高三数学易错三角函数与解三角形多选题 易错题自检题检测试题

高三数学易错三角函数与解三角形多选题 易错题自检题检测试题
一、三角函数与解三角形多选题
1．知函数()()sin 04f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭，则下述结论中正确的是（ ）
A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点
B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在20,
15
π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范是1519,88⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．若()f x 的图象关于4
x π
=对称，且在5,1836ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【分析】 令4
t x π
ω=+
，由[]
0,2x π∈，可得出,24
4t π
πωπ⎡⎤∈+⎢
⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间
,24
4π
πωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，可判断A 选项正误；根据已知条件求出ω的取值范围，可判断C 选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D 选项的正误. 【详解】 令4t x π
ω=+
，由[]0,2x π∈，可得出,24
4t π
πωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦
， 作出函数sin y t =在区间,24
4π
πωπ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：
对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点，A 选项正确；
对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4254
π
πωππ≤+
<，解得
1519
88
ω<≤，C 选项正确； 对于B 选项，若
1519
88ω<≤，则2192154604
πππππω≤+<+，
所以，函数()f x 在区间20,
15
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上不单调，B 选项错误； 对于D 选项，若()f x 的图象关于4
x π
=
对称，则
()4
4
2
k k Z ωπ
π
π
π+
=
+∈，
()14k k Z ω∴=+∈.
52361812
T ππππω∴
=≥-=，12ω∴≤，()41k k Z ω=+∈，max 9ω∴=. 当9ω=时，()sin 94f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，当5,1836x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，339442x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，合乎题意，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成
()sin y A ωx φ=+形式，
再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
2．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x f
θ=，
()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）
A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；
B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；
C ．()()1f
g θθ+≥在02πθ⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
，上恒成立；
D ．函数()()22t f g θθ=+.
【答案】ACD 【分析】
依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可
判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，再利用三角函数求值域可
判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可
得当1sin 2θ=
，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．
【详解】
由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos f
θθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；
对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f
θθ=在()0,π上为减函数，函
数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
为增函数，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，故B 错误；
对于C ，当0θπ⎛
⎤∈ ⎥2⎝⎦
，时，3,444π
ππθ⎛⎤+
∈ ⎥⎝⎦
()()cos sin 2sin [1,2]4f g πθθθθθ⎛
⎫+=+=+∈ ⎪⎝
⎭，故C 正确；
对于D ，函数()()222cos sin2t f
g θθθθ=+=+，
求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<
；令0t '<，则1
sin 12
θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,
66
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减， 当6
π
θ=
即1sin 2θ=
，3cos 2
θ=时，函数取得极大值31333222t =⨯+⨯⨯=
， 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=， 所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值3
32
，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
3．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且
()3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法
正确的是（ ）
A ．ABC 是等边三角形
B ．若A
C =A ，B ，C ，
D 四点共圆
C ．四边形ABC
D 面积最大值为32+
D ．四边形ABCD 3 【答案】AC 【分析】
利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B ，再利用a b =，可知ABC 为等边三角形，从而判断A ；利用四点A ，B ，C ，D 共圆，四边形对角互补，从而判断B ；设
AC x =，0x >，在ADC 中，由余弦定理可得2106cos x D =-，利用三角形的面积公
式，三角函数恒等变换的，可求ABCD S 四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断
CD ．
【详解】
由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，
(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，
2sin ,sin 2
B B =∴=
， a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,
)2
B π
∴∈，
,3
B AB
C π
∴=
∴△是等边三角形，A 正确；
B 不正确：若,,,A B
C
D 四点共圆，则四边形对角互补， 由A 正确知21,cos 32
D D π∠=
=-，
但由于1,3,DC DA AC ===
2222221311
cos 221332
DC DA AC D DA DC +-+-===-≠-⋅⋅⨯⨯，
∴B 不正确． C 正确，D 不正确：
设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，
(106cos )cos 422
ABC S θθ∴=
⋅-=-△， 3
sin 2
ADC S θ=
△，
3sin 2ABC
ADC
ABCD S S
S
θθ∴=+=
-+
四边形
13(sin cos 2θθ=⋅
-+
，
3sin()3
π
θ=-
+
(0,),sin()(3
2
πθπθ∈∴-∈-，
3ABCD S <≤
+四边形，∴C 正确，D 不正确； 故选：AC.． 【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
4．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ） A ．AB AC →
→
⋅为定值
B ．2210A
C AB += C ．
co 4
15
s A << D ．BAD ∠的最大值为30
【答案】ABD 【分析】
A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，
B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，
C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，
D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】 对于A ，
2
2
413AB AC AD DB AD DB AD DB →
→
→→→→→→
⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→
∴⋅为定
值，A 正确； 对于B ，
cos cos ADC ADB
∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠
2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；
对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242
122b c bc cosA bc bc bc
+--=≥=-（当且仅当
b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，
22cos cos 1133cos A
A A
∴≥-
=-，
解得3
cos 5
A ≥
，故C 错误；
对于D ，2222213cos 4442
c c BAD c c c +-+∠==≥=
（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠，
所以(0,)2
BAD π
∠∈，又cos 2
BAD ∠≥
，所以BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.
