2018版高考数学(文理通用新课标)一轮复习课时达标检测：第九章解析几何(四十六)双曲线含解析

课时达标检测(四十六）双曲线
练基础小题——强化运算能力]
1．已知双曲线错误!－错误!＝1（a〉0）的离心率为2，则a＝（）A．2 B。

错误! C.错误!D．1
解析:选D 因为双曲线的方程为错误!－错误!＝1，所以e2＝1＋错误!＝4，因此a2＝1,a＝1。

选D.
2．若双曲线错误!－错误!＝1的离心率为错误!，则其渐近线方程为( ）
A．y＝±2x B．y＝±错误!x
C．y＝±错误!x D．y＝±错误!x
解析：选B 在双曲线中离心率e＝错误!＝错误!＝错误!,可得错误!＝
错误!，故双曲线的渐近线方程是y＝±错误!x。

3．双曲线错误!－错误!＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心
率为（）
A．2 B.错误!
C.错误!D。

错误!
解析：选C 由渐近线互相垂直可知错误!·错误!＝－1,即a2＝b2，
即c2＝2a2，即c＝2a，所以e＝错误!.
4．(2016·天津高考)已知双曲线错误!－错误!＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为2错误!，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直,则双曲线的方程为（ )
A.错误!－y 2＝1
B ．x 2－错误!＝1
C 。

错误!－错误!＝1
D 。

错误!－错误!＝1
解析:选A 由焦距为2错误!,得c ＝错误!。

因为双曲线的一条渐近
线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12。

又c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为错误!－y 2＝1。

5．（2016·北京高考)双曲线错误!－错误!＝1（a 〉0，b >0）的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________。

解析：不妨令B 为双曲线的右焦点，
A 在第一象限，则双曲线如图所示．
∵四边形OABC 为正方形，|OA |＝
2， ∴c ＝|OB |＝2错误!，∠AOB ＝错误!.
∵直线OA 是渐近线，方程为y ＝错误!x ,∴错误!＝tan ∠AOB ＝1,即a ＝b 。

又∵a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2.
答案：2
练常考题点——检验高考能力］
一、选择题
1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线错误!－错误!＝1与曲线错误!－错误!＝1的（)
A．离心率相等B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等D．焦距相等
解析：选D 由0〈k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k＝错误!,得两双曲线的焦距相等．
2．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且经过点(2，2），则C的方程为( )
A.错误!－错误!＝1 B。

错误!－错误!＝1
C.错误!－错误!＝1 D。

错误!－错误!＝1
解析:选A 由题意，设双曲线C的方程为y2
4
－x2＝λ(λ≠0),因为
双曲线C过点(2，2），则错误!－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C 的方程为错误!－x2＝－3，即错误!－错误!＝1.
3．设F1，F2分别是双曲线错误!－错误!＝1的左、右焦点,若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且｜AF1｜＝3|AF2|,则双曲线的离心
率为( ）
A。

错误! B.错误!
C.错误!
D.错误!
解析：选B 因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝｜F1F2｜2＝4c2,又|AF1｜＝3｜AF2|，且|AF1|－｜AF2｜＝2a，所以｜AF1｜＝3a,｜AF2｜＝a,则10a2＝4c2，即错误!＝错误!，故e＝错误!＝错误!(负值舍去)．
4．设双曲线x2
a2－错误!＝1（a〉0，b〉0）的右焦点是F，左、右
顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（)
A．±错误!B．±错误!
C．±1 D．±错误!
解析：选C 由题设易知A1（－a,0）,A2(a,0)，Bc,错误!，C错误!。

∵A1B⊥A2C，∴错误!·错误!＝－1，整理得a＝b。

∵渐近线方程为y ＝±错误!x，即y＝±x,∴渐近线的斜率为±1.
5．（2017·江南十校联考）已知l是双曲线C：错误!－错误!＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若
1
PF·2PF ＝0，则点P到x轴的距离为（)
A。

