程kx+3=−x+b的解是x=2,
故答案为:x=2.
函数图象的交点坐标的横坐标即是方程的解.
考查了一次函数与一元一次方程的知识,解题的关键是了解函数的图象的交点与方程的解的关系,难度不大.
16.【答案】9
【解析】解:∵x−y−3=0,
∴x=y+3,
∴x2=(y+3)2=y2+6y+9,
∴x2−y2−6y=9,
故答案为:9.
根据x−y−3=0,得出x=y+3,两边平方移项即可得出x2−y2−6y的值.
本题主要考查因式分解的应用,熟练利用因式分解将已知等式变形是解题的关键.
17.【答案】8
【解析】解:如图所示,点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动,当E、F、C共线时时,此时CF的值最小,
根据折叠的性质,△EBP≌△EFP,
∴EF⊥PF,EB=EF,
∵E是AB边的中点,AB=10,
∴AE=EF=5,
∵AD=BC=12,
∴CE=√BE2+BC2=√52+122=13,
∴CF=CE−EF=13−5=8.
故答案为:8.
如图所示点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动,当E、F、C共线时时,此时FC的值最小,根据勾股定理求出CE,根据折叠的性质可知BE=EF=5,即可求出CF.
本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用,熟练掌握折叠的性质是解题的关键.
18.【答案】解:原式=√2−1−2×√2
+1−4
2
=√2−1−√2+1−4
=−4.
【解析】化简绝对值,零指数幂,负整数指数幂,代入特殊角的三角函数值,然后先算乘法,再算加减.
(a≠0),熟记特殊角的三角函数值是解本题考查实数的混合运算,理解a0=1(a≠0),a−p=1
a p
题关键.
19.【答案】118°
【解析】解:(1)本次抽样调查,共调查的人数是:11.6÷58%=20(万人),
“C”的人数有:20−4.7−11.6−2.7=1(万人),
∴m=1,
×360°=18°.
扇形统计图中“C”对应的圆心角度数为:1
20
答:统计表中m的值是1,扇形统计图中“C”对应的圆心角度数为18°;
故答案为:1;18°;
×800=148(万人),
(2)1+2.7
20
答:该市60岁及以上的人数约为148万人.
(1)根据“B”的人数和所占的百分比,可求出共调查的人数,用总人数减去其它类别的人数,求出“C”的人数,即m的值,再用360°乘以“C”所占的百分比求出“C”对应的圆心角度数;(2)用该市的总人数乘以现有60岁及以上的人口所占的百分比即可.
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
20.【答案】(1)解:如图,直线MN为所求;
(2)证明:连接AM,如图,
∵直线MN是线段AB的垂直平分线
∴BM=AM,
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∴∠MAB=∠B=30°,∠MAC=90°,
∴AM=1
CM,
2
CM,
∴BM=1
2
即CM=2BM.
【解析】(1)利用基本作图,作AB的垂直平分线即可;
(2)连接AM,如图,根据线段垂直平分线的性质得到BM=AM,再计算出∠B=∠C=30°,则∠MAB=∠B=30°,∠MAC=90°,然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到AM=1
2
CM,从而得到CM=BM.
本题考查了作图−基本作图:熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质.
21.【答案】解:(1)设购买一个N95口罩需要x元,
根据题意得:5000
x =1
2
×2000
x−20

