安阳市第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

安阳市第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1
． 已知向量=（﹣1，3），=（x ，2），且，则x=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 函数
是（ ）
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
3． 设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象 可以为（ ）
A ．
B ． C. D ． 4． 下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） A ．y=x+1
B ．y=﹣x 2
C ．
D ．y=﹣x|x|
5． 已知a ＞0，实数x ，y 满足：，若z=2x+y 的最小值为1，则a=（ ）
A ．2
B ．1
C ．
D ．
6． 如图可能是下列哪个函数的图象（ ）
A ．y=2x ﹣x 2﹣1
B ．y=
C ．y=（x 2﹣2x ）e x
D ．y=
7． 若曲线f （x ）=acosx 与曲线g （x ）=x 2+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，则a+b=（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
8． 已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A ，若，则
实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 如果函数f （x ）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f （x ）在区间上是（ ） A ．增函数且最小值为3
B ．增函数且最大值为3
C ．减函数且最小值为﹣3
D ．减函数且最大值为﹣3
10．△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2， ++=，且||=||，在方向上的投影为（ ）
A ．﹣3
B ．﹣
C ．
D ．3
11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f （x ）=
被称为狄利克雷
函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数f （x ）有如下四个命题：①f （f （x ））=1；②函数f （x ）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对任意的x=R 恒成立；④存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等边三角形．其中真命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（acosB+bcosA ）=2csinC ，a+b=8，且△ABC 的面积的最大值为4，则此时△ABC 的形状为（ ）
A ．等腰三角形
B ．正三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
二、填空题
13．8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，且甲学校至少分到两个名额的分配方案为 （用数字作答）
14．已知圆22
240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________．
【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.
102项的系数为（结果用数值表示）．
16．若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于
17．向区域内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为．18．设幂函数()
=的图象经过点()
f x kxα
4,2，则kα
+= ▲．
三、解答题
19．选修4﹣5：不等式选讲
已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．
20．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，直线l：y=x+2与以原点为圆心，以椭圆C1的短
半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）抛物线C2：y2=2px（p＞0）与椭圆C1有公共焦点，设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上（R，
S与Q不重合），且满足•=0，求||的取值范围．
21．设极坐标与直角坐标系xOy有相同的长度单位，原点O为极点，x轴坐标轴为极轴，曲线C1的极坐标方
程为ρ2cos2θ+3=0，曲线C2的参数方程为（t是参数，m是常数）．
（Ⅰ）求C1的直角坐标方程和C2的普通方程；
（Ⅱ）若C1与C2有两个不同的公共点，求m的取值范围．
22．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
23．（本小题满分13分）
设1
()1f x x
=+，数列{}n a 满足：112a =，1(),n n a f a n N *+=∈．
（Ⅰ）若12,λλ为方程()f x x =的两个不相等的实根，证明：数列12n n a a λλ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭
为等比数列；
（Ⅱ）证明：存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
）
24．已知函数f （x ）=e ﹣x （x 2+ax ）在点（0，f （0））处的切线斜率为2． （Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）设g （x ）=﹣x （x ﹣t
﹣）（t ∈R ），若g （x ）≥f （x ）对x ∈[0，1]恒成立，求t 的取值范围；
（Ⅲ）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（1+）a n，
求证：当n≥2，n∈N时f（）+f（）+L+f（）＜n•（）（e为自然对数的底数，e≈2.71828）．
安阳市第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：∵，
∴3x+2=0，
解得x=﹣． 故选：C ．
【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2． 【答案】B
【解析】解：因为
=
=cos （2x+
）=﹣sin2x ．
所以函数的周期为： =π．
因为f （﹣x ）=﹣sin （﹣2x ）=sin2x=﹣f （x ），所以函数是奇函数．
故选B ．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=，()cos y g x x ∴=为奇函数，排除B ，D ，令0.1x =时0y >，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 4． 【答案】D
