【精品】2019-2020学年五年级下册数学讲义-第二单元 因数和倍数人教新课标版(含解析)

2019-2020学年人教版小学五年级数学下册寒假预习与检测专题讲义
因数与倍数
一．知识点归纳
1. 因数和倍数的意义
假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子．需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立．反过来说，我们称n为m的倍数．
【经典例题】
分析：约数与倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（也叫因数）．约数与倍数是相互依存的，据此解答．
解：24÷6=4，只能说24是6的倍数，6是24的因数，所以24是倍数，6是因数的说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查因数与倍数的意义，注意约数与倍数是相互依存的．
分析：一个数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．如：5的最小倍数是5，最大因数也是5．由此即可解答．
解：因为一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数，所以此题干不正确；
故答案为：×．
点评：此题重点是考察因数和倍数的意义，要知道一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．2. 找一个数的因数的方法
1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24．2．找配对．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6．3．末尾是偶数的数就是2的倍数．
4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
6．最后一位是5或0的数是5的倍数．
7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．【经典例题】
分析：先写出18的约数，然后根据比例的含义，写出两个比相等的式子即可．
解：18的约数有：1，2，3，6，9，18；
1：2=3：6；
故答案为：1：2=3：6．
点评：此题解答方法是根据比例的意义或比例的基本性质进行解答，此题答案很多种，写出其中的一种即可．
3. 找一个数的倍数的方法
找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的．
1．末尾是偶数的数就是2的倍数．
2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
4．最后一位是5或0的数是5的倍数．
5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．【经典例题】
分析：举个反例证明，3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
解：13，16，29是个位上分别是3，6，9可是它们都不是3的倍数，所以个位上是3、6、9的数，都是3的倍数得说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查3的倍数的特征．注意个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数，各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
例：一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是120．
分析：既有因数3，又是2和5的倍数，就是这个三位数同时是2、3、5的倍数，根据2、3、5的倍数特征可知：这个三位数个位必需是0，因为只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1，然后分析各个数位上的和是不是3的倍数，即百位上的1加上十位上的数和个位上的0是3的倍数，因为1+0=1，1再加2、5、8的和是3的倍数，即十位可以是；2、5、8，其中2是最小的，据此解答．
解：由分析可知；一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是；120；
故答案为；120．
点评：本题主要考查2、3、5的倍数的特征，注意掌握只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1．
4. 2、3、5的倍数特征
2、3、5的倍数特征：
被2整除特征：偶数
被3整除特征：每一位上数字之和能被3整除
被5整除特征：个位上是0或5的数
同时能被2、3、5整除的特征：个位是0且每一位上数字之和能被3整除．
【经典例题】
分析：根据题意可先确定能被2整除的数的特征、能被3整除的数的特征、能被5整除的数的特征，再确定能同时被2、3、5整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．
解：能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，