5．已知2
π
-
＜θ2
π
＜
，且sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），则关于tan θ的值，在以下
四个答案中，可能正确的是（ ） A ．﹣3 B ．
13
C ．13
-
D ．12
-
【答案】CD 【分析】
先由已知条件判断cos 0θ>，sin 0θ<，得到sin 1tan 0cos θ
θθ
-<=<，对照四个选项得到正确答案. 【详解】
∵sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），
∴两边平方得：1+22
sin cos =a θθ，∴21
sin cos =02
a θθ-<，
∵2
2π
π
θ-
<
＜，∴可得cos 0θ>，sin 0θ<，
∴sin tan 0cos θ
θθ
=
<， 又sin θ+cos θ＝a 0>，所以cos θ＞﹣sin θ，所以sin tan 1cos θ
θθ
=
>- 所以sin 1tan 0cos θ
θθ
-<=
<， 所以tan θ的值可能是13-，1
2
-．
故选：CD 【点睛】
关键点点睛：求出tan θ的取值范围是本题解题关键．
6．设函数()()31sin sin 022f x x x πωωω⎛⎫
=++> ⎪⎝⎭
，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则（ ）
A ．在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=
B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点
C ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 D ．ω的取值范围是1723,66⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ 【答案】AD 【分析】
化简函数()f x 的解析式为()sin 6f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，令6
t x πω=+，由[]
0,x π∈可求得
,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫
=≤≤+> ⎪⎝⎭
的图象，可判断AB 选项
的正误；由图象得出346
π
πωππ≤+
<可判断D 选项的正误；取3ω=，利用正弦型函
数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】
()3131sin sin sin cos sin 222226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=
++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 当[]
0,x π∈时，,666x π
π
πωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,6
6t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，
作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫
=≤≤+>
⎪⎝⎭
的图象如下图所示：
对于A 选项，由图象可知，max 1y =，min 1y =-，
所以，在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=，A 选项正确； 对于B 选项，()f x 在()0,π上有1个或2个最小值点，B 选项错误；
对于D 选项，由于函数()f x 在[]
0,π有且仅有3个零点，则346
π
πωππ≤+<，解得
1723
66
ω≤<，D 选项正确； 对于C 选项，由于
172366ω≤<，取3ω=，当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，53663x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上不单调，C 选项错误. 故选：AD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元6
t x π
ω=+
，将问题转化为函数sin y t =在区间,6
6π
πωπ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦上的
零点个数问题，数形结合来求解.
7．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2
C π
>
，则222sin sin sin C A B >+
C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形
D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ 【答案】ABC 【分析】
根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD. 【详解】 A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理
sin sin a b
A B
=，可知sin sin A B >，故A 正确； B.
2
C π
>，222
cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知
222sin sin sin C A B >+，故B 正确；
C.当02
A π
<<
时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫
<⇔-<
⎪⎝⎭
，即2
2
A B A B π
π
->⇒+<
，即2
C π
>
，则ABC 为钝角三角形，若2
A π
>
，
sin cos cos cos 2A B A B π⎛
⎫<⇔-< ⎪⎝
⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当
2
A π
=
是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，
故C 正确；
D.A B A B ππ+<⇒<-，
0,0A B πππ<<<-<，
()cos cos cos A B B π∴>-=-，
即cos cos 0A B +>，故D 不正确. 故选：ABC 【点睛】
关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.
