长泰县第一中学高二数学下学期期末考试试题 理.doc

高二理科数学试题
(考试时间：120分钟 总分：150分)
★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。

一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{0，x }，若B A ⊆，则x ＝( ) A.0或1
B. 0或2
C. 1或2
D. 0或1或2
2.已知复数z 满足()()122z i i +-=，则复数z 在复平面内的对应点所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A ．
215π B ． 320π C. 2115π- D ． 3120
π- 4.已知随机变量X 服从正态分布(
)2
3,N σ
, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<= ( )
A. 0.84
B. 0.68
C. 0.32
D. 0.16
5．“21a =”是“函数()2
lg 1f x a x
⎛⎫
=+
⎪-⎝
⎭
为奇函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.若抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点是椭圆
2231x y p
p
+
=的一个焦点，则p =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
7.奇函数()f x 的定义域为R .若(3)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(6)(11)f f +＝( )
A.2-
B.1-
C.0
D.1
8．已知曲线e ln x
y a x x =+在点（1，ae ）处的切线方程为y =2x +b ，则（ ）
A ．e 1a b ==-，
B ．a=e ，b =1
C ．1e 1a b -==，
D ．1e a -= ，1b =-
9.函数3
222
x x x y -=+在
[]6,6-的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.将5名学生分到,,A B C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有（ ）
A ．18种
B ．36种 C.48种 D ．60种
11．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为16，左焦点分别为F ，M 是双曲线C 的
一条渐近线上的点，且OM MF ⊥，O 为坐标原点，
若16OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为 ( ) A 5
5 C ．3．33
12.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x '<对任意的x R ∈恒成立，则下列不等式均成立的是（ ）
A ．()()()()2
ln 220,20f f f e f << B ．()()()()2
ln 220,20f f f e f >>
C. ()()()()2
ln 220,20f f f e f <> D ．()()()()2
ln 220,20f f f e f ><
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数f (x )=2a x+1-3(a>0且a ≠1)的图象经过的定点的坐标是 14.()()5
212x x +- 展开式中，2x 项的系数为
15.设随机变量ξ服从二项分布ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
6，12，则P (ξ≤3)等于
16.若)(x f 为R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=-，对于下列命题：①0)2(=f ；②
)(x f 是以4为周期的周期函数；③)(x f 的图像关于0=x 对称；
④)()2(x f x f -=+.其中正确命题的序号为___
三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤） 17．(本题满分12分)
已知点()1,0F ，直线:1l x =-，动点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离． (Ⅰ)试判断点P 的轨迹C 的形状，并写出其方程；
(Ⅱ)若曲线C 与直线:1m y x =-相交于A B 、两点，求OAB ∆的面积.
18．(本题满分12分)
已知命题:p 实数t 满足22540t at a -+<（其中0≠a ），命题:q 方程
2212
6
x y t t +=--表示双曲线.
（I ）若1=a ，且p q ∧为真命题，求实数t 的取值范围； (Ⅱ)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
19．(本题满分12分)
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(Ⅰ)求事件A “购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (Ⅱ)求η的分布列及均值E (η)．
20．(本题满分12分)
如图，在平行四边形ABCD 中，
1,90AB BD ABD ==
∠=︒，将ABD ∆沿对角线
BD 折起，折后的点A 变为1A ，且12A C =．
(Ⅰ)求证：1A BD BCD ⊥平面平面；
(Ⅱ)求异面直线BC 与1A D 所成角的余弦值； （Ⅲ）
E 为线段1A C 上的一个动点，当线段EC 的长为多少时，DE 与平面BCD
21.(本题满分12分)
设函数f(x)＝－1
3x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b(0<a<1)． (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；
E
C
D A
B B
A
D
C
第20题
(Ⅱ)若当x ∈[a ＋1，a ＋2]时，恒有|f ′(x)|≤a ，试确定a 的取值范围；
(Ⅲ)当a ＝2
3时，关于x 的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

22.在直角坐标系中，曲线1cos :sin 1x t C y t α
α=⎧⎨=+⎩
（α为参数，0t >
），曲线21:1x C
y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩（s 为参
数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为：
cos sin 2ρθρθ-=，记曲线2C 与3C 的交点为P .
（Ⅰ）求点P 的直角坐标；
（Ⅱ）当曲线1C 与3C 有且只有一个公共点时，1C 与2C 相较于,A B 两点，求2
2
PA PB +的值.