能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，
能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，
要同时能被2和5整除，这个三位数的个位一定是0，
被2和5整除，同时要能被3整除，又要是最大的三位数，这个数是990．
故答案为：990．
点评：此题主要考查的是能同时被2、3、5整除的数的特征．
例2：104至少再加上16，才能同时被2、3、5整除．
分析：能同时被2、3、5整除的数的特征是个位上的数字必须是0，且各个数位上的数字之和能被3整除，由此确定104至少再加上16．
解：根据分析，104至少再加上16，才能同时被2、3、5整除．
故答案为：16．
点评：此题主要根据能同时被2、3、5整除的数的特征解决问题．
【知识点的应用及延伸】
一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除．
各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除．
5. 合数与质数
合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数．质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）
【经典例题】
分析：只有1和它本身两个因数的自然数为质数．不能被2整除的数为奇数，也就是说，奇数除了没有因数2外，可以有其他因数，如9、15等．
解：根据质数和奇数的定义，“所有的质数都是奇数”的说法是错误的．
故答案为：×．
点评：本题混淆了质数和奇数的定义．
例2：已知a×b+3=x，其中a、b均为小于1000的质数，x是奇数，那么x的最大值是1997．
分析：x是奇数，因为偶数+奇数=奇数，3为奇数，所以，a×b定为偶数，则a、b必有一个为最小的质数2，小于1000的最大的质数为997，所以x的最大值为2×997+3=1997．
解：x是奇数，a×b一定为偶数，
则a、b必有一个为最小的质数2，
小于1000的最大的质数为997，
所以x的最大值为2×997+3=1997．
故答案为：1997．
点评：在自然数中，注意特殊的数2既为偶数，同时也为质数．
6. 合数分解质因数
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式．其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数．
【经典例题】
分析：分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘形式，由此定义即可进行判断．
解：把12分解质因数应该是：12=2×2×3，因为1既不是质数也不是合数，
所以原题说法错误．
故答案为：×．
点评：此题主要考查分解质因数的意义．
分析：根据分解质因数的意义，把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数．由
此解答．
解：把24分解质因数：
24=2×2×2×3；
故答案为：24=2×2×2×3．
点评：此题主要考查分解质因数的方法．
二．同步测试
同步测试题
一．选择题（共6小题）
1．已知a÷b＝c（a，b，c都是大于0的自然数），那么下面说法正确的是（）A．a是倍数B．b是因数
C．c是因数D．b，c都是a的因数
2．30的因数共有（）个．
A．4个B．8个C．2个
3．一个合数分解质因数为N＝a×b×c，它的约数有（）个．（a、b、c不相等）A．6B．7C．8
4．要使三位数“56□”能被3整除，“□”里最大能填（）
A．4B．7C．8D．9
5．下面各数中与18互质的数是（）
A．21B．40C．25D．18
6．从0、1、4、5这四个数字中选择三个不同的数字，组成既是3的倍数，又是2的倍数的三位教，有（）种不同的组法．
A．2B．3C．4D．5
二．填空题（共6小题）
7．把72分解质因数为．
8．要使四位数41□5成为3的倍数，方框中可填的数有个．
9．一个数的最大因数是20，这个数是，它的因数有．
10．10以内所有质数的和是，最大的质数和最小的质数的差是．
11．因为5×6＝30，所以我们说和是的因数，是和的倍数．
12．三个数的和是312，这三个数分别能被7、8、9整除，而且商相同．这三个数分别是、和．
三．判断题（共5小题）
13．一个数的因数总是比这个数小．（判断对错）
14．若ab＝12，那么a与b是12的因数，12是它们的倍数．（判断对错）
15．是6的倍数的数，也一定是3的倍数．（判断对错）
16．10以内所有质数的和是17．（判断对错）
17．凡是8的倍数也一定是2的倍数．．（判断对错）
四．计算题（共1小题）
18．分解质因数
75＝
120＝
五．应用题（共3小题）
19．猜一猜，可能有多少颗珠子？
淘气：有一串四色珠子，每种颜色的颗数相等．
笑笑：珠子数量在65～85颗之间．
20．有642盒牛奶，分别用6盒装和8盒装的箱子去装，选哪种箱子才能正好装完呢？
21．一个数既有因数8，又有因数10，这个数最小是多少？
六．操作题（共2小题）
22．请你涂色．
23．你会在圈内添上合适的数吗？
七．解答题（共2小题）
24．把63个玻璃球装在几个盒子里，每个盒子装得同样多，刚好装完．（1）有几种装法？（列出算式）
（2）如果有67个球呢？
