【精品】2019-2020学年五年级下册数学讲义-第二单元 因数和倍数人教新课标版(含解析)

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2019-2020学年人教版小学五年级数学下册寒假预习与检测专题讲义
因数与倍数
一.知识点归纳
1. 因数和倍数的意义
假如整数n除以m,结果是无余数的整数,那么我们称m就是n的因子.需要注意的是,唯有被除数,除数,商皆为整数,余数为零时,此关系才成立.反过来说,我们称n为m的倍数.
【经典例题】
分析:约数与倍数:若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数(也叫因数).约数与倍数是相互依存的,据此解答.
解:24÷6=4,只能说24是6的倍数,6是24的因数,所以24是倍数,6是因数的说法是错误的;
故答案为:×.
点评:本题主要考查因数与倍数的意义,注意约数与倍数是相互依存的.
分析:一个数既是它本身的最小倍数,又是它本身的最大因数.如:5的最小倍数是5,最大因数也是5.由此即可解答.
解:因为一数既是它本身的最小倍数,又是它本身的最大因数,所以此题干不正确;
故答案为:×.
点评:此题重点是考察因数和倍数的意义,要知道一数既是它本身的最小倍数,又是它本身的最大因数.2. 找一个数的因数的方法
1.分解质因数.例如:24的质因数有:2、2、2、3,那么,24的因数就有:1、2、3、4、6、8、12、24.2.找配对.例如:24=1×24、2×12、3×8、4×6,那么,24的因数就有:1、24、2、12、3、8、4、6.3.末尾是偶数的数就是2的倍数.
4.各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数.9的道理和3一样.
5.最后两位数能被4整除的数是4的倍数.
6.最后一位是5或0的数是5的倍数.
7.最后3位数能被8整除的数是8的倍数.
8.奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数.注意:“0”可以被任何数整除.【经典例题】
分析:先写出18的约数,然后根据比例的含义,写出两个比相等的式子即可.
解:18的约数有:1,2,3,6,9,18;
1:2=3:6;
故答案为:1:2=3:6.
点评:此题解答方法是根据比例的意义或比例的基本性质进行解答,此题答案很多种,写出其中的一种即可.
3. 找一个数的倍数的方法
找一个数的倍数,直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…,一个数的倍数的个数是无限的.
1.末尾是偶数的数就是2的倍数.
2.各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数.9的道理和3一样.
3.最后两位数能被4整除的数是4的倍数.
4.最后一位是5或0的数是5的倍数.
5.最后3位数能被8整除的数是8的倍数.
6.奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数.注意:“0”可以被任何数整除.【经典例题】
分析:举个反例证明,3的倍数的特征:各个数位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数.
解:13,16,29是个位上分别是3,6,9可是它们都不是3的倍数,所以个位上是3、6、9的数,都是3的倍数得说法是错误的;
故答案为:×.
点评:本题主要考查3的倍数的特征.注意个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数,各个数位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数.
例:一个三位数,既有因数3,又是2和5的倍数,这个数最小是120.
分析:既有因数3,又是2和5的倍数,就是这个三位数同时是2、3、5的倍数,根据2、3、5的倍数特征可知:这个三位数个位必需是0,因为只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数,要想最小百位必需是最小的一位数1,然后分析各个数位上的和是不是3的倍数,即百位上的1加上十位上的数和个位上的0是3的倍数,因为1+0=1,1再加2、5、8的和是3的倍数,即十位可以是;2、5、8,其中2是最小的,据此解答.
解:由分析可知;一个三位数,既有因数3,又是2和5的倍数,这个数最小是;120;
故答案为;120.
点评:本题主要考查2、3、5的倍数的特征,注意掌握只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数,要想最小百位必需是最小的一位数1.
4. 2、3、5的倍数特征
2、3、5的倍数特征:
被2整除特征:偶数
被3整除特征:每一位上数字之和能被3整除
被5整除特征:个位上是0或5的数
同时能被2、3、5整除的特征:个位是0且每一位上数字之和能被3整除.
【经典例题】
分析:根据题意可先确定能被2整除的数的特征、能被3整除的数的特征、能被5整除的数的特征,再确定能同时被2、3、5整除的数的特征,再算出最大的三位数即可.
解:能被2整除的特征:个位上是0、2、4、6、8的数,
能被3整除的数的特征:各个数位上的数字相加的和能被3整除,
能被5整除的数的特征:个位上的数字是0或者5的数,
要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0,
被2和5整除,同时要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.
故答案为:990.
点评:此题主要考查的是能同时被2、3、5整除的数的特征.
例2:104至少再加上16,才能同时被2、3、5整除.
分析:能同时被2、3、5整除的数的特征是个位上的数字必须是0,且各个数位上的数字之和能被3整除,由此确定104至少再加上16.