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （Ⅰ）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （Ⅱ）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．
长泰一中2018/2019学年第二学期期末考试
高二理科数学试题答案
(考试时间：120分钟 总分：150分)
一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{0，x }，若B A ⊆，则x ＝( C ) A.0或1
B. 0或2
C. 1或2
D. 0或1或2
2.已知复数z 满足()()122z i i +-=，则复数z 在复平面内的对应点所在象限是（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( C ) A ．
215π B ． 320π C. 2115π- D ． 3120
π- 4.已知随机变量X 服从正态分布(
)2
3,N σ
, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<= (B )
(A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.32 (D) 0.16 5．“21a =”是“函数()2lg 1f x a x ⎛⎫
=+
⎪-⎝⎭
为奇函数”的( B ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
6.若抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点是椭圆
2231x y p
p
+
=的一个焦点，则p =（ D ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
7.奇函数()f x 的定义域为R .若(3)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(6)(11)f f +＝( B ) A.2-
B.1-
C.0
D.1
8．已知曲线e ln x
y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（ D ）
A ．e 1a b ==-，
B ．a=e ，b =1
C ．1e 1a b -==，
D ．1e a -= ，1b =-
9.函数3
222
x x x y -=+在
[]6,6-的图象大致为（ B ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.将5名学生分到,,A B C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有（ D ）
A ．18种
B ．36种 C.48种 D ．60种
11．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的实轴长为16，左焦点分别为F ，M 是双曲线C 的一条
渐近线上的点，且OM MF ⊥，O 为坐标原点，若16OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为 ( A ) A 55．3．33
12.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x '<对任意的x R ∈恒成立，则下列不等式均成立的是（A ）
A ．()()()()2
ln 220,20f f f e f << B ．()()()()2
ln 220,20f f f e f >>
C. ()()()()2
ln 220,20f f f e f <> D ．()()()()2
ln 220,20f f f e f ><
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数f (x )=2a x+1-3(a>0且a ≠1)的图象经过的定点的坐标是 (-1,-1) . 14.()()5
212x x +- 展开式中，2x 项的系数为70
15.设随机变量ξ服从二项分布ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
6，12，则P (ξ≤3)等于 21/32
16.若)(x f 为R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=-，对于下列命题：①0)2(=f ；②
)(x f 是以4为周期的周期函数；③)(x f 的图像关于0=x 对称；
④)()2(x f x f -=+.其中正确命题的序号为__①_② ④
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤） 17．(本题满分12分)
已知点()1,0F ，直线:1l x =-，动点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离． (Ⅰ)试判断点P 的轨迹C 的形状，并写出其方程；
(Ⅱ)若曲线C 与直线:1m y x =-相交于A B 、两点，求OAB ∆的面积.
解：(Ⅰ)因点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，所以点P 的轨迹C 是以F 为焦点、直线l 为准线的抛物线，其方程为2
4y x =.……………………………………………5分
(Ⅱ)设),(),,(2211y x B y x A , 联立241
y x y x ⎧=⎨=-⎩，得 2610x x -+=, (7)
分
126x x ∴+=, ……………………………………………………………………………8分 Q 直线m 经过抛物线C 的焦点F ,
12628AB x x p ∴=++=+= ……………………………………………………10分
点o 到直线的距离2d ==
，11822OAB S AB d ∆∴=⋅=⨯=…12分 18．(本题满分12分)
已知命题:p 实数t 满足22
540t at a -+<（其中0≠a ），命题:q 方程
22126
x y
t t +=--表示双曲线.
（I ）若1=a ，且p q ∧为真命题，求实数t 的取值范围； (Ⅱ)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
18.解：（Ⅰ）由22540t at a -+< 得()(4)0t a t a --<，………………………………1分 若1a =，p 为真时实数t 的取值范围是14t <<.………………………………………2分
由22
126
x y t t +=--表示双曲线,得26t <<,即q 为真时实数t 的取值范围是26t <<. ……………………………………………………………………………4分
若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数t 的取值范围是24t <<.……………………6分 （Ⅱ）设{}{}|(),|()(2,6)A t p t B t q t ===，…………………………………………7分
Q p 是q 的必要不充分条件，B A ⊂∴≠
. …………………………………………………8分
当0>a 时，(,4)A a a =，有246
a a ≤⎧⎨
≥⎩，解得3
22a ≤≤；……………………………10分
当0<a 时，(4,)A a a =，显然A B =∅I ，不合题意． ……………………………11分
∴实数a 的取值范围是
3
22
a ≤≤．………………………………………………………12分 19．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A “购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求η的分布列及均值E (η)．
解 (1)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，A －
表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
P (A －)＝(1－0.4)3＝0.216，P (A )＝1－P (A －
)＝1－0.216＝0.784……………5分..
