山东省聊城市2019届高三4月份第二次模拟考试(数学理)(附答案)

2019年聊城市高考模拟试题
理科数学(二)
注意事项：
1．本试题分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考生号涂写在答题卡上．
3．答选择题时，考生须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效．
4．第Ⅱ卷写在答题卡对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题． 5．考试结束后，只将答题卡交回．
第I 卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设集合{
}
{}
2
2,14A x x x B x x =≤=<<，则A B ⋃= A ．(),4-∞
B ．[)0,4
C ．(]1,2
D ．()1,+∞
2．已知,a b R ∈，若2b i
a i i
--=，则a bi +的共轭复数为 A ．2i --
B ．2i -+
C ．2i -
D ．2i +
3．已知实数,,,a b c “a b >”是“2
2
ac bc >”的 A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若S 4=16，S 5=S 3+24，则a 6= A ．4
B ．12
C ．18
D ．20
5.已知函数()()122,2,
, 2.
x f x x f x e x x -⎧-->⎪=⎨+≤⎪⎩则()2019f =
A ．2
B ．
1
e
C ．－2
D ．e+4
6．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关．如图是根据考拉兹猜想设
计的一个程序框图，则输出i 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
7．已知212n
x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
展开式中前三项的二项式系数的和等于22,则展开式中的常数项为
A ．
1516
B ．
34
C ．34
-
D ．15
16
-
8．某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图都是两个正方形，俯视图为一个圆及圆中互相垂直的半径，则该几何体的体积为
A ．
54π B ．
32π C ．
74π D ．2π
9．函数()()sin 2cos x
f x x x
ππ=-≤≤+的图象大致为
10．将函数sin 2y x =的图象向右平移()0ϕϕ> 个单位长度后与sin 2y x =-的图象重合，则ϕ值为
A ．
6π B ．
4π
C ．3
π
D ．2
π
11．已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切于点P(m ，2)，则AB = A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
12．已知()f x '为函数()f x 的导函数，且()()()211012x f x x f x f e -'=
-+，若()()21
2
g x f x x x =-+，方程()0g ax x -=有且只有一个根，则a 的取值范围是
A ．1e ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
B ．1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．10,e
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
D ．()1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13．已知实数,x y 满足230,0,1,x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，则2z y x =-的最小值是__________．
14．已知向量()(),1,4,a m b m ==，且a b a b
=，则m=______．
15．已知O 为坐标原点，F 为椭圆C: ()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点，过点F 的直线在第一象限与椭圆C 交
于点P ，且△POF 为正三角形，则椭圆C 的离心率为_______．
16．对于数列{}n a ，定义11222n n n a a a H n
-+++=…为{}n a 的“优值”．已知某数列{}n a 的“优值” 1
2n n H +=，
记数列{}n a kn -的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围为__________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．
17．(12分)
如图，在△ABC 中，D 是边BC 上一点，AB=AC ，BD=1，sin ∠CAD=3sin ∠BAD ． (1)求DC 的长；
(2)若AD=2，求△ABC 的面积．
18．(12分)
如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把△ADE 折起，
使点D 到达点P 的位置，且∠PAB=60°． (1)求证：平面PEC ⊥平面PAB ； (2)求二面角P —AE —B 的余弦值．
19．(12分)
已知以椭圆E ：()22
2210x y a b a b
+=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形．
(i)求椭圆E 的方程；
(2)直线():0l y kx m km =+≠与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ，B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线BC 与x 轴交于点M ．若直线BC ，AM 的斜率分别
为k 1，k 2试判断k 1+2k 2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 20．(12分)
某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图(如图1)：
规定产品的质量指标值在[)6575，的为劣质品，在[)65105，的为优等品，在[)1055，11的为特优品，销售时劣质品每件亏损1元，优等品每件盈利3元，特优品每件盈利5元．以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率． (1)求每件产品的平均销售利润；
(2)该企业为了解年营销费用x (单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用i x 和年销售量i y (i=1，2，3，4，5)数据做了初步处理，得到如图2的散点图及一些统计量的值．
表中55
11
11ln ,ln ,,55i i i i i i i i u x v y u u v v ======∑∑.
根据散点图判断，b
y ax =可以作为年销售量y(万件)关于年营销费用x (万元)的回归方程．
①求y 关于x 的回归方程；
②用所求的回归方程估计该企业应投入多少年营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大?(收益=销售利润－营销费用，取 3.0120e
=)
附：对于一组数据(11,u v )，(22,u v )，…，(,n n u v )，其回归直线v u αβ=+
的斜率和截距的最小二乘估计分别
为()()
()
5
1
5
2
1
=
=.i
i
i i
i u u v v v u u u βαβ==----∑∑，
21．(12分)
已知函数()1ln 12f x x x x a ⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
有两个极值点． (1)求a 的取值范围；
(2)设()1212,x x x x <是()f x 的两个极值点，证明：122ln ln 0.x x +<
(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C ：12cos 12sin x y α
α
=+⎧⎨
=-+⎩ (α为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 42
πρθ⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，点P(1，0)，求PA PB PB
PA
+
的值．
23．[选修4—5：不等式选讲](10分) 已知函数()212f x x x =+--． (1)求不等式()3f x >的解集；
(2)若[],1x a ∈ (其中a <1)时，()f x x a ≤-恒成立，求实数a 的取值范围．
11。