九年级 二次函数检测题(Word版 含答案)

九年级二次函数检测题（Word版含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x
﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝1
2
x2﹣
3
2
x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值
为4；（3）Q的坐标为（5
3
，﹣
28
9
）或（﹣
11
3
，
92
9
）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；
（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1
2
x2﹣
3
2
x﹣2），进而根据S
＝S△PHB+S△PHC＝1
2
PH•（x B﹣x C），进行计算即可求解；
（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．
【详解】
解：（1）对于直线y＝1
2
x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
令y＝0，即1
2
x﹣2＝0，解得：x＝4，
故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），
将点C的坐标代入上式并解得：a＝1
2
，
故抛物线的表达式为y＝
1
2
x2
﹣
3
2
x﹣2①；
（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，
设点P（x，
1
2
x2﹣
3
2
x﹣2），则点H（x，
1
2
x﹣2），
S＝S△PHB+S△PHC＝
1
2
PH•（x B﹣x C）＝
1
2
×4×（
1
2
x﹣2﹣
1
2
x2+
3
2
x+2）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；
（3）①当点Q在BC下方时，如图2，
延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，
则点C是RQ的中点，
在△BOC中，tan∠OBC＝
OC
OB
＝
1
2
＝tan∠ROC＝
RC
BC
，
则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22
(2)
x x
5＝BQ，
在△QRB中，S△RQB＝
1
2
×QR•BC＝
1
2
BR•QK，即
1
2
2x•2x＝
1
2
5，
解得：KQ
5
∴sin∠RBQ＝
KQ
BQ
5
5x
＝
4
5
，则tanRBH＝
4
3
，
在Rt △OBH 中，OH ＝OB•tan ∠RBH ＝4×
43＝163，则点H （0，﹣16
3
）， 由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝4
3
（x ﹣4）②， 联立①②并解得：x ＝4（舍去）或53
， 当x ＝
53时，y ＝﹣289，故点Q （53，﹣289）； ②当点Q 在BC 上方时，
同理可得：点Q 的坐标为（﹣113，929
）； 综上，点Q 的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929
）． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．
2．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2+2x +b 经过点B ．
（1）该抛物线的函数解析式；
（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '． ①写出点M '的坐标；
②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为d 1，d 2，当d 1+d 2最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．
【答案】（1）2
y x 2x 3=-++；（2）2
1525
228
S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ，258；（3）
①57,24M ⎛⎫
'
⎪⎝⎭
；②45°
【解析】
【分析】
（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出b的值．
（2）设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化．
（3）①由（2）可知m＝5
2
，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值．
②可将求d1+d2最大值转化为求AC的最小值．【详解】
（1）令x＝0代入y＝﹣3x+3，
∴y＝3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y＝﹣x2+2x+b并解得：b＝3，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，
∴0＝﹣x2+2x+3，
∴x＝﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
令y＝0代入y＝﹣3x+3，
∴x＝1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
＝1
2
×m×3+
1
2
×1×（-m2+2m+3）-
1
2
×1×3
＝﹣1
2
（m﹣
5
2
）2+
25
8
，
∴当m ＝
5
2时，S 取得最大值258
． （3）①由（2）可知：M′的坐标为（
52，7
4
）． ②设直线l′为直线l 旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l 1∥l′，过点B 作BF ⊥l 1于点F ，
根据题意知：d 1+d 2＝BF ， 此时只要求出BF 的最大值即可， ∵∠BFM′＝90︒，
∴点F 在以BM′为直径的圆上， 设直线AM′与该圆相交于点H ， ∵点C 在线段BM′上， ∴F 在优弧'BM H 上， ∴当F 与M′重合时， BF 可取得最大值， 此时BM′⊥l 1，
∵A （1，0），B （0，3），M′（
52，7
4
）， ∴由勾股定理可求得：AB 10，M′B 55
M′A ＝854
， 过点M′作M′G ⊥AB 于点G ， 设BG ＝x ，
∴由勾股定理可得：M′B 2﹣BG 2＝M′A 2﹣AG 2， ∴
8516
10﹣x ）2＝125
16﹣x 2，
∴x ＝
510
8
， cos ∠M′BG ＝
'BG BM 2
，∠M′BG= 45︒
此时图像如下所示，
∵l1∥l′，F与M′重合，BF⊥l1
∴∠B M′P=∠BCA＝90︒，
又∵∠M′BG=∠CBA= 45︒
∴∠BAC＝45︒．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．
3．已知点P(2，﹣3)在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．
（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；
（2）当L经过(3，3)时，求此时L的表达式及其顶点坐标；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；
（4）点M(x1，y1)，N(x2，y2)是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）k=-3-a ；对称轴x ＝1；y 轴交点(0，-3)；（2）2y=2x -4x-3，顶点坐标(1，-5)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2． 【解析】 【分析】
（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线
2a
x==12a
--
，并求得抛物线与y 轴交点； （2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；
（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；
