2013年北京高三(期末)数学(理)分类汇编系列一解析版16.选修部分

【解析分类汇编系列一：北京2013高三期末】：16.选修部分
一、选择题
1．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）在
极坐标系中，过点(3,)3
π
且垂直于极轴的直线方程
（ ）
A ．3
sin 2
=ρθ B ．3
cos 2
=
ρθ C ．3sin 2
=
ρθ D ．3cos 2=
ρθ
【答案】D
由于点(3,)3π
的直角坐标坐标为
3(2.故过此点垂直于x 轴的直线方程为
32x =
，化为极坐标方程为
3
cos 2=
ρθ,所以选D.
2（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）极坐标方程4cos ρθ=化为
直角坐标方程是 （ ）
A ．2
2
(2)4x y -+= B ．2
2
4x y += C ．2
2
(2)4x y +-=
D ．2
2
(1)(1)4x y -+-=
3.（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）如图，已知AB 是⊙O 的一
条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC
的长是（ ）A
B C
O
P
A
．3
B ．
C
．2
D
4．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）在极坐标系中，已知点(2,)6
P π
，
则过点P 且平行于极轴的直线的方程是 （ ）
A ．sin 1=
ρθ B ．sin =ρθC ．cos 1=
ρθ
D ．cos =ρθ
【答案】A
【解析】先将极坐标化成直角坐标表示，(2,)6
P π 转化为点
cos 2cos
sin 2sin 16
6
x y π
π
ρθρθ===
===，即，过点且平行于x 轴的直线为1y =，在化为极坐标 为sin 1=ρθ，选A.
5．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷）参数方程⎩⎨
⎧--=-=t
y t x 21,
2(为参数)与
极坐标方程θρsin =所表示的图形分别是 （ ）
A ．直线、直线
B ．直线、圆
C ．圆、圆
D ．圆、直线
【答案】B
【解析】将参数方程⎩⎨
⎧--=-=t
y t x 21,
2消去参数t 得250x y --=,所以对应图形为直线.由
θρsin =得2sin ρρθ=,即22x y y +=,即2211
()24
x y +-=,对应图形为圆,所以选B.
6．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷）如图,AC AB ,分别与圆O 相切于
点ADE C B ,,是⊙O 的割线,连接CE BE BD CD ,,,.则
（ ）
A ．DE AD A
B ⋅=2
B ．CE A
C DE C
D ⋅=⋅
C ．CE B
D CD B
E ⋅=⋅ D ．CD BD AE AD ⋅=⋅ 【答案】C
【 解析】由切线长定理知2
AB AD AE =⋅,所以A 错误.选C.
7．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知圆的直角坐标方程为
2220x y x +-=．在以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程
为
（ ）
A ．2cos ρθ=
B ．2sin ρθ=
C ．2cos ρθ=-
D ．2sin ρθ=-
【答案】A
【 解析】因为在极坐标系中，cos ,sin x y ρθρθ==，代入方程2220x y x +-=得
22cos ρρθ=，即2cos ρθ=，选A.
8．（ 北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知直线2,:2x t l y t =+⎧⎨
=--⎩（t
为参
数）与圆2cos 1,
:2sin x C y θθ=+⎧⎨
=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别
是
（ ）
A ．π
,(1,0)4
B ．π
,(1,0)4- C ．3π
,(1,0)4 D ．3π
,(1,0)4-
【答案】C
【解析】直线消去参数得直线方程为y x =-，所以斜率1k =-，即倾斜角为34
π。

圆的标准方程为22(1)4x y -+=，圆心坐标为(1,0)，所以选C.
9．（ 北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图，PC 与圆O 相切于点C ，
直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．
的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B ．ACE ACP ∠=∠
C ．2
DE OE EP =⋅
D ．2
PC PA AB =⋅
【答案】D
【解析】由切割线定理可知2PC PA PB =⋅，所以D 错误，所以选D.
二、填空题
10．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）如
图，是圆O 的切线，切点为A ，D 点在圆内，DB 与圆相交于C ，若3BC DC ==，
B
2=OD ，6AB =，则圆O 的半径为 .
C
A B
O
D
连结BC 并延长，交圆于F ，因为BA 是圆O 的切线，切点为A ，由切割线定理可知：
2AB BC BF =⋅，所以BF=12，CF=9，过O 作OE ⊥BF ，所以，
993,3222
CE DE CE CD ==-=-=，
所以OE ==
==.
所以半径OC ===.
11．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）如图，BC 是半径为2的圆
O 的直径，点P 在BC 的延长线上，PA 是圆O 的切线，点A 在直径BC 上的射影是OC 的中点，则ABP ∠= ；PB PC ⋅= ．
【答案】,126
π
【解析】点A 在直径BC 上的射影E 是OC 的中点,可得60AOP ∠=，所以30ABP ∠=，
2PB PC AP =
12．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，Rt △
ABC 中，
90ACB ︒∠=，3AC =，4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则BD = ；
CD =______
【答案】
165，125
【解析】因为90ACB ︒∠=，所以5AB =，又AC 为直径，所以90ADC ︒∠=。

所以
CD AB AC BC =，即3412
55
AC BC CD AB ⨯===。

2BC BD AB =，所以22416
55
BC BD AB ===。

13．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）如图，已知5AD =，
8DB =
，
AO =O 的半径OC 的长为 ．
O
E
D
C
B
A
【答案】5
【 解析】取BD 的中点，连结OM ，则OM BD ⊥,因为8BD =，所以
4,549DM MB AM ===+=，所以22290819OM AO AM =-=-=，
所以半
径
5OB ====，即5OC =。

14．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图，AB ，CD 是半径为a 的
圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P . 若23
a
PD =
，30OAP ∠=︒，则AB = ，CP = （用a 表示）.
D
A
；
98
a 【解析】因为点P 是AB 的中点，由垂径定理知OP AB ⊥
，在直角三角形OPA 中，
BP AP
==
，所以2AB AP ==，由相交弦定理知，BP AP CP DP
=
，即23a CP
=，解得98
a
CP =
15．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在极坐标系中，过圆4cos ρθ
=的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ． 【答案】cos 2ρθ=，
【解析】圆的标准方程为2
2
(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径为2，所以所求直线方程为
2x =，即垂直于极轴的直线的极坐标方程为cos 2ρθ=。

16．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如右图，从圆O 外一点P 引
圆O 的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知1,2,3PA AB PO ===，则圆O 的半径等于 ．
【解析】设半径为r ，则3PC PO PC r =-=-,3PD PO OD r =+=+.根据割线定理可
得PA PB PC PD ⋅=⋅，即1(12)(3)(3)r r ⨯+=+-，所以2293,6r r -==，所以r =。