2022-2023学年人教A版选择性必修第一册 1-3-2 空间向量运算的坐标表示 课件(48张)
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第一章 空间向量与立体几何
1．3 空间向量运算的坐标表示/
新课程标准
新学法解读 1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算
问题． 1.掌握空间向量的线性
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两 运算的坐标表示．
个向量是否共线或垂直． 2．掌握空间向量的数量
数量积
a·b
a·b＝_____a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3___________
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当 b≠0 时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a12＋a22＋a32； cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ a21＋a1ba122＋＋aa232b2b＋21＋a3bb223＋b23.
知识点三 空间两点间的距离公式 设 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则 P1P2＝|P→1P2|＝
_____x_2－__x_1__2＋___y_2_－__y1__2＋___z_2_－__z1__2 ____.
2．已知向量 a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝ 29，且 λ>0，则 λ 等于( C ) A．5 B．4 C．3 D．2
解析：λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝ 42＋1－λ2＋λ2 ＝ 29，且 λ>0，解得 λ＝3.
研习 1 空间向量的坐标运算 [典例 1] (1)已知 a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求 a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)， (a＋b)·(a－b)．
[自主记]解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2＋(－2)×0＋2×(－6)＝－8. (2)已知△ABC 中，A(2，－5,3)，A→B＝(4,1,2)，B→C＝(3，－2，5)，求顶点 B，C 的坐 标及C→A的坐标．
3．已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k 的值是( D )
A．1
1 B.5
3 C.5
7 D.5
解析：由已知得 ka＋b＝(k－1，k,2)， 2a－2b＝(3,2，－2)， 因为(ka＋b)⊥(2a－b)， 所以 3(k－1)＋2k－4＝0，得 k＝75.
4．在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|A→B|＝ 110，则 m 的值为 _____－__7_或 ___1_3_____．
解析：|A→B|＝ －1－22＋2－12＋3－m2 ＝ 110， 所以(3－m)2＝100,3－m＝±10. 所以 m＝－7 或 13.
5．已知 A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量A→B与A→C的夹角为____π3____．
解析：∵A→B＝(0,3,3)，A→C＝(－1,1,0)，
∴|A→B|＝3 2，|A→C|＝ 2，
A→B·A→C＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos〈A→B，A→C〉＝
→→ AB·AC →→
＝12，
|AB||AC|
又∵〈A→B，A→C〉∈[0，π]，
∴〈A→B，A→C〉＝π3.
强研习•重点难点要突破
[自主记]解：设 B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以A→B＝(x－2，y＋5，z－3)，B→C＝(x1－x，y1－y，z1－z)． 因为A→B＝(4,1,2)，
x－2＝4， 所以y＋5＝1，
z－3＝2，
x＝6， 解得y＝－4，
z＝5，
所以 B 的坐标为(6，－4,5)．
因为B→C＝(3，－2,5)，
x1－6＝3， 所以y1＋4＝－2，
z1－5＝5，
x1＝9， 解得y1＝－6，
z1＝10，
所以 C 的坐标为(9，－6,10)，C→A＝(－7,1，－7)．
[巧归纳]
3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距 积的坐标表示.
离公式，并能运用这些公式解决简单几何中的
问题.
精梳理•自主学习固基础
[笔记教材]
知识点一 空间向量的坐标运算
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示
坐标表示
加法 减法 数乘
a＋b a－b
λa
a＋b＝___(_a_1＋__b_1_，__a_2_＋__b_2， ___a_3＋__b_3_)_____ a－b＝____(a_1_－__b_1_，__a_2－__b_2_，__a_3_－__b_3)_____ λa＝_(_λ_a_1，__λ_a_2_，__λ_a_3)_，λ∈R
1．两向量平行的坐标表示
[重点讲解]
若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ
∈R，b≠0)． [注意]空间两向量平行与平面两向量平行的表达式不一样，但实质一致，即对应坐标
成比例，且比值为 λ.