解:根据分析,104至少再加上16,才能同时被2、3、5整除.
故答案为:16.
点评:此题主要根据能同时被2、3、5整除的数的特征解决问题.
【知识点的应用及延伸】
一个数只要能同时被2和3整除,那么这个数就能被6整除.
各个数位上的数字之和能被9整除,那么这个数就能被9整除.
5. 合数与质数
合数:指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他的数整除的数.“0”“1”既不是质数也不是合数.质数:一个数只有1和它本身两个因数,这个数叫作质数(素数)
【经典例题】
分析:只有1和它本身两个因数的自然数为质数.不能被2整除的数为奇数,也就是说,奇数除了没有因数2外,可以有其他因数,如9、15等.
解:根据质数和奇数的定义,“所有的质数都是奇数”的说法是错误的.
故答案为:×.
点评:本题混淆了质数和奇数的定义.
例2:已知a×b+3=x,其中a、b均为小于1000的质数,x是奇数,那么x的最大值是1997.
分析:x是奇数,因为偶数+奇数=奇数,3为奇数,所以,a×b定为偶数,则a、b必有一个为最小的质数2,小于1000的最大的质数为997,所以x的最大值为2×997+3=1997.
解:x是奇数,a×b一定为偶数,
则a、b必有一个为最小的质数2,
小于1000的最大的质数为997,
所以x的最大值为2×997+3=1997.
故答案为:1997.
点评:在自然数中,注意特殊的数2既为偶数,同时也为质数.
6. 合数分解质因数
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式.其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的分解质因数.
【经典例题】
分析:分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘形式,由此定义即可进行判断.
解:把12分解质因数应该是:12=2×2×3,因为1既不是质数也不是合数,
所以原题说法错误.
故答案为:×.
点评:此题主要考查分解质因数的意义.
分析:根据分解质因数的意义,把一个合数写成几个质数连乘积的形式,叫做把这个合数分解质因数.由
此解答.
解:把24分解质因数:
24=2×2×2×3;
故答案为:24=2×2×2×3.
点评:此题主要考查分解质因数的方法.
二.同步测试
同步测试题
一.选择题(共6小题)
1.已知a÷b=c(a,b,c都是大于0的自然数),那么下面说法正确的是()A.a是倍数B.b是因数
C.c是因数D.b,c都是a的因数
2.30的因数共有()个.
A.4个B.8个C.2个
3.一个合数分解质因数为N=a×b×c,它的约数有()个.(a、b、c不相等)A.6B.7C.8
4.要使三位数“56□”能被3整除,“□”里最大能填()
A.4B.7C.8D.9
5.下面各数中与18互质的数是()
A.21B.40C.25D.18
6.从0、1、4、5这四个数字中选择三个不同的数字,组成既是3的倍数,又是2的倍数的三位教,有()种不同的组法.
A.2B.3C.4D.5
二.填空题(共6小题)
7.把72分解质因数为.
8.要使四位数41□5成为3的倍数,方框中可填的数有个.
9.一个数的最大因数是20,这个数是,它的因数有.
10.10以内所有质数的和是,最大的质数和最小的质数的差是.
11.因为5×6=30,所以我们说和是的因数,是和的倍数.
12.三个数的和是312,这三个数分别能被7、8、9整除,而且商相同.这三个数分别是、和.
三.判断题(共5小题)
13.一个数的因数总是比这个数小.(判断对错)
14.若ab=12,那么a与b是12的因数,12是它们的倍数.(判断对错)
15.是6的倍数的数,也一定是3的倍数.(判断对错)
16.10以内所有质数的和是17.(判断对错)
17.凡是8的倍数也一定是2的倍数..(判断对错)
四.计算题(共1小题)
18.分解质因数
75=
120=
五.应用题(共3小题)
19.猜一猜,可能有多少颗珠子?
淘气:有一串四色珠子,每种颜色的颗数相等.
笑笑:珠子数量在65~85颗之间.
20.有642盒牛奶,分别用6盒装和8盒装的箱子去装,选哪种箱子才能正好装完呢?
21.一个数既有因数8,又有因数10,这个数最小是多少?
六.操作题(共2小题)
22.请你涂色.
23.你会在圈内添上合适的数吗?
七.解答题(共2小题)
24.把63个玻璃球装在几个盒子里,每个盒子装得同样多,刚好装完.(1)有几种装法?(列出算式)
(2)如果有67个球呢?
25.一个数是42的因数,同时又是3的倍数,这个数可以是多少?
参考答案与试题解析
一.选择题(共6小题)
1.【分析】根据因数和倍数的意义,如果数a能被数b整除(b≠0),a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数;据此解答即可.
【解答】解:已知a÷b=c(a,b,c都是大于0的自然数),则b、c都是a的因数;
故选:D.