（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值范围． 【详解】
解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2
y=ax -2ax+a+k ，
∴-3=4a 4a a+k=a+k -+ ∴k=-3-a ；
抛物线L 的对称轴为直线-2a
x=-=12a
，即x ＝1； 将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)；
（2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中， ∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ， ∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，
∴L 的表达式为2
y=2x -4x-3；
将其表示为顶点式：2
y=2(x-1)-5， ∴顶点坐标为(1，-5)；
（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，
∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1， ∴1＜-a-3≤2， ∴-5≤a ＜-4；
（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1， ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上， 即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；
②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去，
综上所述：-1≤t ≤2． 【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
4．如图，过原点的抛物线y=﹣
12
x 2
+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ． （1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；
（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；
（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2122
y x x =-
+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=
27时，抛物线向左平移． 【解析】 【分析】
（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；
（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2
m
），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；
（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】
解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12
-x 2
+bx+c ． 得0
40
c b b c =⎧⎨
-++=⎩，
∴02c b =⎧⎨=⎩
．
∴2211
2(2)222
y x x x =-
+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）．
（2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．
∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．
∵O′P=OP=m ． ∴C′D=
12O′P=1
2
m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（3
2m ，2
m ）．
当点O′在y=12
-x 2
+2x 上． 则−
12
m 2
+2m ＝m ． 解得：12m =，20m =（舍去）． ∴m=2． 当点C′在y=12
-x 2
+2x 上， 则12-
×(32
m )2+2×3
2m ＝12m ，
解得：120
9
m =，20m =（舍去）． ∴m=
209
（3）存在n=27
，抛物线向左平移． 当m=
209时，点C′的坐标为（103
，10
9）．
如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处．
以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．
∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（10
3
，
10
9
），点B（2，2）．
∴点A′（8
3
，
8
9
）．
∴点A″的坐标为（8
3
，
28
9
）．
设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39
k=，
解得：k=7
6
．
∴直线OA″的解析式为y=7
6 x．
将y=2代入得：7
6
x=2，
解得：x=12
7
，
∴点B′得坐标为（12
7
，2）．
∴n=2
122 77 -=．
∴存在n=2
7
，抛物线向左平移．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性
质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（3
2
m
，
2
m
）以及点B′的
坐标是解题的关键．
5．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点
C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=6
x
(x＞0)
经过点D，连接MD，BD．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；
（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(5
7
，0)，F(0，
5
3
)；（3）t=9﹣15
【解析】
【分析】
（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；
（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；
（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】
解；（1）C(0，3)
∵CD⊥y，
∴D点纵坐标是3．
∵D在y=6
x
上，
∴D(2，3)，
将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，
∴a=﹣1，b=2，
∴y=﹣x2+2x+3；
（2）M(1，4)，B(3，0)，
作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，
则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，
∴M'D'直线的解析式为y=﹣
7
3
x+
5
3
，
∴N(
5
7
，0)，F(0，
5
3
)；
（3）设P(0，t)．
∵△PBO和△CDP都是直角三角形，
tan∠CDP=
3
2
t-
，tan∠PBO=
3
t
，
令y=tan∠BPD=
3
23
3
1
23
t t
t t
-
+
-
-
，
∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，
△=﹣15y2+30y+1=0时，
y=
1515
15
-+
-
舍)或y=
1515
15
+
，
∴t=
3
2
﹣
1
2
×
1
y
，
∴t =9﹣
∴P (0，9﹣．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
6．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.
