江苏省东南中学2013届高三高考最后一卷数学试题

第二篇 那些年我们一起错过的题
一填空题 【你能既快又准解好填空题吗？方法是否得当？选用公式是否正确？】 ⒈ 若集合}2,1{-=m A ，且{}2=⋂B A ，则实数m 的值为 。

分析：千万不要把“2-m ”再看成“2,-m ”了。

答案：4
2．若复数2()()x x x i
z x R i
+-=
∈为纯虚数，则x = ． 分析：1
i 本是纯虚数，故200x x x ≠⎧⎨-=⎩
答案：1.
3．当A ，B {}1,2,3∈时，在构成的不同．．直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45︒ 的概率是 ．
分析：在数古典概型问题中基本事件（如：直线方程、对数b a log 的值）个数的时候，小心重复计
数。

答案：
7
3 4．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）. 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[)2500,3500（元/月）收入段
应抽出 人. 分析：关键是计算公式，40 5．函数sin y x π=(x ∈R )的部分图象如图所示，设O 为坐标原点，a b ≥ 是图象的最高点，B 是图象与x 轴的交点，则tan OPB ∠= ． 分析：1
(,1)2
P ，
关键之一：B(2,0)而不是(1,0)；
关键之二：计算的公式选取．用二角和与差的正切公式，答案：8
6．若△ABC 的周长等于20，面积是
A ＝60°，则BC 边的长是 ． 分析：S ＝
12bcsinA ，得
1
2
bc sin60°，得bc ＝40，b ＋c ＝20－a ， 关键是：222()3b c bc b c bc +-=+-．答案： 7.
0．0．0．0．0．
7．已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项和的最大值为()f t ，则()f t = . 分析：关键是(,)t n ∈∈**
N N ，答案：22
2()
4(1)()
4
t t t t t ⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数为奇数
8．已知曲线2:2C y x =，点A (0,-2)及点B (3,a )，从点A 观察点B ，要使视线不被C 挡住，则实数a 的取值范围是 ．
分析：关键是用什么模型，设切点00(,)x y ，则切线为0004()y y x x x -=-，过点A (0,-2)，得切于
点(1,2)，切线为24(1)y x -=-，切线与直线x =3的交点为(3,10)，故a ＜10，答案：（－∞,10）
9．若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：122
2
222=+b y a x （022>>b a ）
的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：
①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②
11
22
a b a b >； ③2
2212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-. 其中，所有正确结论的序号是 ．
分析：2222
1122a b a b -=-，从而③22212221b b a a -=-成立，
关键之一：1a ＞2a ，由上得1b ＞2b ，从而①成立；②不成立；
关键之二：22221122a b a b -=-→11112222()()()()a b a b a b a b +-=+-→11a b -＜22a b -，从而④
成立；
答案：①③④ （可令c =1的特值法）
10.（1）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球
O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为_____________.
（2）已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展
开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三
棱锥P ABC -的体积为 ______ ． 分析：（1）作图，在图形中尽可能寻找我们熟悉的条件（线线垂直、
线面
垂直、面面垂直等）或熟悉的图形（正四面体，正三棱柱等）。

我们
发现四面体
ABC
-0，故
()12
21223=⨯=-棱长ABC
O V ，另我们发现
OAB S ABC O V V --=（同地面等高）
（2）读清题意“所有棱长都相等”可以知道三棱锥为正四面体，然后根据题意作图，可以得到棱长为23，故使用正四面体的体积公式
()925412
21223=⨯=⨯棱长 答案：（1）
6
2
；（2）9 11．（1）已知0,>b a ，且
41
1≤+b
a ，32)(16)(a
b b a =-，则b a +的值等于 . （2）若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,，01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立，
则实数a 的取值范围是 .
分析：当题目中过多出现“和，差，积，平方和”即“22,,,b a ab b a b a +-+”这些形式的时
候，就应该使用完全平方和基本不等式（≥
+≥+≥+2
2
2
2
,2,2b a ab b a ab b a ()2
2
b a +等）相结合的办法进行处理解决。

答案：（1）2；（2）⎥⎦
⎤
⎝⎛
∞-637,
； （3）若y x ,满足()()2ln 2ln cos 41cos 4log 22
2
2e y y xy xy +-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+, 则x y 4cos 的值为 _____________.． （4）设数列{}n a 满足8
12=
a ，且对任意的*
N n ∈，满足n n n n n n a a a a 310,342⨯≥-≤-++ 则=2014a ______________.
分析：可以使用两边夹逼定理。