8．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称
B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]
1,2- 【答案】BC 【分析】
利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在
[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，因为06f π⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
62f f ππ⎛⎫
⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称，故A 错误；
对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
27,636x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，
()()()
cos sin cos f x x x x x
πππ+=+-+=--
()
cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.
当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，
所以()f x 在区间0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，()()min
01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫
== ⎪⎝⎭ 由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
当,2x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦
时，()max 2f x f π⎛⎫
== ⎪⎝⎭()
()min
1f x f π==-.
所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；
对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.
故选：BC. 【点睛】
方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[]
,a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或
()cos y A x k ωϕ=++的形式；
第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
二、数列多选题
9．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数()2k k ≥，使得对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是“间隔递增数列”，k 是{}n a 的“间隔数”，下列说法正确的是（ ） A ．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列” B ．若()21n
n a n =+-，则{}n a 是“间隔递增数列”
C ．若(),2n r
a n r r n
*=+
∈≥N ，则{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D ．已知2
2021n a n tn =++，若{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则
54t -<≤-
【答案】BCD 【分析】
利用新定义，逐项验证是否存在正整数()2k k ≥，使得0n k n a a +->，即可判断正误. 【详解】
选项A 中，设等比数列{}n a 的公比是()1q q >，则
()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，其中1k q >，即()
110n k q q -->，若10a <，则0n k n a a +-<，即n k n a a +<，不符合定义，故A 错误；
选项B 中，()()()()()21212111n k n n k n k n a a n k n k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++--+-=+---⎣⎦-=⎣⎦⎣⎦
， 当n 是奇数时，()211k n k n a a k +=---+，则存在1k 时，0n k n a a +->成立，即对任
意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义；当n 是偶数时，()211k n k n a a k +-=+--，则存
在2k ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义.综上，存在2k ≥时，对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，故B 正确；
选项C 中，
()()1n k n r r kr r a a n k n k k n k n n k n n k n +⎡⎤-⎛⎫⎛⎫++-+=+=-⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎣-⎦
=⎥()2n kn r k n k n +-=⋅+，令2()f n n kn r =+-，开口向上，对称轴02
k -<，故2()f n n kn r =+-在n *∈N 时单调递增，令最小值(1)10f k r =+->，得1k r >-，
又k *∈N ，2k ≥，,2r r *∈≥N ，故存在k r ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意
n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，“间隔数”的最小值为r ，故C 正确；
选项D 中，因为22021n a n tn =++，是“间隔递增数列”，则
()()()
2222021202012n k n a a n k t n k kn k t n n k t +⎡⎤-=-=++>⎣++++⎦++，即20k n t ++>，对任意n *∈N 成立，设()2g n k n t =++，显然在n *∈N 上()g n 递增，故要使()20g n k n t =++>，只需(1)20g k t =++>成立，即2t k --<.
又“间隔数”的最小值为3，故存在3k ≥，使2t k --<成立，且存在k 2≤，使2t k --≥成立，故23t --<且22t --≥，故54t -<≤-，故D 正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数()2k k ≥，使0n k n a a +->对于任意的n *∈N 恒成立，逐项突破难点即可.
10．设数列{}n a 前n 项和n S ，且21n n S a =-，21log n n b a +=，则（ ）
A ．数列{}n a 是等差数列
B ．12n n a
C ．22222123213n n a a a a -+++
+= D ．1223341
11111n n b b b b b b b b +++++< 【答案】BCD
【分析】
利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式，可判断AB 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C 选项的正误；利用裂项求和法可判断D 选项的正误.
【详解】
对任意的n *∈N ，21n n S a =-.
当1n =时，11121a S a ==-，可得11a =；
当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-，
上述两式作差得122n n n a a a -=-，可得12n n a a -=，
所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，A 选项错误，B
选项正确；
()22
1124n n n a --==，所以，2
222
1231441143n
n n a a a a --==-++++，C 选项正确； 212log log 2n n n b a n +===，
()1111111n n b b n n n n +==-++， 所以，122334
11111111111111112233411n n b b b b b b b b n n n +++++=-+-+-++
-=-<++， D 选项正确.
故选：BCD.
【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.。