例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩
. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值； （2）已知二次函数2142
y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值；
②当33x -≤≤时，求函数2142
y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-
⎪⎝⎭、9,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范
围.
【答案】（1）1；（2）①22- ；②max 432y =，min 12
y =-；（3）31n -<≤-，514
n <≤
【解析】
【分析】 （1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；
（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可；
②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12
，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12
，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．
【详解】
解：（1）根据题意，
一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩
， ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则
(5)510a -⨯-+=，
∴1a =；
（2）根据题意，二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩
， ①当m ＜0时，将B （m ，32）代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322
=， 解得：
m=2
当m≥0时，将B （m ，32
）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=32， 解得：
或
m=2．
综上所述：
m=2-或
m=2+或
m=2-
②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12
，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2143(3)4(3)22
y =--⨯-+
=， ∴此时y 的最大值为432． 当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12
-，抛物线的对称轴为x=2， 当x=0有最小值，最小值为12
-， 当x=2时，有最大值，最大值y=72
． 综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-； （3）如图1所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有1个公共点．
∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．
如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得：n=-1．
∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），
∴n=1．
如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （12-
，1）， ∴14+2-n=1，解得：n=54
． ∴1＜n≤54
时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤
54． 【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．
7．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为3,0，点C 的坐标为()0,3．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面积；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．
【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）
12；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】
【分析】 （Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；
（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；
（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求DQ=2，可得FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解．
【详解】
解:（Ⅰ）依题意()()2
330{3
b c c --+⨯-+== 解得2{3
b c =-= 所以223y x x =--+
（Ⅱ）2223(1)4y x x x
抛物线的对称轴是直线1x =-
(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-
∵P 、Q 关于直线1x =-对称
设Q 的横坐标为a
则()11a x --=--
∴2a x =--
∴()22,23Q x x x ----+
∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--
∴周长()222
222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++
当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M -
∴2(3)1AM =---=
设直线AC 的解析式为y kx b =+
则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13
k b =⎧⎨=⎩ ∴设直线AC 的解析式为3y x
将2x =-代入3y
x ，得1y = ∴(2,1)E -，
∴1EM =
∴11111222
AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合，
∴3OQ =
∵2223(1)4y x x x
∴()1,4D -
过D 作DK y ⊥轴于K ，
则1DK =，4OK =
∴431OK OK OQ =-=-=
∴DKQ 是等腰直角三角形，2DQ =
∴224FG DQ ==
设()
2,23F m m m --+，则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+
∴234m m +=，解得14m =-，21m =
当4m =-时，2235m m --+=-
当1m =时，2230m m --+=．
∴()4,5F --或()1,0
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．
8．如图，已知二次函数1L ：()2
2311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2
341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），
（1）函数()2
2311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______；
（2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）；
（3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点；
①求所有定点的坐标；
②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？
【答案】（1）()1,41m --+，13x ；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-．
【解析】
【分析】
（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空； （2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；
（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和
