湖南省2019届高三六校联考试题数学(文科)含答案解析

湖南省2019届高三六校联考试题
数学（文科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

时量120分钟，满分150分。

答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

作答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ＝{}1，2，3，4，5，A ＝{}2，3，4，B ＝{}3，5，则下列结论正确的是 A ．B ⊆A B ．∁U A ＝{1，5} C ．A ∪B ＝{}3 D ．A ∩B ＝{}2，4，5 2．已知i 为虚数单位，z(1＋i)＝3－i ，则在复平面上复数z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是
A.16
B.14
C.12
D.23 4．下列判断正确的是
A ．命题“若x 2
＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2
＝1，则x≠1” B ．“α>45°”是“tan α>1”的充分不必要条件 C ．若命题“p∧q”为假命题，则命题p ，q 都是假命题 D ．命题“∀x ∈R ，2x
>0”的否定是“∃x 0∈R ，2x 0≤0”
5．已知公差d≠0的等差数列{}a n 满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝
A ．30
B ．20
C ．10
D ．5或40
6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求 多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图， 是利用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n ，x 的值分别为3，3
2，则输出
v 的值为
A ．7
B ．10
C ．11.5
D ．17 7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x －2y≤0，则z ＝2x ＋y 的最小值为
A ．1
B ．－5
C ．2
D ．0 8．函数f(x)＝（e x
－e －x
）cos x
x
2
的部分图象大致是
9．将函数f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移π
6，再把所有点的横坐标伸长到原来的2
倍(纵坐标长度不变)得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是
A ．函数g(x)的最大值为3＋1
B ．函数g(x)的最小正周期为π
C ．函数g(x)的图象关于直线x ＝π3对称
D ．函数g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递增
10．已知直线y ＝kx －1与抛物线x 2
＝8y 相切，则双曲线：x 2
－k 2y 2
＝1的离心率等于 A. 2 B. 3 C. 5 D.
3
2
11．如图，平面四边形ABCD 中，E ，F 是AD ，BD 中点，AB ＝AD ＝CD ＝2，BD ＝22，∠BDC ＝90°，将△ABD 沿对角线BD 折起至△A′BD，使平面A′BD⊥平面BCD ， 则四面体A′BCD 中，下列结论不正确．．．
的是
A ．EF ∥平面A′BC
B ．异面直线CD 与A′B 所成的角为90°
C ．异面直线EF 与A′C 所成的角为60°
D ．直线A′C 与平面BCD 所成的角为30°
12．已知函数f(x)＝ln x －a
x ＋a 在x∈[1，e]上有两个零点，则a 的取值范围是
A.⎣⎢
⎡⎭⎪⎫e 1－e ，－1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 1－e ，1 C.⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤e 1－e ，－1 D.[)－1，e
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(－1，1)，|b |＝1，则|a －2b |＝__________． 14．已知点A(2，0)，B(0，4)，O 为坐标原点，则△AOB 外接圆的标准方程是__________．
15．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1(n∈N *
)，设 b n ＝1＋log 2a n ，则数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
1b n b n ＋1的前n 项和T n ＝__________． 16．已知四棱锥S －ABCD 的三视图如图所示，若该四棱锥的 各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于__________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题，共60分。

17．(本小题满分12分)
在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin Asin Bcos B ＋sin 2
Bcos A ＝22sin Ccos B.
(1)求tan B 的值；
(2)若b ＝2，△ABC 的面积为2，求a ＋c 的值．
18．(本小题满分12分)
如图，ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4.