【解析】解：y=x+1不是奇函数； y=﹣x 2不是奇函数；
是奇函数，但不是减函数； y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数， 故选：D ．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题．
5．【答案】C
【解析】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，
由，解得，
即C（1，﹣1），
∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，
∴﹣1=﹣2a，
解得a=．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
6．【答案】C
【解析】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；
B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，
∴B中的函数不满足条件；
C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；
且y=e x＞0恒成立，
∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；∴C中的函数满足条件；
D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，
∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．
7．【答案】A
【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1，
∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，
∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，
∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b，
即a=1，b=0．
∴a+b=1．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．
8．【答案】A
【解析】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；
（2）0≤x≤时，解得0；
（3）x＞时，解得，
综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；
取a=1时，f（x）=x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；
综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，
故选A．
【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．
9．【答案】D
【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间上是减函数，且最小值3，
则那么f（x）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3，
故选：D
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．
10．【答案】C
【解析】解：由题意，++=，得到，又||=||=||，△OAB是等边三角形，所以四边形OCAB是边长为2的菱形，
所以在方向上的投影为ACcos30°=2×=；
故选C．
【点评】本题考查了向量的投影；解得本题的关键是由题意，画出图形，明确四边形OBAC的形状，利用向量解答．
11．【答案】D
【解析】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0
∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；
当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；
③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；
④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0
∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．
故选：D．
【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．
12．【答案】A
【解析】解：∵（acosB+bcosA）=2csinC，
∴（sinAcosB+sinBcosA）=2sin2
C，
∴sinC=2sin2
C，且sinC＞0，
∴sinC=，
∵a+b=8，可得：8≥2，解得：ab≤16，（当且仅当a=b=4成立）
∵△ABC的面积的最大值S
△ABC=absinC≤=4，
∴a=b=4，
则此时△ABC的形状为等腰三角形．
故选：A．
二、填空题
13．【答案】15
【解析】解：8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，则8人可以分为（6，1，1），（5，2，1），（4，3，1），（4，2，2），（3，3，2），
∵甲学校至少分到两个名额，第一类是1种，第二类有4种，第三类有4种，第四类有3种，第五类也有3种，
根据分类计数原理可得，甲学校至少分到两个名额的分配方案为1+4+4+3+3=15种 故答案为：15．
【点评】本题考查了分类计数原理得应用，关键是分类，属于基础题．
14．【答案】(1,2)-，(,5)-∞.
【解析】将圆的一般方程化为标准方程，22(1)(2)5x y m -++=-，∴圆心坐标(1,2)-， 而505m m ->⇒<，∴m 的范围是(,5)-∞，故填：(1,2)-，(,5)-∞. 15．【答案】 180
【解析】解：由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a
n ﹣r b r
可设含
x 2项的项是T r+1=C 7r （2x ）r
可知r=2，所以系数为C 102
×4=180，
故答案为：180．
【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．
16．【答案】
【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，
则。

17．【答案】 ．
【解析】解：不等式组
的可行域为：
由题意，A （1，1），∴区域
的面积为
=（x3）
=，
由
，可得可行域的面积为：1=，
∴坐标原点与点（1，1）的连线的斜率大于1，坐标原点与
与坐标原点连线的斜率大于1的概率为： =
故答案为：．
【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型，考查定积分知识的运用，解题的关键是利用定积分求面积．
18．【答案】3
2
【解析】
试题分析：由题意得11,422
k α
α==⇒=∴32k α+=
考点：幂函数定义
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax ≤2 ∵不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣2≤x ≤1}． ∴当a ≤0时，不合题意；
当a ＞0时，，