（1）左边=()()12log cos 41
cos 4log 2222=≥⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+
xy xy ，右边
=2
ln 2ln 2
e y y +-，利用求导的办法可以求出右边1≤，故≤1左边=右边1≤，所以左边=
右边=1，当且仅当()2,1cos 42
==y xy 。

（2）由n
n n a a 32≤-+得n n n a a +≤+32， 所以()
n n n n n n a a a ++≤+≤++++333
222
4，即n n n a a +⨯≤+3104；
N M
E
C
B A
由n n n a a 3104⨯≥-+得n n n a a 3104⨯+≥+；
所以可以得到n n n n n a a a +⨯≤≤⨯++3103104即n n n a a +⨯=+3104
答案：（3）1-；（4）18
32014
- 12.（1） 如图，两射线,AM AN 互相垂直，在射线AN
上取一点B 使AB 的长为定值2a ，在射线AN 的左
侧
以AB 为斜边作一等腰直角三角形ABC ．在射
线,AM AN 上各有一个动点,D E 满足ADE ∆与
ABC ∆的面积之比为3:2，则CD ED ⋅的取
值范围
为__________．
（2）如右侧下图, 在等腰A B C ∆中, 底边
BC 21,,2=
==, 若2
1-=⋅, 则
=⋅__________.．
（3）已知O 为ABC △的外心，若51213OA OB OC +-=0，
则C ∠等
于 ______- ．
（4）已知向量a ，b ，满足1a =，()()
02=-+，则b 的最小值为 ．
分析：向量问题一般可以采用两种方法处理，（1）（2）题图形比较特殊，故可以使用建系坐标
法；（3）（4）题不能使用坐标法，故只能使用向量公式法。

答案：（1）[
)
+∞,52
a ；（2）3
4-
；（3）43π（4）21
.
13.（1）定义在R 上的函数()x f y =是减函数，且函数()1-=x f y 的图象关于()0,1成中心对称，
若t s ,满足不等式()()
2
222t t f s s f --≤-，则当41≤≤s 时，
s
t
的取值范围是 ___________
（2）设实数6≤n ，若不等式()0822≥--+n x xm 对任意[]2,4-∈x 都成立，则n
m n m 3
4
4-的最小值为_______________.
（3）若动点P 在直线021=--y x l ：上，动点Q 在直线062=--y x l ：上，设线段PQ 的中
点为()00,y x M ，且()()8222
02
0≤-+-y x
，则2
02
0y x +的取值范围是______________
分析：这些问题实际要求考生对“00--=s t s t ”、“33441⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-n m n m n
m n m ”、“()()2
02
0202000-+-=+y x y x ”等这些形式要具备一定的敏感度，这些就是在线性规
划问题中提及的斜率问题、距离问题等。

答案：（1）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
1,21；
（2）380-；（3）[]16,8 14.（1）若0,0x y >>，且221x y +=，则
2
2
11x y
x y +--的最小值是 ． （2）已知OAB ∆中,OA a =，OB b =，且3,2a b a b +=-=，OAB ∆面积的最大值是
_____________.
（3）已知圆心角为︒120的扇形AOB 的半径为1，C 为弧AB 的中点，点E D ,分别在半径OB
OA ,上.若9
26
2
2
2
=
++DE
CE CD ，则OE OD +的最大值是_______________. 分析：一般这些题都偏后，做题时候，我们可以先试试能否交换下题目中的重要字母，如果交
换后，发现题目没有改变的话，说明你交换的两个字母属地位等价，然后可以用特殊法操作。

