2022届全国普通高中高考考前模拟数学理(二)试题(解析版)

理 科 数 学（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合{}220A x x x =--<，{}
24B x x =<，则A B =（ ） A ．A
B ．B
C ．()1,0-
D ．()0,2
2．已知复数12i z =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A ．(1,2)-
B ．(1,2)
C ．(2,1)-
D ．(1,2)--
3．已知函数()()()2log 23,14,
1x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨
+<⎪⎩，则()()2022f f -=（ ） A ．2 B ．3
C ．2log 9
D ．2log 11
4．已知()2sin cos 3
παα++=，则sin 2α=（ ）
A ．79
B ．59
C ．49
D ．29
5．《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为2000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，若良马和驽马第n 天相遇，则n 的最小整数值为（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
6．盒子中装有编号为0，1，2，3，4，5，6的7个球，从中任意取出两个，则这两个球的编
号之和为3的倍数的概率为（ ） A ．421
B ．521
C ．27
D ．13
7．已知命题1p ：存在00x >，使得0044x x +
≤，命题2p ：对任意的x ∈R ，都有2
2tan 1a t n 2t a n x x
x -=，命题3p ：存在0x ∈R ，使得003sin 4cos 6x x +=，其中正确命题的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为0
0G G
L L D
=，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，
0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为05．，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为045．，则学习率衰减到005．以下（不含0.05）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈） A ．11
B ．22
C ．227
D ．481
9．设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
若cos cos )c B b C =-，且ABC
△的面积为1
cos 2
S c A =，则A =（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．3
π
D ．2
π
10．设椭圆2212516
x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且满足129PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅的值是（ ） A ．14
B ．17
C ．20
D ．23
11．如图（1），正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若将正方体绕着体对角线1AC 旋转，则正方体所经过的区域构成如图（2）所示的几何体，该几何体是由上、下两个圆锥和单叶双曲面构成，则其中一个圆锥的体积为（ ）
A ．23π
B ．9
π
C 3π
D ．3
π
12．若不等式()()
2
2
ln a b a b m -+-对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范
围是（ ）
A ．1,2⎛⎤
-∞ ⎥⎝
⎦ B ．2,2⎛-∞ ⎝
⎦ C ．(
2-∞
D ．(],2-∞
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．()52x y -的展开式中23x y 的系数是_________．（用数字作答）
14．已知△ABC 中，1AB AC ==，2BC =O 是△ABC 的外心，则CO AB ⋅=________． 15．已知数列{}n a 满足121213332n n n n n a a a a ---++++=，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为
___________．
16．一个二元码是由0和1组成的数字串．()
*123
n x x x x n ∈N ，其中(1,2,
,)k x k n =称为第k
位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）．已知某种二元码713
2x x x x 的码元满足如下校验方程组：
126713573
467100
x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪
⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩，其中运算⊕定义为000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101011，那么利用上述校验方程组可判定k 等于_________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2sin tan 12cos C A C
=-． （1）求
sin sin A B
；
（2）若23c a =，且ABC △的面积为234，求边长a ．
18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，
222AD DE AB AF ====，O 为AC 与BD 的交点，点H 为棱CE 的中点． （1）求证：//OH 平面ADEF ； （2）求二面角C BH F --的余弦值．
19．（12分）已知函数2()ln f x x x =-． （1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；
（2）若1()e 0x f x ax -+-≥，求实数a 的取值范围．
20．（12分）已知椭圆()2222:10x x C a b a b +=>>的左、右焦点1F ，2F 恰好是双曲线2218