(2)η的可能取值为200元，250元，300元．…………………6分
P (η＝200)＝P (ξ＝1)＝0.4，P (η＝250)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)
＝0.2＋0.2＝0.4， P (η＝300)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，…………………9分
因此η的分布列为 E (η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．…12分 20．
(本题满分12分)如图，在平行四边形ABCD 中，
1,90AB BD ABD =
=∠=︒，
将ABD ∆沿对角线BD 折
起，折后的点A 变为1A ，且12A C =． (Ⅰ)求证：1A BD BCD ⊥平面平面；
(Ⅱ)求异面直线BC 与1A D 所成角的余弦值；（Ⅲ）为线
段1A C 上的一个动点，当线段EC 的长为多少时，DE 与平面BCD
所成的角正弦值为7
？ 解：(Ⅰ)在Rt ABD V 中，AD =
= E
C D
A
B B
A
C 第20题
Q 四边形ABCD 是平行四边形，
∴111,BC A D CD A B ====又12A C =，
∴22211,A B BC A C +=∴1,A B BC ⊥ …………………3分
又1,,A B BD BC BD B ⊥=I ∴1,A B BCD ⊥平面又11,A B A BD ⊂平面
∴1.A BD BCD ⊥平面平面
(Ⅱ)如图，过B 作BD 的垂线，以点B 为原点建立空间直角坐标系,则
1(0,0,1),(1A D C ,从而1(1(0,BC DA ==u u u r u u u u r (111)
2
cos ,3BC DA BC DA BC DA ⋅<>==
=-u u u r u u u u r
u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ,………………………………………7分 ∴ 异面直线BC 与1A D 所成角的余弦值等于
2
3
.……………………………………8分 （Ⅲ）1(1,0,0),(1,DC CA ==-u u u r u u u r
.
设1,CE CA λ=u u u r u u u r 则(1,,),DE DC CE λλ=+=-u u u r u u u r u u u r
………………………………9分
取平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)n =r
，……………………………………………10分
记DE 与平面BCD 所成的角为θ，则sin cos ,DE n DE n DE n
θ⋅=<>=⋅u u u r r u u u r r
u u u r r ，解得1
3
λ= …………………………………………11分 11,3CE CA ∴=u u u r u u u r 即2
.3
CE = ……………………………………………………………12分
21. (本题满分12分)设函数f(x)＝－1
3x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b(0<a<1)． (1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若当x ∈[a ＋1，a ＋2]时，恒有|f ′(x)|≤a ，试确定a 的取值范围；
(3)当a ＝2
3时，关于x 的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围．
解 (1)f ′(x)＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －a)(x －3a)． 令f ′(x)＝0，得x ＝a 或x ＝3a.
当x 变化时，f ′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a) a (a,3a)
3a (3a ，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x)
↘ 极小
↗ 极大
↘
当x ＝a 时，f(x)取得极小值，f(x)极小＝f(a)＝b －4
3a 3；
当x ＝3a 时，f(x)取得极大值，f(x)极大＝f(3a)＝b.…………………………4分
(2)f ′(x)＝－x 2
＋4ax －3a 2
，其对称轴为x ＝2a. 因为0<a<1，所以2a<a ＋1.
所以f ′(x)在区间[a ＋1，a ＋2]上是减函数．
当x ＝a ＋1时，f ′(x)取得最大值，f ′(a ＋1)＝2a －1； 当x ＝a ＋2时，f ′(x)取得最小值，f ′(a ＋2)＝4a －4.
于是有⎩⎪⎨⎪⎧
2a －1≤a ，4a －4≥－a ，
即45≤a ≤1.又因为0<a<1，所以4
5≤a<1.……………………8分
(3)当a ＝23时，f(x)＝－13x 3＋43x 2
－4
3x ＋b.
f ′(x)＝－x 2
＋83x －43，由f ′(x)＝0，即－x 2
＋83x －4
3＝0，
解得x 1＝23，x 2＝2，即f(x)在⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，23上是减函数，
在⎝ ⎛⎭⎪⎫
23，2上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．
要使f(x)＝0在[1,3]上恒有两个相异实根，即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，
于是有⎩⎪⎨⎪
⎧
f
1≤0，
f 2>0，
f 3≤0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－1
3＋b ≤0，b>0，－1＋b ≤0，
解得0<b ≤1
3.………………………12分
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

22.在直角坐标系中，曲线1cos :sin 1
x t C y t αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，0t >），曲线2
2
12:2x s C
y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩（s 为参
数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为：cos sin 2ρθρθ-=，记曲线2C 与3C 的交点为P .
（Ⅰ）求点P 的直角坐标；
（Ⅱ）当曲线1C 与3C 有且只有一个公共点时，1C 与2C 相较于,A B 两点，求22PA PB +的值.
22.
解：（Ⅰ）由曲线21:x C y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得普通方程0x y +=.由曲线3:cos sin 2C ρθρθ-=可得
直角坐标方程：20x y --=.由020x y x y +=⎧⎨--=⎩
得()1,1P -，……………4分 （Ⅱ）曲线1cos :sin 1x t C y t αα=⎧⎨
=+⎩（α为参数，0t >）消去参数α可得普通方程： ()2221x y t +-=，圆1C 的圆心()10,1C 半径为t ，………………5分
Q 曲线1C 与2C
有且只有一个公共点，t
，即t =，……………6分 设()(
)1122,,,A x x B x x --联立()220912x y x y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩得2121274470,1,4x x x x x x +-=∴+=-=-…8分 ()()()()2222
221212122121244PA PB x x x x x x ∴+=-+-=+-++ ()()22121212244417x x x x x x =+-+-+=.………………10分
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--
（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；
（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．
解：（1）当a ＝1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．
当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．
所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞．……………5分
（2）因为()=0f a ，所以1a ≥．
当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----． 所以，a 的取值范围是[1,)+∞．……………10分。