25．一个数是42的因数，同时又是3的倍数，这个数可以是多少？
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答即可．
【解答】解：已知a÷b＝c（a，b，c都是大于0的自然数），则b、c都是a的因数；
故选：D．
【点评】解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析、解答即可．
2．【分析】根据找一个数的因数的方法进行列举即可．
【解答】解：30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30一共8个；
故选：B．
【点评】此题考查了找一个数因数的方法．
3．【分析】根据题干，N的质因数有a、b、c，所以它的因数有：1，a、b、c、N，还有ab、ac、bc，由此即可解答问题．
【解答】解：因为N＝a×b×c，
所以N的因数有1，a、b、c、N，还有ab、ac、bc，一共8个．
故选：C．
【点评】注意分解质因数和求一个数的因数的区别．
4．【分析】根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除；进行解答即可．【解答】解：要使三位数“56□”能被3整除，因为5+6＝11，11+1＝12，11+4＝15，11+7＝18；
12、15和18都能被3整除，所以“□”里可以填1，4，7；最大为7；
故选：B．
【点评】此题考查的目的是掌握3的倍数的特征．
5．【分析】自然数中，只有公因数1的两个数为互质数．
【解答】解：21的因数有：1，21，3，7；
40的因数有：1，40，2，20，4，10，5，8；
25的因数有：1，25，5
18的因数有：1，18，3，6，2，9；
因为18和25只有公因数1，
所以在21，40，25，18这4个数中，与18互质的数是25；
故选：C．
【点评】完成本题的依据为：互质数的意义，
6．【分析】根据能被2整除的数的特征：末尾必须是0或4；根据能被3整除的数的特征可知：该数各个数位上数的和能被3整除；据此解答．
【解答】解：从0、1、4、5这四个数字中选择三个不同的数字，组成既是3的倍数，又是2的倍数的三位教，有：150、510、504、450、540，所以共有5个不同的组法；
故选：D．
【点评】本题主要考查2、3的倍数特征，注意本题要先满足个位是0或4，就是满足是2和5的倍数，然后再满足是3的倍数，即各个数位上的和是3的倍数．
二．填空题（共6小题）
7．【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解．【解答】解：72＝2×2×2×3×3，
故答案为：72＝2×2×2×3×3．
【点评】此题考查了求一个数的因数与分解质因数的方法．
8．【分析】被3整除特征：每一位上数字之和能被3整除．4、1、□、5这四个数字相加的和是3的倍数即可．
【解答】解：4、1、□、5这四个数字相加的和是3的倍数时，四位数41□5就是3的倍数．4+1+5＝10，10+2＝12，10+5＝15，10+8＝18．□里可填2、5、8三个数字．
故答案为：3个．
【点评】此题主要根据能被3整除的数的特征解决问题．
9．【分析】根据“一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身”得出：这个数为20，然后根据找一个数因数的方法，进行列举即可．
【解答】解：根据“一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身”得出：这个数为20，
20的因数有：1、2、4、5、10、20；
故答案为：20；1、2、4、5、10、20．
【点评】此题应根据找一个数因数的方法进行解答．
10．【分析】根据质数、合数的意义找出最小的质数和最小的合数，求出它们的积，再找出10以内所有的质数，然后相加即可解答．
【解答】解：10以内的质数有：2，3，5，7
2+3+5+7＝17
10以内最小的质数是2，最大的质数是7
它们相差：7﹣2＝5
故答案为：17，5．
【点评】本题主要考查质数、合数的意义，注意平时基础知识的积累．
11．【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
【解答】解：因为5×6＝30，所以5和6是30的因数，30是5和6的倍数．
故答案为：5，6，30，30，5，6．
【点评】此题考查了因数和倍数的意义．
12．【分析】设这个商是x，那么三个数分别是7x、8x、9x；根据它们的和是312列出方程求解．【解答】解：这个商是x，由题意可得：
7x+8x+9x＝312，
（7+8+9）x＝312，
24x＝312，
x＝13；
7×13＝91；
8×13＝104；
9×13＝117．
答：这三个数91，104，117．
故答案为：91，104，117．
【点评】解决本题根据商相同分别表示出这三个数，然后根据它们的和是312列出方程求解．
三．判断题（共5小题）
13．【分析】根据一个非0自然数的最小因数是1，最大因数是它本身，所以一个数的因数总是比这个数小，说法错误，还有相等的情况．
【解答】解：由分析可知：一个数的因数总是比这个数小，说法错误，还有相等的情况；
故答案为：×．
【点评】解答此题应明确：一个非0自然数的因数可能或小于它本身．
14．【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答．