解得x=25,
经检验x=25是原方程的解,
∴x−20=5(元),
答:购买一个N95口罩需要25元,购买一个普通口罩需要5元.
(2)设该单位购买N95口罩m个,
根据题意得,25m+5(1000−m)≤10000,
解得m≤250,
∵m为整数,
∴m的最大整数值为250,
答:该单位最多购买N95口罩250个.
【解析】(1)设购买一个N95口罩需要x元,根据购买N95口罩的个数是购买普通口罩个数的一半列出关于x的方程,解之即可得出答案;
(2)设该单位购买N95口罩m个,根据购买的总费用不超过10000元列出关于m的不等式,解之可得答案.
本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用,解题的关键是理解题意,找到题目蕴含的相等关系与不等关系,并据此列出方程和不等式.
22.【答案】(1)证明:在正方形ABCD中,
∵AB=BC,
∠ABE=∠CBE=∠FDE=45°,
在△ABE 与△CBE 中, {AB =CB
∠ABE =∠CBE BE =BE
, ∴△ABE≌△CBE , ∴∠BAE =∠ECB ,
∵AD//BC ,∴∠DFE =∠BCE , ∴∠BAE =∠DFE , ∴△ABE∽△FDE ;
(2)连接AC 交BD 于O , 设正方形ABCD 的边长为a , ∴BD =√2a ,BO =OD =OC =√2
2
a ,
∵BE =3DE , ∴OE =12OD =√2
4a ,
∴tan ∠1=tan ∠OEC =OC
OE =2.
【解析】(1)根据正方形的性质得到AB =BC ,∠ABE =∠CBE =∠FDE =45°,根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠ECB ,等量代换得到∠BAE =∠DFE ,即可得到结论;
(2)连接AC 交BD 于O ,设正方形ABCD 的边长为a ,根据勾股定理得到BD =√2a ,
BO =OD =OC =√2
2
a ,根据已知条件得到OE =1
2
OD =
√2
4
a ,然后根据三角函数的定义得到结论.
本题考查了相似三角形的判定,全等三角形的判定和性质,正方形的性质,熟练掌握正方形的性质是解题的关键.
23.【答案】解:(1)∵反比例函数y 2=m
x (m ≠0)图象交于A ,B 两点,
∴m =4×1=(4−2a)(1−a), ∴m =4,a =3,
∴反比例函数的解析式为y =4
x
,B(−2,−2),
把A(4,1),B(−2,−2)代入y 1=kx +b(k ≠0)得{4k +b =1
−2k +b =−2

解得{k=1
2
b=−1

∴一次函数的解析式为y=1
2
x−1;
(2)由图象可知,当y1>y2时,自变量x的取值范围是−2<x<0或x>4;
(3)由y=1
2
x−1可知C(0,−1),
∵点D是y轴上一点,且S△ABD=6,
∴S△ABD=S△ACD+S△BCD=1
2CD×4+1
2
CD×2=6,
∴CD=2,
∴D(0,1)或(0,−3).
【解析】(1)先求出B点的坐标,用待定系数法求出函数解析式即可;
(2)根据图象直接得出取值范围即可;
(3)根据解析式求出C点的坐标再根据面积求出CD的长度即可得出D点的坐标.
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题,熟练掌握待定系数法求解析式,一次函数的性质,反比例函数的性质等知识是解题的关键.
24.【答案】(1)证明:如图,连接OD,
∵BD⏜=CD⏜,
∴∠CAD=∠DAB,
∵OA=OD,
∴∠DAB=∠ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD//AE,
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∵OD是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线;
(2)解:∵OD//AE,∴△OGD∽△EGA,
∴DG AG =OD
AE

∵DG AG =2
3
,⊙O的半径为2,
∴2 3=2
AE

∴AE=3,
如图,连接BD,
∵AB是⊙O的直径,DE⊥AE,∴∠AED=∠ADB=90°,
∵∠CAD=∠DAB,
∴△AED∽△ADB,
∴AE AD =AD
AB

即3
AD =AD
4

∴AD=2√3,
在Rt△ADB中,cos∠DAB=AD
AB =√3
2

∴∠DAB=30°,
∴∠EAF=60°,∠DOB=60°,∴∠F=30°,
∵OD=2,
∴DF =
2tan30∘
=
2
√3
3
=2√3,
∴S 阴影=S △DOF −S 扇形DOB =
12×2×2√3−60π×22360
=2√3−

3
; (3)如图,过点E 作EM ⊥AB 于点M ,连接BE ,
在Rt △AEM 中,AM =AE ⋅cos60°=3×12=3
2
,EM =AE ⋅sin60°=3√32