(1)求证：EF⊥AC；
(2)求几何体EFABCD的体积．
19.(本小题满分12分)
有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表：
(1)从散点图可以发现，各点散布在从左上角到右下角的区域里．因此，气温与当天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少．统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱．统计学认为，对于变量x、y，如果r∈[－1，－0.75]，那么负相关很强；如果r∈[0.75，1]，那么正相关很强；如果r∈(－0.75，－0.30]∪[0.30，0.75)，那么相关性一般；如果r∈[－0.25，0.25]，那么相关性较弱．请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱．
(2)(ⅰ)请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；
(ⅱ)记[x]为不超过x的最大整数，如[1.5]＝1，[－4.9]＝－5.对于(ⅰ)中求出的线性回归方
程y ＝b ^x ＋a ^，将y ＝[b ^]x ＋[a ^]视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系．已知气温x 与当天热饮每杯的销售利润f(x)的关系是f(x)＝2⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤x ＋715＋3(x∈[－7，
38))(单位：元)，请问当气温x 为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？
20.(本小题满分12分)
如图，椭圆C ：x 2
4＋y
2
3＝1的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，直线n ：x ＝4
与x 轴相交于点E ，点M 在直线n 上，且满足BM∥x 轴．
(1)当直线l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)证明：直线AM 经过线段EF 的中点．
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝e x
，g(x)＝ax 2
＋x ＋1(a>0)． (1)设F(x)＝g （x ）
f （x ），讨论函数F(x)的单调性；
(2)若0<a≤1
2，证明：f(x)>g(x)在(0，＋∞)上恒成立．
(二)选考题：共10分。

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取
相同的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－t ，
y ＝1＋3t
(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝
4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π3. (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON 的面积．
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|. (1)设a ＝1，求不等式f(x)≤7的解集；
(2)已知a>－1，且f(x)的最小值等于3，求实数a 的值．
湖南省2019届高三六校联考试题
数学(文科)参考答案
一、选择题
1.B 【解析】由题知集合A 与集合B 互相没有包含关系，且A∩B＝{3}，A ∪B ＝{2，3，4，5}，∁U A ＝{1，5}，故选B.
2．D 【解析】由题知z ＝
3－i 1＋i ＝（3－i ）（1－i ）
（1＋i ）（1－i ）
＝1－2i ，位于第四象限，故选D. 3．C 【解析】从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有{黄白}，{黄蓝}，{黄红}，{白蓝}，{白红}，{蓝红}，共6种．其中包含白色的有3种，选中白色的概率为1
2，故选
C.
4．D 【解析】由否命题的概念知A 错；关于B 选项，前者应是后者的既不充分也不必要条件；关于C 选项，p 与q 至少有一个为假命题；D 选项正确．
5．A 【解析】由题知(a 4－2)2
＝a 2a 6，因为{a n }为等差数列，所以(3d －1)2
＝(1＋d)(1＋5d)，因为d≠0，解得d ＝3，从而a m －a n ＝(m －n)d ＝30，故选A.
6．C 【解析】将n ＝3，x ＝3
2
代入程序框图，可得最后输出v ＝11.5，故选C.
7．A 【解析】由题中给出的三个约束条件，可得可行域为如图所示阴影部分，易知在(0，1)
处目标函数取到最小值，最小值为1，故选A.
8．B 【解析】由题知，f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除C 和D ，将x ＝π代入f(x)得f(π)<0，故选B.
9．D 【解析】化简得f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以g(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，由三角函数性质知：g(x)的最大值为2，最小正周期为2π，对称轴为x ＝
2π
3
＋k π，k ∈Z ，单调增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z ，故选D. 10．B 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝8y
得x 2－8kx ＋8＝0，因为直线与曲线相切，所以Δ＝64k 2
－32＝
0，k 2
＝12，所以双曲线为x 2
－y 2
2
＝1，离心率等于3，故选B.
11．C 【解析】A 选项：因为E ，F 分别为A′D 和BD 两边中点，所以EF∥A′B，即EF∥平面A′BC，A 正确；B 选项：因为平面A′BD⊥平面BCD ，交线为BD ，且CD⊥BD，所以CD⊥平面A′BD，即CD⊥A′B，故B 正确；C 选项：取CD 边中点M ，连接EM ，FM ，则EM∥A′C，所以∠FEM 为异面直线EF 与A′C 所成角，又EF ＝1，EM ＝2，FM ＝3，即∠FEM＝90°，故C 错误，选C.