y x -=的左右顶点，椭圆C 上的动点M 满足12122MF MF F F +=，过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）椭圆C 上是否存在点M 使得四边形OAMB （O 为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录．由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．（1）从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；
（2）以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对
该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了
1
10
，以获得“巧手奖”的
次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
1cos
1sin
x a
y a
α
α
=-+
⎧
⎨
=+
⎩
（α为参数，0
a>），以坐
标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos
ρθ
=．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）设C
1与C2的公共点分别为A，B，||
AB=a的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数2
()1|2|
f x x x
=-+-．
（1）求不等式()3
f x≥的解集；
（2）若2
()3
f a a a
≤+-，求满足条件的实数a的取值范围．
理 科 数 学（二）答 案
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A
【解析】集合{}
{}22012A x x x x x =--<=-<<，{}22B x x =-<<， 所以A B A =，故选A ． 2．【答案】D
【解析】z 在复平面内对应的点为()1,2-，关于虚轴对称的点是(1,2)--，故选D ． 3．【答案】D
【解析】由题意，()()()()22022245062log 2323f f f -=-⨯==+⨯=， 所以()()()()2220223log 233log 11f f f -==+⨯=，故选D ． 4．【答案】B
【解析】由已知可得3
cos si 2n αα-=
，
等式两边平方得412sin cos 1sin 29ααα-=-=，解得5sin 29
α=， 故选B ． 5．【答案】D
【解析】设驽马、良马第n 天分别行n a 、n b 里， 则数列{}n a 是以100为首项，以2-为公差的等差数列， 数列{}n b 是以155为首项，以12为公差的等差数列， 由题意可得()()
()212121100155525020002
2
n n n n n n n n -⋅--+
++
=+≥，
整理可得
2504000n n +-≥，解得25n ≤--25n ≥， 而
7258<<，故n 的最小整数值为8，故选D ． 6．【答案】D
【解析】从7个不同的球中取出2个球，则共有2721C =种情况，
编号之和为3的倍数，即编号之和为3,6,9，则共有111
2327C C C ++=种情况，
故满足题意的概率71
213
P ==，故选D ． 7．【答案】B
【解析】当02x =时，显然1p 成立； 当4
x π=
时，可知2
p 不成立；
由辅助角得0003sin 4cos 5sin()x x x ϕ+=+，所以003sin 4cos x x +的最大值为5，所以3p 为假， 故选B ． 8．【答案】D 【解析】由于0
0G G L L D =，所以22
0.5G L D ⨯=，
依题意2222
90.5100.45D D ⇒=
=⨯，则22
9100.5G L ⎫
⎪⎝⎭
⨯⎛=， 由22
0.50.05190G L ⨯<⎛⎫
=⎪⎝⎭
，得22
91101G
⎛⎫
⎪
<
⎝⎭
， 22
1lg
,1l 1099
g lg 1010
22G G ⎛⎫ ⎭
<⎝<-⎪， ()2lg9lg 021G ⋅-<-，()9
22
22,lg10lg 9lg10lg G G ⋅>
->-，
222222
480.35120.48
12lg 37710.045G ==≈->
-⨯，
所以所需的训练迭代轮数至少为481轮，故选D ． 9．【答案】C
【解析】因为cos cos )c B b C =-，
所以由正弦定理可得sin cos sin sin cos C B B B C =-，
可得sin cos sin cos sin()sin sin C B B C B C A B +=+==，
可得a =
，可得b =
因为ABC △
的面积为111c cos bcsin sin 222S A A c A ===⨯，
可得tan A = 又()0,A π∈，所以3
A π=，故选C ．
10．【答案】D
【解析】设12||,||m PF n PF ==，12F PF θ∠=， 由题意cos 9mn θ=
，易知5,4,3a b c ====， 则12||26F F c ==，210m n a +==，
于是由余弦定理可得()222
212||cos 2362cos 182m n F F m n mn mn mn
θθ+-=⇒+--==，
即1002361823mn mn --=⇒=，故选D ． 11．【答案】A
【解析】因为正方体的棱长为1，
所以外接圆的半径为2323⨯=，
圆锥的母线长为正方体的边长，即1l =，
所以圆锥的高为3
h ===，
所以圆锥的体积为2
21133V r h ππ==⨯=⎝⎭
，故选A ．
12．【答案】B
【解析】设T =T 的几何意义是直线y x =上的点(,)P a a 与曲线
()ln f x x =上的点(,ln )Q b b 的距离，
将直线y x =平移到与曲线()ln f x x =相切时，切点Q 到直线y x =的距离最小． 而()1
f x x
'=
，令()0011f x x =='，则01x =，可得(1,0)Q ，
此时，Q 到直线y x =
2=
，故min ||PQ =，
所以m ≤
，故选B ．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】80-
【解析】()52x y -的展开式的通项公式为()()5515522r r r r r r r r T C x y C x y --+=-=-，
令3r =，可得()3323235280C x y x y -=-，
所以()52x y -的展开式中23x y 的系数是80-， 故答案为80-．
14．【答案】12
（或0.5）
【解析】在
ABC △中，1AB AC ==，BC =O 是ABC △的外心，
又222AB AC BC +=，所以ABC △是等腰直角三角形，所以O 是三角形的斜边中点，
所以111
cos 451222CO AB BC AB ⋅=︒==，
故答案为
12