【点评】解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析、解答即可.
2.【分析】根据找一个数的因数的方法进行列举即可.
【解答】解:30的因数有:1、2、3、5、6、10、15、30一共8个;
故选:B.
【点评】此题考查了找一个数因数的方法.
3.【分析】根据题干,N的质因数有a、b、c,所以它的因数有:1,a、b、c、N,还有ab、ac、bc,由此即可解答问题.
【解答】解:因为N=a×b×c,
所以N的因数有1,a、b、c、N,还有ab、ac、bc,一共8个.
故选:C.
【点评】注意分解质因数和求一个数的因数的区别.
4.【分析】根据能被3整除的数的特征:即该数各个数位上数的和能被3整除;进行解答即可.【解答】解:要使三位数“56□”能被3整除,因为5+6=11,11+1=12,11+4=15,11+7=18;
12、15和18都能被3整除,所以“□”里可以填1,4,7;最大为7;
故选:B.
【点评】此题考查的目的是掌握3的倍数的特征.
5.【分析】自然数中,只有公因数1的两个数为互质数.
【解答】解:21的因数有:1,21,3,7;
40的因数有:1,40,2,20,4,10,5,8;
25的因数有:1,25,5
18的因数有:1,18,3,6,2,9;
因为18和25只有公因数1,
所以在21,40,25,18这4个数中,与18互质的数是25;
故选:C.
【点评】完成本题的依据为:互质数的意义,
6.【分析】根据能被2整除的数的特征:末尾必须是0或4;根据能被3整除的数的特征可知:该数各个数位上数的和能被3整除;据此解答.
【解答】解:从0、1、4、5这四个数字中选择三个不同的数字,组成既是3的倍数,又是2的倍数的三位教,有:150、510、504、450、540,所以共有5个不同的组法;
故选:D.
【点评】本题主要考查2、3的倍数特征,注意本题要先满足个位是0或4,就是满足是2和5的倍数,然后再满足是3的倍数,即各个数位上的和是3的倍数.
二.填空题(共6小题)
7.【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式,一般先从简单的质数试着分解.【解答】解:72=2×2×2×3×3,
故答案为:72=2×2×2×3×3.
【点评】此题考查了求一个数的因数与分解质因数的方法.
8.【分析】被3整除特征:每一位上数字之和能被3整除.4、1、□、5这四个数字相加的和是3的倍数即可.
【解答】解:4、1、□、5这四个数字相加的和是3的倍数时,四位数41□5就是3的倍数.4+1+5=10,10+2=12,10+5=15,10+8=18.□里可填2、5、8三个数字.
故答案为:3个.
【点评】此题主要根据能被3整除的数的特征解决问题.
9.【分析】根据“一个数的最大因数是它本身,最小倍数是它本身”得出:这个数为20,然后根据找一个数因数的方法,进行列举即可.
【解答】解:根据“一个数的最大因数是它本身,最小倍数是它本身”得出:这个数为20,
20的因数有:1、2、4、5、10、20;
故答案为:20;1、2、4、5、10、20.
【点评】此题应根据找一个数因数的方法进行解答.
10.【分析】根据质数、合数的意义找出最小的质数和最小的合数,求出它们的积,再找出10以内所有的质数,然后相加即可解答.
【解答】解:10以内的质数有:2,3,5,7
2+3+5+7=17
10以内最小的质数是2,最大的质数是7
它们相差:7﹣2=5
故答案为:17,5.
【点评】本题主要考查质数、合数的意义,注意平时基础知识的积累.
11.【分析】根据因数和倍数的意义:如果数a能被数b整除(b≠0),a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数;进行解答即可.
【解答】解:因为5×6=30,所以5和6是30的因数,30是5和6的倍数.
故答案为:5,6,30,30,5,6.
【点评】此题考查了因数和倍数的意义.
12.【分析】设这个商是x,那么三个数分别是7x、8x、9x;根据它们的和是312列出方程求解.【解答】解:这个商是x,由题意可得:
7x+8x+9x=312,
(7+8+9)x=312,
24x=312,
x=13;
7×13=91;
8×13=104;
9×13=117.
答:这三个数91,104,117.
故答案为:91,104,117.
【点评】解决本题根据商相同分别表示出这三个数,然后根据它们的和是312列出方程求解.
三.判断题(共5小题)
13.【分析】根据一个非0自然数的最小因数是1,最大因数是它本身,所以一个数的因数总是比这个数小,说法错误,还有相等的情况.
【解答】解:由分析可知:一个数的因数总是比这个数小,说法错误,还有相等的情况;
故答案为:×.
【点评】解答此题应明确:一个非0自然数的因数可能或小于它本身.
14.【分析】若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数,因数与倍数是相互依存的,据此解答.