∴a=2；
（Ⅱ）记
，
∴h（x）=
∴|h（x）|≤1
∵恒成立，
∴k≥1．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，将绝对值符号化去是关键，属于中档题．20．【答案】
【解析】解：（1）由直线l：y=x+2与圆x2
+y2=b2相切，∴=b，解得b=．
联立解得a=，c=1．
∴椭圆的方程是C1：．
（2）由椭圆的右焦点（1，0），抛物线y2=2px的焦点，
∵有公共的焦点，∴，解得p=2，故抛物线C2的方程为：y2=4x．
易知Q（0，0），设R（，y1），S（，y2），
∴=（，y1），=，
由•=0，得，
∵y1≠y2，∴，
∴=64，当且仅当，即y1=±4时等号成立．
又||===，
当=64，即y
=±8时，||min=8，
2
故||的取值范围是[8，+∞）．
【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、向量的数量积运算和基本不等式的性质、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
21．【答案】
【解析】解：（I）曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3=0，即ρ2（cos2θ﹣sin2θ）+3=0，可得直角坐标方程：x2﹣y2+3=0．
曲线C2的参数方程为（t是参数，m是常数），消去参数t可得普通方程：x﹣2y﹣m=0．
（II）把x=2y+m代入双曲线方程可得：3y2+4my+m2+3=0，由于C1与C2有两个不同的公共点，
∴△=16m2﹣12（m2+3）＞0，解得m＜﹣3或m＞3，
∴m＜﹣3或m＞3．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与双曲线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】
【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF 和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．
【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE．…（4分）
解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，
所以．
由AD=3，可知，．
则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），
所以，．
设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．
令，则=．
因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．
所以cos．
因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）
（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．
则．
因为AM∥平面BEF，
所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），
即当时，AM∥平面BEF．…（12分）
23．【答案】
【解析】解：证明：2
()10
f x x x x
=⇔+-=，∴
2
11
2
22
10
10
λλ
λλ
⎧+-=
⎪
⎨
+-=
⎪⎩
，∴
2
11
2
22
1
1
λλ
λλ
⎧-=
⎪
⎨
-=
⎪⎩
．∵
12
1111111
1
2
12222222
2
1
11
11
1
n n n n n
n n n n
n
a a a a a
a a a a
a
λ
λλλλλλ
λ
λλλλλλλ
λ
+
+
-
-+----
====⋅
-----
-
+
，（3分）
11
12
a
a
λ
λ
-
≠
-
，1
2
λ
λ
≠，
∴数列12n n a a λλ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭
为等比数列． （4分）
（Ⅱ）证明：设m =
()f m m =． 由112a =及111n n
a a +=+得223a =，335a =，∴130a a m <<<．
∵()f x 在(0,)+∞上递减，∴13()()()f a f a f m >>，∴24a a m >>．∴1342a a m a a <<<<，（8分） 下面用数学归纳法证明：当n N *
∈时，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
①当1n =时，命题成立． （9分）
②假设当n k =时命题成立，即2121222k k k k a a m a a -++<<<<，那么 由()f x 在(0,)+∞上递减得2121222()()()()()k k k k f a f a f m f a f a -++>>>> ∴2222321k k k k a a m a a +++>>>>
由2321k k m a a ++>>得2321()()()k k f m f a f a ++<<，∴2422k k m a a ++<<， ∴当1n k =+时命题也成立， （12分）
由①②知，对一切n N *
∈命题成立，即存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<.
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f （x ）=e ﹣x （x 2
+ax ），
∴f ′（x ）=﹣e ﹣x （x 2+ax ）+e ﹣x （2x+a ）=﹣e ﹣x （x 2
+ax ﹣2x ﹣a ）；
则由题意得f ′（0）=﹣（﹣a ）=2， 故a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=e ﹣x （x 2
+2x ），
由g （x ）≥f （x ）得，
﹣x （x ﹣t
﹣）≥e ﹣x （x 2
+2x ），x ∈[0，1]；
当x=0时，该不等式成立；
当x ∈（0，1]时，不等式﹣
x+t+≥e ﹣x
（x+2）在（0，1]上恒成立， 即t ≥[e ﹣x
（x+2）+x
﹣]max ．
设h （x ）=e ﹣x
（x+2）+x
﹣，x ∈（0，1]，
h ′（x ）=﹣e ﹣x （x+1）+1， h ″（x ）=x •e ﹣x ＞0，
∴h ′（x ）在（0，1]单调递增， ∴h ′（x ）＞h ′（0）=0，
∴h（x）在（0，1]单调递增，
∴h（x）max=h（1）=1，
∴t≥1．
（Ⅲ）证明：∵a n+1=（1+）a n，
∴=，又a1=1，
∴n≥2时，a n=a1••…•=1••…•=n；
对n=1也成立，
∴a n=n．
∵当x∈（0，1]时，f′（x）=﹣e﹣x（x2﹣2）＞0，
∴f（x）在[0，1]上单调递增，且f（x）≥f（0）=0．
又∵f（）（1≤i≤n﹣1，i∈N）表示长为f（），宽为的小矩形的面积，
∴f（）＜f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N），
∴[f（）+f（）+…+f（）]=[f（）+f（）+…+f（）]
＜f（x）dx．
又由（Ⅱ），取t=1得f（x）≤g（x）=﹣x2+（1+）x，
∴f（x）dx≤g（x）dx=+，
∴[f（）+f（）+…+f（）]＜+，
∴f（）+f（）+…+f（）＜n（+）．
【点评】本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．。