2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；
②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．
【详解】
解：（1）12b x a
=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+， 由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大． 故答案为：(1,41)m --+；13x ；
（2）结论：四边形AMDN 是矩形．
由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：
A 点坐标为41(1m m ---
，0)，D 点坐标为41(3m m -+，0)， 顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，
AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，
AD ∴与MN 互相平分，
∴四边形AMDN 是平行四边形，
又AD MN =，
∴□AMDN 是矩形；
（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，
故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，
二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，
故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，
②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数
22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，
如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，
∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，
设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，
则EH 1=EF=H 1M=4，
由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2，
即22242(4)x =+-，
解得：43x =±
抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则
抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
9．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+2的图象与x 轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y 轴交于点C ．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）求直线AC 的函数解析式；
（3）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
【答案】（1）y=﹣
23x 2﹣43x+2；（2）223y x =+；（3）存在，(35,22
-) 【解析】
【分析】
（1）直接用待定系数法即可解答；
（2）先确定C 点坐标，设直线AC 的函数解析式y=kx+b ，最后用待定系数法求解即可；
（3）连接PO ，作PM⊥x 轴于M ，PN⊥y 轴于N ，然后求出△ACP 面积的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax
2+bx+2过点A （﹣3，0），B （1，0），
∴093202
a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ∴二次函数的关系解析式为y=﹣
23x 2﹣43x+2； （2）∵当x=0时，y=2，
∴C （0，2）
设直线AC 的解析式为y kx b =+，把A 、C 两点代入得 0=32k b b -+⎧⎨=⎩ 解得232
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的函数解析式为223
y x =+； （3）存在．
如图: 连接PO ，作PM⊥x 轴于M ，PN⊥y 轴于N
设点P 坐标为（m ，n ）,则n=224233
m m --+），PN=-m ，AO=3 当x=0时，y=22400233-⨯-⨯+=2，
∴点C 的坐标为（0,2），OC=2
∵PAC PAO PCO ACO S S S S =+-
212411322()322332
2m m m ⎛⎫=⨯⋅--++⨯⋅--⨯⨯ ⎪⎝⎭ =23m m --
∵a=-1<0
∴函数S △PAC =-m 2-3m 有最大值
∴b 当m=()33212
-=--⨯-
∴当m=32-时，S △PAC 有最大值n=222423435223332322m m ⎛⎫--+=-⨯-⨯+= ⎪⎝⎭ ∴当△ACP 的面积最大时，P 的坐标为（35,22
-
）． 【点睛】 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值等知识点，根据题意表示出△PAC 的面积是解答本题的关键．
10．如图，已知顶点为M （32，258
）的抛物线过点D （3，2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点P 是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标； （3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）213222y x x =-
++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 139313-+）． 【解析】
【分析】 （1）用待定系数法求解即可；
（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解；
（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213222
a a -++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】
解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣
32）2+258， 将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣32）2+258
，
解得：a ＝﹣12， ∴抛物线的表达式为：213222
y x x =-
++； （2）当x ＝0时，y ＝﹣12x 2+32
x +2＝2， 即点C 坐标为（0，2）， 同理，令y ＝0，则x ＝4或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），
过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H ，
由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：y ＝
12（x +1）， 设点P （x ，﹣12x 2+32
x +2），则点H （x ，12x +12）， 则△PAD 面积为：
S ＝S △PHA +S △PHD ＝12×PH ×（x D ﹣x A ）＝12×4×（﹣12x 2+32x +2﹣12x 12
-）＝﹣x 2+2x +3， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，
当x ＝1时，S 有最大值，则点P （1，3）；
（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（a ，﹣12a 2+32
a +2），
当P 点在y 轴右侧时（如图2），CQ ＝a ，
PQ ＝2﹣（﹣12a 2+32a +2）＝12a 2﹣32
a ，
又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P ＝90°，∠COQ ′＝∠Q ′FP ＝90°，
∴∠FQ ′P ＝∠OCQ ′，
∴△COQ ′∽△Q ′FP ，
'''Q C Q P CO FQ =，即213222'a a a Q F
-=， ∴Q ′F ＝a ﹣3，
∴OQ ′＝OF ﹣Q ′F ＝a ﹣（a ﹣3）＝3，CQ ＝CQ ′
=
= 此时a
P
92
-+）． 【点睛】
此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目．。