12．A 【解析】∵f′(x)＝1x ＋a x 2＝x ＋a
x
2，x ∈[1，e]．
当a≥－1时，f ′(x)≥0，f(x)在[1，e]上单调递增，不合题意． 当a≤－e 时，f ′(x)≤0，f(x)在[1，e]上单调递减，也不合题意．
当－e<a<－1时，则x∈[1，－a)时，f ′(x)<0，f(x)在[1，－a)上单调递减，x ∈(－a ，e]时， f ′(x)>0，f(x)在(－a ，e]上单调递增，又f(1)＝0，所以f(x)在x∈[1，e]上有两个零点， 只需f(e)＝1－a e ＋a≥0即可，解得e
1－e ≤a<－1.
综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪
⎫e 1－e ，－1.
二、填空题
13. 2 【解析】由题知，|a －2b |＝a 2
－4a ·b ＋4b 2
＝ 2.
14．(x －1)2
＋(y －2)2
＝5 【解析】由题知OA⊥OB，故△ABO 外接圆的圆心为AB 的中点(1，2)， 半径为12
|AB|＝5，所以△ABO 外接圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2
＝5.
15.n n ＋1
【解析】令n ＝1，a 1＝1；n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，a n ＝2a n －1，所以a n ＝2n
－1
，b n ＝1＋log 22
n －1
＝n ，T n ＝
11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝n n ＋1
.
16.101π
5 【解析】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，平面SAB⊥平面ABCD ，可
得R 2
＝r 2
1
＋r 22
－L 2
4，其中r 1为△SAB 外接圆半径，r 2为矩形ABCD 外接圆半径，L ＝AB.计算得，R 2
＝
8120
＋5－4＝101
20
，
所以S ＝4πR 2
＝1015π.
三、解答题
17．【解析】(1)原等式化简得sin B(sin Acos B ＋cos Asin B)＝22sin Ccos B ， ∴sin Bsin(A ＋B)＝22sin Ccos B ，
∴sin Bsin C ＝22sin Ccos B ，……………3分
∵0<C<π，sin C ≠0，∴tan B ＝22……………………5分 (2)∵tan B ＝22，且0<B<π，∴B 为锐角，且sin B cos B
＝22，
∴sin B ＝223，cos B ＝13，∵S ＝1
2acsin B ＝2，∴ac ＝3………………9分
由余弦定理得：a ＋c ＝23………………………12分
18．【解析】(1)连接DB ，DF ⊥平面ABCD ，EB⊥平面ABCD ，
∴EB ∥FD ，∴E ，F ，D ，B 四点共面，∴AC ⊥EB ，……………3分 设DB∩AC＝O ，∵ABCD 为菱形，∴AC ⊥DB. DB ∩EB ＝B ，∴AC ⊥平面EFDB ，
∵EF ⊂平面EFDB ，∴AC ⊥EF …………………6分 (2)∵EB∥FD，EB ⊥BD ，∴EFDB 为直角梯形，
在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，BD ＝2，AO ＝CO ＝3， ∴梯形EFDB 的面积S ＝（2＋4）×2
2＝6，……………………9分
∵AC ⊥平面EFDB ，
∴V EFABCD ＝V C －EFDB ＋V A －EFDB ＝13S×AO＋1
3S×CO＝43…………………12分
19．【解析】(1)因为r ………………………2分
<－3953
37×111
≈－0.96. 所以气温与当天热饮销售杯数的负相关很强……………………………4分
(2)(ⅰ)因为
所以气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程为y ＝－2.95x ＋144.25………………7分 (ⅱ)由题意可知气温x 与当天热饮销售杯数y 的关系为y ＝－3x ＋144.
设气温为x 时，则当天销售的热饮利润总额为g(x)＝(－3x ＋144)⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋715＋3(x∈[－7，
38))， 即g(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧－9（x －48），－7≤x＜8，－15（x －48），8≤x ＜23，－21（x －48），23≤x ＜38......................10分
易知g(－7)＝495，g(8)＝600，g(23)＝525.