【解答】解:若ab=12,即12÷a=b,但a、b不一定是整数,所以原题说法错误.
故答案为:×.
【点评】本题主要考查因数与倍数的意义,注意约数与倍数是相互依存的.
15.【分析】因为6和3是倍数关系,6是3的2倍;所以一个数是6的倍数,就一定是3的倍数;进而得出结论.
【解答】解:6÷3=2
故是6的倍数的数,也一定是3的倍数是正确的.
故答案为:√.
【点评】此题应结合题意,根据两个数的特点,进行分析、解答即可.
16.【分析】根据质数的意义,一个自然数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数;据此写出10以内的所有质数,再相加即可.
【解答】解:10以内所有的质数有:2,3,5,7.
所以:10以内所有的质数的和是:2+3+5+7=17.
即本题说法正确;
故答案为:√.
【点评】此题考查质数的性质及运用.
17.【分析】根据因数与倍数的意义,如果甲数的乙数的倍数,那么乙数是甲数的因数,据此判断即可.【解答】解:因为8是2的倍数,所以8的倍数一定是2的倍数.
故答案为:√.
【点评】此题考查的目的是理解掌握因数与倍数之间的关系及应用.
四.计算题(共1小题)
18.【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式,一般先从简单的质数试着分解.【解答】解:75=3×5×5
120=2×2×2×3×5
【点评】此题主要考查的是分解质因数的方法.
五.应用题(共3小题)
19.【分析】根据求一个数的倍数的方法:用这个数分别乘以自然数1、2、3、4…,从中找出符合要求的倍数,即可求解.
【解答】解:4×1=4,4×2=8,4×3=12,4×4=16,4×5=20,4×6=24,4×7=28,4×8=32,4×9=36,4×10=40,4×11=44,4×12=48,4×13=52,4×14=56,4×15=60,4×16=64,4×17=68,4×18=72,4×19=76,4×20=80,4×21=84,4×22=88…
65~85之间4的倍数有:68,72,76,80,84;
所以珠子的总数可能是68颗、72颗、76颗、80颗、84颗.
【点评】本题主要考查倍数的求法,注意界定倍数所在的范围.
20.【分析】选哪个箱子能正好装完,只要依据整除的意义,谁能整除642,就选那种包装箱,据此解答即可.
【解答】解:因为642÷6=107
642÷8=80.25
所以每箱装6盒能正好把642盒牛奶装完;
【点评】此题主要依据整除的意义解决问题,掌握整数除法的计算方法是解答本题的关键.
21.【分析】根据题意可知:这个数是8和10的最小公倍数,求最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积,对于两个数来说:两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数,由此解决问题即可.
【解答】解:8=2×2×2
10=2×5
最小公倍数是2×2×2×5=40
答:这个数最小是40.
【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法:两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数;数字大的可以用短除解答.
六.操作题(共2小题)
22.【分析】个位上是0或5的数就是5的倍数;各个数位上的和是3的倍数,这个数就是3的倍数,据此解答即可.
【解答】解:
【点评】本题主要考查3、5的倍数特征,注意牢固掌握3、5的倍数特征,灵活运用.
23.【分析】根据找一个数的因数的方法和倍数的方法,进行例举即可.
【解答】解::
【点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数、倍数的方法,
七.解答题(共2小题)
24.【分析】(1)根据题意,即把63个求平均分到若干个盒子里,那么两个数相乘积是63,因为题目有每个盒子的个数一样多,所以盒子至少是2个,所以63有多少个因数在减去1个盒子的装63个的装法,就是题目要求的装法,列式解答即可得到答案.
(2)67是质数,所以67=1×67,由此即可得出只有2种不同的装法.
【解答】解:(1)63=1×63,每个盒子里装一个,因为题目有每个盒子的个数一样多,所以盒子至少是2个,所以1盒装63的装法舍掉;
63=3×21,每个盒子里装3个或每个盒子里装21个,
63=7×9,每个盒子里装7个或每个盒子里装9个,
装法有:2+2+1=5(种),
答:有5种不同的装法.
(2)67是质数,所以只有2种装法:每个盒子里装一个,或者将67个球装在一个盒子里.
答:有2种装法.
【点评】解答此题关键将63和67进行分解因数,有几个因数就有几种装法.
25.【分析】求这个数可能是多少,即求42以内(包括42)的3的倍数,根据找一个数因数的方法和一个数倍数的方法,分别列举出42的因数和3的倍数,继而得出结论.
【解答】解:42的因数有:1、2、3、6、7、14、21、42;
3的倍数有:3、6、9、12、14、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42…;
一个数既是42的因数,又是3的倍数.这个数可能是3、6、21、42;
答:这个数可能是3、6、21、42.
【点评】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义,明确要求的问题即42以内(包括42)的3的倍数,是解答此题的关键.。

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