错误! B.错误!
C．2 D.错误!
解析：选C 由题意知F1（－错误!，0),F2（错误!，0)，不妨设l的
方程为y＝2x，点P（x0，错误!x0)，由
PF·2PF＝(－错误!－x0，－错误!
1
x0)·（错误!－x0，－错误!x0）＝3x错误!－6＝0，得x0＝±错误!，故点P到x轴的距离为错误!｜x0|＝2，故选C.
6．已知双曲线错误!－错误!＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）
A．(1，5）B．(1,错误!］
C．（5，＋∞) D．错误!，＋∞）
解析:选C ∵双曲线的一条渐近线方程为y＝错误!x，则由题意得错误!＞2，∴e＝错误!＝错误!＞错误!＝错误!.即双曲线离心率的取值范围为（错误!,＋∞）．
二、填空题
7．已知双曲线C:错误!－错误!＝1(a〉0，b〉0）与椭圆错误!＋错误!＝1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C 的方程为________________．
解析：易得椭圆的焦点为(－错误!，0),(错误!，0),∴错误!∴a2＝1，b2＝4，∴双曲线C的方程为x2－错误!＝1.
答案:x2－错误!＝1
8．过双曲线错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作斜率为
1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A,B，若v
F A
1＝AB，则双曲线的渐近线方程为____________．
解析：由错误!得x＝－错误!，由错误!
解得x＝错误!，不妨设x A＝－错误!，x B＝错误!，
由
F A＝AB可得－错误!＋c＝错误!＋错误!，
1
整理得b＝3a.
所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.
答案：3x±y＝0
9．设F1,F2分别是双曲线x2－错误!＝1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°,延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于______．
解析：由题意可得｜AF2｜＝2，｜AF1|＝4，则｜AB｜＝｜AF2|＋｜BF2|＝2＋|BF2｜＝｜BF1|.又∠F1AF2＝45°,所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形,则|AB|＝|BF1｜＝22，所以其面积为错误!×2错误!×2错误!＝4。

答案：4
10．（2016·山东高考)已知双曲线E：错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0）,
若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB ｜＝3｜BC |,则E 的离心率是________．
解析:如图，由题意知｜AB |＝错误!,｜
BC |＝2c 。

又2｜AB |＝3｜BC ｜，
∴2×错误!＝3×2c ,
即2b 2＝3ac ,
∴2（c 2－a 2）＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0,解得e ＝2(负值舍去）．
答案：2
三、解答题
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为错误!,且过点（4，
－错误!）．点M (3，m )在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：1MF ·2MF ＝0； (3）求△F 1MF 2的面积．
解：(1）∵e ＝2，
∴双曲线的实轴、虚轴相等．
则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ。

∵双曲线过点（4，－错误!)，
∴16－10＝λ，即λ＝6。

∴双曲线方程为错误!－错误!＝1.
(2）证明：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，
则1
MF ＝（－2错误!－3,－m ）， 2MF ＝(23－3，－m ）．
∴1
MF ·2MF ＝(3＋2错误!)×（3－2错误!)＋m 2＝－3＋m 2, ∵M 点在双曲线上，
∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0,
∴1MF ·2
MF ＝0。

（3）△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4错误!。

由(2)知m ＝±错误!。

∴△F 1MF 2的高h ＝｜m ｜＝错误!，
∴S △F 1MF 2＝错误!×4错误!×错误!＝6。

12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2,且|F 1F 2｜＝2错误!,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7。

(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2）若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．
解:(1）由题知c＝错误!，设椭圆方程为错误!＋错误!＝1，双曲线方程为错误!－错误!＝1，则错误!
解得a＝7，m＝3.则b＝6，n＝2.
故椭圆方程为x2
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＋错误!＝1，双曲线方程为错误!－错误!＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点,则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－｜PF2|＝6，
所以｜PF1|＝10,｜PF2｜＝4.
又|F1F2｜＝2错误!，
所以cos∠F1PF2＝错误!
＝错误!＝错误!。