∴MB =AB −AM =4−32=5
2,
∴BE =√EM 2+MB 2=(3√32)+(5
2)=√13.
【解析】(1)根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD =∠DAB ,根据等边对等角得到∠DAB =∠ODA ,则∠CAD =∠ODA ,即可判定OD//AE ,进而得到OD ⊥DE ,据此即可得解;
(2)连接BD ,根据相似三角形的性质求出AE =3,AD =2√3,解直角三角形得到∠DAB =30°,则∠EAF =60°,∠DOB =60°,DF =2√3,再根据S 阴影=S △DOF −S 扇形DOB 即可得解; (3)过点E 作EM ⊥AB 于点M ,连接BE ,解直角三角形得到AM =3
2
,EM =3√32
,则MB =52
,再根
据勾股定理求解即可.
此题是圆的综合题,考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形,熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明△OGD∽△EGA 求出AE 是解题的关键.
25.【答案】解:(1)将A 的坐标(−1,0),点C 的坐(0,5)代入y =−x 2+bx +c 得:
{0=−1−b +c 5=c ,解得{b =4c =5, ∴抛物线的解析式为y =−x 2+4x +5;
(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ,交BC 于Q ,过P 作PH ⊥BC 于H ,如图:
在y =−x 2+4x +5中,令y =0得−x 2+4x +5=0, 解得x =5或x =−1, ∴B(5,0),
∴OB =OC ,△BOC 是等腰直角三角形, ∴∠CBO =45°, ∵PD ⊥x 轴,
∴∠BQD =45°=∠PQH , ∴△PHQ 是等腰直角三角形, ∴PH =
√2
, ∴当PQ 最大时,PH 最大,
设直线BC 解析式为y =kx +5,将B(5,0)代入得0=5k +5, ∴k =−1,
∴直线BC 解析式为y =−x +5,
设P(m,−m 2+4m +5),(0<m <5),则Q(m,−m +5), ∴PQ =(−m 2+4m +5)−(−m +5)=−m 2+5m =−(m −52
)2+254
, ∵a =−1<0,
∴当m =52
时,PQ 最大为254

∴m =5
2时,PH 最大,即点P 到直线BC 的距离最大,此时P(52,35
4); (3)存在,理由如下:
抛物线y =−x 2+4x +5对称轴为直线x =2, 设M(s,−s 2+4s +5),N(2,t),而B(5,0),C(0,5), ①以MN 、BC 为对角线,则MN 、BC 的中点重合,如图:
∴{s+2
2
=5+0
2
−s2+4s+5+t
2
=0+5
2
,解得{
s=3
t=−3,
∴M(3,8),
②以MB、NC为对角线,则MB、NC的中点重合,如图:
∴{s+5
2
=2+0
2
−s2+4s+4+0
2
=t+5
2
,解得{
s=−3
t=−21,
∴M(−3,−16),
③以MC、NB为对角线,则MC、NB中点重合,如图:
{s+02=2+5
2−s 2
+4s+5+5
2
=
t+02
,解得{s =7t =−11, ∴M(7,−16);
综上所述,M 的坐标为:(3,8)或(−3,−16)或(7,−16).
【解析】(1)将A 的坐标(−1,0),点C 的坐(0,5)代入y =−x 2+bx +c ,即可得抛物线的解析式为y =−x 2+4x +5;
(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ,交BC 于Q ,过P 作PH ⊥BC 于H ,由y =−x 2+4x +5可得B(5,0),故OB =OC ,△BOC 是等腰直角三角形,可证明△PHQ 是等腰直角三角形,即知PH =
√2
,当PQ 最大时,PH 最大,设直线BC 解析式为y =kx +5,将B(5,0)代入得直线BC 解析式为y =−x +5,设P(m,−m 2+4m +5),(0<m <5),则Q(m,−m +5),PQ =−(m −52
)2+25
4
,故当m =52
时,PH
最大,即点P 到直线BC 的距离最大,此时P(52,
35
4
); (3)抛物线y =−x 2+4x +5对称轴为直线x =2,设M(s,−s 2+4s +5),N(2,t),而B(5,0),
C(0,5),①以MN 、
BC 为对角线,则MN 、BC 的中点重合,可列方程组{s+22=5+0
2
−s 2+4s+5+t 2=
0+52
,即可解得M(3,8),
②以MB 、
NC 为对角线,则MB 、NC 的中点重合,同理可得{s+52=2+0
2
−s 2+4s+4+02=
t+52
,解得M(−3,−16),
③以MC 、NB 为对角线,则MC 、NB 中点重合,则{s+02=2+5
2
−s 2+4s+5+5
2
=
t+0
2
,解得M(7,−16).
本题考查二次函数综合应用,涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平
行四边形等知识,解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度.。

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