2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(1)

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（1） 姓名_______
一、填空题 1、已
知
函
数
1
)1(ln )(22+-+=ax x a x f
)
0(>a ，则
=+)1
(ln )(ln a
f a f ____________。

2、A ,B 两点分别在抛物线x y 62=和1)2(:⊙2
2=+-y x C 上，则AB 的取值范围是____________.
3、若⎪⎭
⎫
⎝
⎛<
≤<=20tan 3tan παβαβ,则βα-的最大值为____________。

4、已知△ABC 等腰直角三角形，其中∠C 为直角，AC =BC =1，过点B 作平面ABC 的垂线DB ，使得DB =1，在DA 、DC 上分别取点E 、F ,则△BEF 周长的最小值为____________。

5、已知函数x x x f 3)(3+=，对任意的[]2,2-∈m ，0)2()8(<+-x
f mx f 恒成立，则正．实数．．x 的取值范围为____________.
6、已知向量c ,b ,a 满足)(3::2||:||:||*N k k c b a ∈=，且)(2b c a b -=-，若α为c ,a 的夹角，则αcos 的值为____________.
7、现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为____________.
8、将10个小球（5个黑球和5个白球）排场一行,从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________。

二、解答题
9.(本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ,C 对边的边长分别是a ，b ,c ，向量()B C A sin ,sin sin +=p ，向量),(a b c a --=q ，且满足q p ⊥。

（Ⅰ）求△ABC 的内角C 的值；
(Ⅱ）若c =2，2sin2A +sin （2B +C )=sin C ，求△ABC 的面积.
10.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：n n n a a ,a a 222
11+==+。

（1）求证：数列{})1lg(+n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2)若2
11++=
n n n a a b ，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1<n S .
11.(本小题满分14分）设a ax e x f x
--=)(。

(e 是自然对数的底数） (Ⅰ）若0)(≥x f 对一切1-≥x 恒成立，求a 的取值范围；
(Ⅱ）求证：211008
)2016
2015(-<e 。

12.（本小题满分15分)设正数x ,y 满足y x y x -=+33，求使12
2≤+λy x 恒成立的实数λ的最大值。

13.（本小题满分15分)已知椭圆12:22=+y x C 及点)2
1
,1(P ,过点P 作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作C 的切线交于点Q .
(1)求点Q 的轨迹方程;
(2)求△ABQ 的面积的最小值。

2017年高中数学竞赛模拟试卷(1）答案
1.【解析】
22)1ln(2)1ln()1ln()()(22222222=+-+=++++-+=-+x a x a ax x a ax x a x f x f . 2.【解析】由于1-=AC AB ，则只需要考虑AC 的范围。

，
故又2,0,3)1(426)2()2(min 222222
=≥++=++=+-=+-=AC x x x x x x y x AC 故AB 的取值范围为[)∝+，1
. 3.【解析】()6
tan 33tan 3tan 1
2tan 31tan 2tan tan 1tan tan tan 2πββ
β
β
βαβαβ=≤
+=
+=+-=
-α .2020παπαβ<-≤∴≤≤≤β， .6
π
=-∴βα
4.【解析】由题意可知，4
π=∠CDB ，且∠BDA 与∠CDA
之和为
2
π
.如图，将侧面BDA 和侧面CDB 分别折起至面DA B 1和DC B 2,且与侧面ADC 位于同一个平面上.则△BEF
周长的最小值即面C DB AB 21上两点21,B B 之间的线段长。

由前面的分析可知，
4
3422121π
ππCDB ADC DA B DB B =
+=
∠+∠+∠=∠, 由余弦定理可得,.DB B D B D B D B D B B B 2222211cos 22121222121+=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-⋅-+=∠⋅⋅-+= 所以，△BEF 周长的最小值为22+。

5.【解析】x x x f 3)(3
+=为奇函数且为增函数0)2()8(<+-x
f mx f 等价于
)2()2()8(x x f f mx f -=-<-即x mx 28-<-即082<-+x mx 对任意的[]2,2-∈m 成
立即⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<-+0
8220822x
x
x x ,所以⎩⎨⎧<<<<4020x x ,即0〈x 〈2
6.【解析】由)(2b c a b -=-得c a b 3231+=所以c a c a b ⋅++=94
9491222，
又3::2||:||:||k c b a =，所以]9
64,916[cos 9249402
∈+=αk ,又*N k ∈，所以k =2，所以
αcos 的值为6
1
-.
7.【解析】这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个，第3层6个，即每一条棱是3个小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上的射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成角的余弦值为
36，故容器棱长的最小值为6243
6
324+=⨯
⨯+. 8.【解析】法1:如果只有2个小球（1黑1白)，则黑球的个数总不少于白球个数的概率为
2
1
；
如果只有4个小球（2黑2白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为3
1
；如果只有6个小球（3黑3白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为
4
1
；以此类推,可知将10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行,从左边第一个小球开始向右数小球。

无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为
6
1
； 法2：直接从10个小球入手分类讨论.
9.【解析】(Ⅰ)由题意q p ⊥，所以，()()()0sin sin sin =-++-B a b C A c a . 由正弦定理，可得()()()0=-++-b a b c a c a .整理得ab b c a =+-2
2
2
.
由余弦定理可得，212cos 222=-+=ab c b a C ，又()π，C 0∈，所以,3
π
C = ……6分
（Ⅱ）由()C C B A sin 2sin 2sin 2=++可得，()()A B A πB A A +=-++sin sin cos sin 4. 整理得,()()A B A B A B A A cos sin 2sin sin cos sin 4=-++=。

12【解析】由正数x ,y 满足y x y x -=+3
3，知0>>y x 。

令1>=
y
t 。

不等式12
2
≤+λy x 等价于y x y x λy x -+≤+332
2
，等价于 y
x y y x x y x y x λy -+=--+≤322
332,
等价于 ()2
3
2y y x y y x λ-+≤
等价于 112222-+=-+≤t t y xy y x λ。

因为22212)1(2212)1(211)(2+=-⋅-+≥-+-+=-+=t t t t t t t f ， 等号仅当1
2
1-=-t t ，即21+=t 时成立，
所以，实数λ的最大值为222+。

……15分 13.【解析】(1)设),(),,(),,(002211y x Q y x B y x A ，
则12:11=+y y x x QA 过Q ，有120101=+y y x x ；……①12
:22=+y y x
x QB ，有
120202
=+y y x x ,……②故直线12:00=+y y x x AB 过点)21
,1(P ，则有 212
2000
0=+⇒=+y x y x ……③故Q 的轨迹方程为 x +y =2.
……5分 (2)对直线AB ，当斜率不存在时，即为x =1，此时)0,2(),2,1(),2,1(Q B A -。