故当气温x ＝8时，当天的热饮销售利润总额最大，且最大为600元……………………12分
20．【解析】(1)由c ＝4－3＝1，∴F(1，0)，∵直线l 与x 轴垂直，∴x ＝1， 由
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 23＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－32，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－32，
∴直线AM 的方程为y ＝－x ＋5
2……………………4分
(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，…………………………5分
由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋1，
得3(my ＋1)2＋4y 2＝12，
(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，………………8分 ∵EF 的中点N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，0，点M(4，y 2)， ∴NA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－52，y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1－32，y 1，NM →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，y 2， ⎝ ⎛⎭
⎪⎫my 1－32×y 2－32y 1＝my 1y 2－32(y 1＋y 2)＝－9m 3m 2＋4－32×－6m 3m 2＋4＝0. 所以A ，N ，M 三点共线，
所以直线AM 经过线段EF 的中点……………………………………12分
21．【解析】(1)F(x)＝g （x ）f （x ）＝ax 2＋x ＋1e x ，F ′(x)＝－ax 2
＋（2a －1）x e x ＝－ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a －1a e x ， …………………………1分
①若a ＝12，F ′(x)＝－ax 2e x ≤0，∴F(x)在R 上单调递减……………………………2分 ②若a>12，则2a －1a
>0， 当x<0，或x>2a －1a 时，F ′(x)<0，当0<x<2a －1a
时，F ′(x)>0， ∴F(x)在()－∞，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1a ，＋∞上单调递减，在⎝
⎛⎭⎪⎫0，2a －1a 上单调递增． ③若0<a<12，则2a －1a
<0， 当x<2a －1a ，或x>0时，F ′(x)<0，当2a －1a
<x<0时，F ′(x)>0. ∴F(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a －1a ，()0，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a －1a ，0上单调递增……………6分 (2)证明：∵0<a≤12，∴ax 2＋x ＋1≤12
x 2＋x ＋1………………………7分
设h(x)＝e x －12
x 2－x －1，则h′(x)＝e x －x －1. 设p(x)＝h′(x)＝e x －x －1，则p′(x)＝e x
－1，在()0，＋∞上，p ′(x)≥0恒成立． ∴h ′(x)在(0，＋∞)上单调递增……………………………………9分
又∵h′(0)＝0，∴x ∈(0，＋∞)时，h ′(x)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴h(x)>h(0)＝0，∴e x －12x 2－x －1>0，e x >12
x 2＋x ＋1， 所以e x >12
x 2＋x ＋1≥ax 2＋x ＋1， 所以f(x)>g(x)在(0，＋∞)上恒成立……………………………………12分
22．【解析】(1)由⎩⎨⎧x ＝3－t ，y ＝1＋3t ，
消去参数t 得3x ＋y ＝4，直线l 的普通方程为3x ＋y －4＝0………………………………………………2分
由ρ＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝2sin θ＋23cos θ得，ρ2＝2ρsin θ＋23ρcos θ， 即x 2＋y 2＝2y ＋23x ，
∴曲线C 的直角坐标方程是圆：(x －3)2＋(y －1)2＝4………………………………5分
(2)∵原点O 到直线l 的距离d ＝|－4|
（3）2＋12＝2………………………………….7分
直线l 过圆C 的圆心(3，1)，∴|MN|＝2r ＝4，
所以△MON 的面积S ＝12
|MN|×d＝4……………………………………………10分
23．【解析】(1)a ＝1时，f(x)＝||x ＋1＋2||x －1……………………………1分
当x<－1时，f (x)≤7即为－3x ＋1≤7，解得－2≤x<－1.
当－1≤x≤1时，－x ＋3≤7，解得－1≤x≤1.
当x ＞1时，3x －1≤7，解得1＜x≤83
……………………………4分 综上，f (x)≤7的解集为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－2，83………………………5分
(2)∵a>－1，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1（x<－1），－x ＋2a ＋1（－1≤x<a），3x －2a ＋1（x≥a），
…………………7分
由y ＝f(x)的图象知，
f(x)min ＝f(a)＝|a ＋1|＝3，a ＝－4或2，∴a ＝2…………………………10分。