【解答】解：若ab＝12，即12÷a＝b，但a、b不一定是整数，所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意约数与倍数是相互依存的．
15．【分析】因为6和3是倍数关系，6是3的2倍；所以一个数是6的倍数，就一定是3的倍数；进而得出结论．
【解答】解：6÷3＝2
故是6的倍数的数，也一定是3的倍数是正确的．
故答案为：√．
【点评】此题应结合题意，根据两个数的特点，进行分析、解答即可．
16．【分析】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；据此写出10以内的所有质数，再相加即可．
【解答】解：10以内所有的质数有：2，3，5，7．
所以：10以内所有的质数的和是：2+3+5+7＝17．
即本题说法正确；
故答案为：√．
【点评】此题考查质数的性质及运用．
17．【分析】根据因数与倍数的意义，如果甲数的乙数的倍数，那么乙数是甲数的因数，据此判断即可．【解答】解：因为8是2的倍数，所以8的倍数一定是2的倍数．
故答案为：√．
【点评】此题考查的目的是理解掌握因数与倍数之间的关系及应用．
四．计算题（共1小题）
18．【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解．【解答】解：75＝3×5×5
120＝2×2×2×3×5
【点评】此题主要考查的是分解质因数的方法．
五．应用题（共3小题）
19．【分析】根据求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘以自然数1、2、3、4…，从中找出符合要求的倍数，即可求解．
【解答】解：4×1＝4，4×2＝8，4×3＝12，4×4＝16，4×5＝20，4×6＝24，4×7＝28，4×8＝32，4×9＝36，4×10＝40，4×11＝44，4×12＝48，4×13＝52，4×14＝56，4×15＝60，4×16＝64，4×17＝68，4×18＝72，4×19＝76，4×20＝80，4×21＝84，4×22＝88…
65～85之间4的倍数有：68，72，76，80，84；
所以珠子的总数可能是68颗、72颗、76颗、80颗、84颗．
【点评】本题主要考查倍数的求法，注意界定倍数所在的范围．
20．【分析】选哪个箱子能正好装完，只要依据整除的意义，谁能整除642，就选那种包装箱，据此解答即可．
【解答】解：因为642÷6＝107
642÷8＝80.25
所以每箱装6盒能正好把642盒牛奶装完；
【点评】此题主要依据整除的意义解决问题，掌握整数除法的计算方法是解答本题的关键．
21．【分析】根据题意可知：这个数是8和10的最小公倍数，求最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．
【解答】解：8＝2×2×2
10＝2×5
最小公倍数是2×2×2×5＝40
答：这个数最小是40．
【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
六．操作题（共2小题）
22．【分析】个位上是0或5的数就是5的倍数；各个数位上的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答即可．
【解答】解：
【点评】本题主要考查3、5的倍数特征，注意牢固掌握3、5的倍数特征，灵活运用．
23．【分析】根据找一个数的因数的方法和倍数的方法，进行例举即可．
【解答】解：：
【点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数、倍数的方法，
七．解答题（共2小题）
24．【分析】（1）根据题意，即把63个求平均分到若干个盒子里，那么两个数相乘积是63，因为题目有每个盒子的个数一样多，所以盒子至少是2个，所以63有多少个因数在减去1个盒子的装63个的装法，就是题目要求的装法，列式解答即可得到答案．
（2）67是质数，所以67＝1×67，由此即可得出只有2种不同的装法．
【解答】解：（1）63＝1×63，每个盒子里装一个，因为题目有每个盒子的个数一样多，所以盒子至少是2个，所以1盒装63的装法舍掉；
63＝3×21，每个盒子里装3个或每个盒子里装21个，
63＝7×9，每个盒子里装7个或每个盒子里装9个，
装法有：2+2+1＝5（种），
答：有5种不同的装法．
（2）67是质数，所以只有2种装法：每个盒子里装一个，或者将67个球装在一个盒子里．
答：有2种装法．
【点评】解答此题关键将63和67进行分解因数，有几个因数就有几种装法．
25．【分析】求这个数可能是多少，即求42以内（包括42）的3的倍数，根据找一个数因数的方法和一个数倍数的方法，分别列举出42的因数和3的倍数，继而得出结论．
【解答】解：42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42；
3的倍数有：3、6、9、12、14、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42…；
一个数既是42的因数，又是3的倍数．这个数可能是3、6、21、42；
答：这个数可能是3、6、21、42．
【点评】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，明确要求的问题即42以内（包括42）的3的倍数，是解答此题的关键．。