． 15．【答案】1
2,
12,2n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩ 【解析】当1n =时，12a =， 当2n ≥时，121213332n n n n n a a a a ---++
++=，①
231121332n n n n a a a ----++
+=．②
①3-⨯②，得()122n n a n -=-≥．
因为12a =不满足上式，所以12,
12,2n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩，
故答案为12,
12,2
n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩．
16．【答案】6
【解析】依题意，二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101011， ①若1k =，则12345670,1,0,1,0,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得
13571x x x x ⊕⊕⊕=，故1k ≠；
②若2k =，则12345671,0,0,1,0,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得
34671x x x x ⊕⊕⊕=，故2k ≠；
③若3k =，则12345671,1,1,1,0,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得
13571x x x x ⊕⊕⊕=，故3k ≠；
④若4k =，则12345671,1,0,0,0,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得
12670x x x x ⊕⊕⊕=，故4k ≠；
⑤若5k =，则12345671,1,0,1,1,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得
12670x x x x ⊕⊕⊕=，故5k ≠；
⑥若6k =，则12345671,1,0,1,0,0,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得
1267135734671,0,0x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=，故6k =符合； ⑦若7k =，则12345671,1,0,1,0,1,0x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得
13571x x x x ⊕⊕⊕=，故7k ≠， 综上，k 等于6，故答案为6．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1
（2）2．
【解析】（1）解：由tan
A =
sin cos A A =
，
即
sin cos cos A A C C A =， 所以
)sin A C A +=，
因为A C B π+=-
sin B A =
，所以
sin sin A
B
=． （2）解：由（1
）知sin B A =
，可得a =
，即b a =
，c =，
利用余弦定理可得22
2
2223cos 22
a a a a
b
c C ab +-
+-===
所以sin C ==
所以ABC △
的面积为21sin 216
ABC S ab C a ==△，
又因为ABC S =△
2=，解得24a =，即2a =．
18．【答案】（1）证明见解析；（2
）．
【解析】（1）证明：如图所示，连接AE ， 因为四边形ABCD 是矩形，AC BD O =，
所以O 是AC 的中点，
因为H 是CE 的中点，所以//OH AE ，
因为AE ⊂平面ADEF ，OH ⊂/平面ADEF ，所以//OH 平面ADEF ．
（2）解：由条件可知AB ，AD ，AF 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
则(1,0,0)B ，(1,2,0)C ，1,2,12H ⎛⎫
⎪⎝⎭，(0,0,1)F ，
可得1,2,12BH ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，(1,0,1)BF =-，(0,2,0)BC =，
设平面BFH 的法向量为()111,,x y z =m ，所以111111202
BH x y z BF x z ⎧
⋅=-++=⎪
⎨⎪⋅=-+=⎩
m m ，
取14x =，可得121,4y z =-=，所以(4,1,4)=-m ；
设平面BCH 的法向量为()222,,x y z =n ，所以11111202
20
BH x y z BC y ⎧
⋅=-++=⎪
⎨⎪⋅==⎩n n ， 取22x =，可得220,1y z ==，所以()2,0,1=n ， 所以(4,1,4)(2,0,1)4165cos ,551611641
⋅-⋅〈〉=
==
⋅++⋅+m n m n m n ， 由图可知二面角C BH F --为钝角，所以二面角C BH F --的余弦值为416555
-．
19．【答案】（1）0x y -=；（2）2a ≤．
【解析】（1）解：函数定义域为()0,∞+，1()2f x x x
'=-，
则(1)1f '=，()11f =，
所以切线方程为()()()111y f f x '-=-，即0x y -=． （2）解法一：
记21()ln x F x x x e ax -=-+-，
由()10F ≥，得1010a -+-≥，即2a ≤． 当2a ≤时，由0x >，21()ln e 2x F x x x x -≥-+-， 令21()ln e 2x G x x x x -=-+-， 则1111()2e 22e (1)x x G x x x x x --⎛
⎫'=-
+-=-+- ⎪⎝
⎭， 当()0,1x ∈时，()0G x '<；当()1,x ∈+∞时，()0G x '>，
所以()G x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，
()()10G x G ≥=，即()()0F x G x ≥≥， 综上可知，2a ≤． 解法二：
由条件知，21ln e 0x x x ax --+-≥，在0x >上成立，
所以21ln e x x x a x --+≤，在0x >上成立，
记21ln e ()x x x F x x
--+=，
则(
)(
)
1212122
12e ln e 1(1)e ln ()x x x x x x x x x x x F x x x ---⎛⎫-+--+ ⎪-+-+⎝⎭'==，
当()0,1x ∈时，()0F x '<；当()1,x ∈+∞时，()0F x '>， 所以()F x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，