2．利用向量法求空间两点距离的方法 (1)建系，确定两点坐标． (2)求出向量O→A，O→B的坐标． (3)求A→B的坐标． (4)根据公式求出A→B的模，即 AB 的距离．
[自我排查] 1．已知 M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O 为坐标原点，若O→M＝A→B，则点 B 的坐标应为
(B)
A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)
C．(1，－3,3)
D．(－9，－1，－1)
解析：O→M＝A→B＝O→B－O→A，O→B＝O→M＋O→A＝(9,1,1)．所以点 B 的坐标为(9,1,1)．
1．3 空间向量运算的坐标表示/
新课程标准
新学法解读 1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算
问题． 1.掌握空间向量的线性
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两 运算的坐标表示．
个向量是否共线或垂直． 2．掌握空间向量的数量
数量积
a·b
a·b＝_____a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3___________
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当 b≠0 时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a12＋a22＋a32； cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ a21＋a1ba122＋＋aa232b2b＋21＋a3bb223＋b23.
知识点三 空间两点间的距离公式 设 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则 P1P2＝|P→1P2|＝
_____x_2－__x_1__2＋___y_2_－__y1__2＋___z_2_－__z1__2 ____.
2．已知向量 a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝ 29，且 λ>0，则 λ 等于( C ) A．5 B．4 C．3 D．2
解析：λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝ 42＋1－λ2＋λ2 ＝ 29，且 λ>0，解得 λ＝3.
研习 1 空间向量的坐标运算 [典例 1] (1)已知 a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求 a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)， (a＋b)·(a－b)．
[自主记]解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2＋(－2)×0＋2×(－6)＝－8. (2)已知△ABC 中，A(2，－5,3)，A→B＝(4,1,2)，B→C＝(3，－2，5)，求顶点 B，C 的坐 标及C→A的坐标．
3．已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k 的值是( D )
A．1
1 B.5
3 C.5
7 D.5
解析：由已知得 ka＋b＝(k－1，k,2)， 2a－2b＝(3,2，－2)， 因为(ka＋b)⊥(2a－b)， 所以 3(k－1)＋2k－4＝0，得 k＝75.
4．在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|A→B|＝ 110，则 m 的值为 _____－__7_或 ___1_3_____．
解析：|A→B|＝ －1－22＋2－12＋3－m2 ＝ 110， 所以(3－m)2＝100,3－m＝±10. 所以 m＝－7 或 13.
5．已知 A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量A→B与A→C的夹角为____π3____．
解析：∵A→B＝(0,3,3)，A→C＝(－1,1,0)，
∴|A→B|＝3 2，|A→C|＝ 2，
A→B·A→C＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos〈A→B，A→C〉＝
→→ AB·AC →→
＝12，
|AB||AC|
又∵〈A→B，A→C〉∈[0，π]，
∴〈A→B，A→C〉＝π3.
强研习•重点难点要突破
[自主记]解：设 B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以A→B＝(x－2，y＋5，z－3)，B→C＝(x1－x，y1－y，z1－z)． 因为A→B＝(4,1,2)，
x－2＝4， 所以y＋5＝1，
z－3＝2，
x＝6， 解得y＝－4，
z＝5，
所以 B 的坐标为(6，－4,5)．
因为B→C＝(3，－2,5)，
x1－6＝3， 所以y1＋4＝－2，
z1－5＝5，
x1＝9， 解得y1＝－6，
z1＝10，
所以 C 的坐标为(9，－6,10)，C→A＝(－7,1，－7)．
[巧归纳]
3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距 积的坐标表示.
离公式，并能运用这些公式解决简单几何中的
问题.
精梳理•自主学习固基础
[笔记教材]
知识点一 空间向量的坐标运算
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示
坐标表示
加法 减法 数乘
a＋b a－b
λa
a＋b＝___(_a_1＋__b_1_，__a_2_＋__b_2， ___a_3＋__b_3_)_____ a－b＝____(a_1_－__b_1_，__a_2－__b_2_，__a_3_－__b_3)_____ λa＝_(_λ_a_1，__λ_a_2_，__λ_a_3)_，λ∈R
1．两向量平行的坐标表示
[重点讲解]
若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ
∈R，b≠0)． [注意]空间两向量平行与平面两向量平行的表达式不一样，但实质一致，即对应坐标
成比例，且比值为 λ.
2．利用向量法求空间两点距离的方法 (1)建系，确定两点坐标． (2)求出向量O→A，O→B的坐标． (3)求A→B的坐标． (4)根据公式求出A→B的模，即 AB 的距离．
[自我排查] 1．已知 M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O 为坐标原点，若O→M＝A→B，则点 B 的坐标应为
(B)
A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)
C．(1，－3,3)
D．(－9，－1，－1)
解析：O→M＝A→B＝O→B－O→A，O→B＝O→M＋O→A＝(9,1,1)．所以点 B 的坐标为(9,1,1)．