()min ()12F x F ==，
则实数a 的取值范围为2a ≤．
20．【答案】（1）22
143x y +=；（2）存在()2,0M ，使得四边形OAMB 为平行四边形． 【解析】（1）因为2
2
18
y x -=的左右顶点为()1,0-和()1,0，所以1c =， 因为12122MF MF F F +=，所以24a c =，所以2a =， 因为222a c b -=
，所以b =
所以椭圆C 的标准方程为22143
x y +=． （2）假设存在点M 使得四边形OAMB （O 为原点）为平行四边形， 设()00,M x y ，
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，所以31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
因为OAMB 为平行四边形，所以OA OB OM +=，
所以()00331,1,,22x y ⎛⎫⎛
⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
所以()()002,0,x y =，即()2,0M ，点M 在椭圆C 上，符合题意；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，
()
2
2
1143y k x x y ⎧=-⎪⎨+
=⎪⎩
，整理得()22223484120k x k x k +-+-=， 所以2122
834k x x k
+=+，2
12241234k x x k -=+，()121226234k y y k x x k -⎡⎤+=+-=⎣⎦+， 因为OAMB 为平行四边形，所以OA OB OM +=，
所以()()()112200,,,x y x y x y +=，即()()121200,,x x y y x y ++=，
所以22286,3434k k M k k ⎛⎫
- ⎪
++⎝⎭
， 将点M 代入椭圆方程得2340k +=，方程无解， 故当直线l 的斜率存在时，不存在点M ，
综上所述，存在()2,0M ，使得四边形OAMB 为平行四边形．
21．【答案】（1）3350
；（2）该同学没有希望进入决赛． 【解析】（1）由题可知，所有可能的情况有：
①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率1
243122
553
25C C P C C ⋅==⋅， ②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率211432222
559
25C C C P C C ⋅⋅==⋅， ③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率2243322559
50
C C P C C ⋅==⋅，
故所求的概率39933
25255050
P =
++=
．
（2）设强化训练后，规定作品入选的概率为1p ，创意作品入选的概率为2p ， 则12431355102
p p +=
++=， 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：
()()1222212222
2112221222212211P C p p C p C p C p p C p C p =-⋅+⋅-+⋅ ()()()212121222
1122333p p p p p p p p p p =-=+-，
∵1232p p +=
，且1243,55p p ≥≥，也即213433,2525p p -≥-≥，即2179,1010p p ≤≤， 故可得149510p ≤≤，237
510
p ≤≤，
2
121113392416p p p p p ⎛⎫⎛
⎫⋅=-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
∴122714,5025p p ⎡⎤
⋅∈⎢⎥⎣⎦
，
令12p p t =，则()2
2
1333324P t t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭在2714,5025⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
∴()2
272333505044
P t P ⎛⎫⎛⎫≤=-⨯+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数()5,X B P ~， ∴315
()55444
E X P =<⨯
=<，故该同学没有希望进入决赛． 22．【答案】（1）222
(1)(1)x y a ++-=（0a >），2240x y x +-=；（2）2a =或a =
【解析】（1）∵曲线C 1的参数方程为1cos 1sin x a y a αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数，0a >），
∴圆1C 的普通方程为222(1)(1)x y a ++-=，0a >， ∵曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，
又cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨=⎩，∴圆2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=． （2）由题可得1(1,1)C -，2(2,0)C ，直线12C C 的斜率11
3
k =-，
又12AB C C ⊥，则直线AB 的斜率3k =，设:3AB l y x b =+，
点
2C 到直线AB 的距离d =
，
因为
||AB ==2d =，
则1b =-或11b =-，
直线AB 的方程为310x y --=或3110x y --=．
由（1），令1C 与2C 的直角坐标方程相减，得23102
a x y -+-=， 则24a =或224a =，
2a =或a =
23．【答案】（1）{}
02x x x ≤≥或；（2）[1,1][2,)-+∞．
【解析】（1）解：当1x <-时，2()13f x x x =-+≥，解得1x <-； 当11x -≤≤时，2()33f x x x =--≥，解得10x -≤≤； 当12x <<时，2()13f x x x =-+≥，解得∅； 当2x ≥时，2()33f x x x =+-≥，解得2x ≥， 综上，不等式()3f x ≥的解集为{}
02x x x ≤≥或．
（2）解：222()1|2|123f x x x x x x x =-+-≥-+-=+-， 当且仅当2(1)(2)0x x --≥时取等号，
因为2()3f a a a ≤+-，则2()3f a a a =+-，且2(1)(2)0a a --≥， 解得2a ≥或11x -≤≤，
即实数a 的取值范围为[1,1][2,)-+∞．。