如：（1）“x ”与“y ”交换后，题目没有发生变化，故此题可以令y x =来解得
题目的最小值。

答案：22。

（2）“A ”与“B ”交换后，题目没有发生本质变化，故此题说明点A 与点B 到原点的距离相等，故OAB ∆可以看做等腰三角形来解答。

答案：
2
3。

(3)“D ”与“E ”交换后，题目没有发生本质变化，故说明OD =OE ，那么在这个条件下，再来解题是不是简单许多.答案：3
4
二、解答题 【你能审出方法、步骤和注意点吗？能否做到会而不失分吗？】 ★你能写好解题步骤吗？
15．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除去标注的数字外完全
相同．甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下球上的数字后放回，乙再摸出一个小球，记下球上的数字，如果两个数字之和为偶数则甲胜，否则为乙胜． （1）求两数字之和为6的概率；
（2）这种游戏规则公平吗?试说明理由．
解：（1）设“两数字之和为6”为事件A ，事件A 包含的基本事件为---------------1分
（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．---------4分 又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果，
所以51
()255
P A =
=．
答：两数字之和为6的概率为1
5
． ----------------------------------7分
（2）这种游戏规则不公平． --------------------------------------------9分
设“甲胜”为事件B ，“乙胜”为事件C ， --------------------------10分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个： （1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5）， （4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．------------------12分 所以甲胜的概率P （B ）＝
1325，从而乙胜的概率P （C ）＝1－1325＝12
25
． 由于P （B ）≠P （C ），所以这种游戏规则不公平．-----------------14分
★你能用好三角公式并简单讨论吗？
16．在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边长分别是a 、b 、c .满足2cos cos a C c A b +=. （1）求C 的大小；
（2）求sin sin A B +的最大值. 解：（1）由正弦定理及2cos cos a C c A b +=得，2sin cos sin cos sin A C C A B +=.
在ABC ∆中，A B C π++=，∴A C B π+=-，即sin()sin A C B +=.---3分
∴2sin cos sin cos sin()sin cos sin sin cos sin A C C A A C A C B A C B +=++=+=
∴sin cos 0A C =
又0A π<<，0C π<<，
∴sin 0A >.∴cos 0C =. ∴2
C π
=
. ---------------- 7分
（2）由（1）2
C π
=
，∴2
A B π
+=
，即2
B A π
=
-.
sin sin sin cos A B A A +=+)4
A π
=+
，02
A π
<<
，---------------12分
∴
34
4
4
A π
π
π<+
<
.
∴当4
A π
=
时，sin sin A B +分 ★你能用设而不求法和韦达定理计算吗？
17．在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O . （1）求动点P 的轨迹W 的方程；
（2）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线
'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论.
解：（1）由题意可得OP OM ⊥， ------------------------------------2分
所以0OP OM ⋅=，即(,)(,4)0x y x -= -------------------------4分 即2
40x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为2
4x y = -----------------5分
（2）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -.
由244y kx x y
=-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=， --------------------------6分 则2
16640k ∆=->，即||2k >. ----------------------------------8分
12124,16x x k x x +==. ----------------------------------------10分
直线21
2221
':()y y A B y y x x x x --=
-+
21
22
21
222
21221222
212122
2112
()1()4()4
1444 y 44
y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=
-++-∴=-++--∴=-+-∴=+
---------------------------------13分 即21
44
x x y x -=
+ 所以，直线'A B 恒过定点(0,4). ---------------------------------14分 ★你能挖掘“隐含条件”吗？
18．设数列{n a }的前n 项积为n T ，1n n T a =-．数列{n b }的前n 项和为n S ，1n n S b =-．若1
n n
C T =
． （1）证明数列{n C }成等差数列，并求数列{n a }的通项公式； （2）若(2)n n n T nb n k +-≤对n ∈N *
恒成立，求实数k 的取值范围． （1）证明：由1n n T a =-，得111n n T a ++=-且1111T a a ==-，
得11
2a =
，12C =，又111
1(1)1n n n n C C a T +++-=-=，--------------4分 所以数列{n C }以2为首项1为公差的成等差数列；----------------5分
2(1)1n C n n =+-=+， 1111n n n T a C n =
==-+，得1
n n a n =+，
因为112a =
也满足，所以数列{n a }的通项公式1
n n a n =+；---------8分 （2）解：由1n n S b =-，得11
2
b =
， 111n n n n n S S b b b +++-=-=，得112n n b b +=，所以1
()2n n b =，--------10分
11
(2)[()2]12
n n n T nb n n n n +-=+-+ k ≥
112[()]12n n n n
-++，----------------------------------------12分 令()g n =
112
[()]12n n n n
-++， （求()g n 的最大值） 1
1
(3)(4)2(1)()(1)(2)2n n n n n g n g n n n n ++++-+-=-++，
当n ≥4时(1)()g n g n +-＜0，()g n 的最大值为9
(4)80
g =
------------14分 而1(1)4g =-，1(2)12g =，11
(3)96g =
所以()g n 的最大值为11
(3)96
g =， 实数k 的取值范围为k ≥
11
96
-------------------------16分 ★你能看得懂 “不规则图形”并不跳步证明吗？ 19．已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ， 且
BC ＝
2AB ＝2AD ＝2，侧面PAD 为等边三角形，PB ＝PC
（１）求证：PC ⊥平面PAB ；
（２）求四棱锥P －ABCD 的体积．
(１)证明：在等腰梯形ABCD 中，1,2AB AD BC ===
060,ABC AC AC AB ∴∠==⊥
在PAC ∆
中，1,PA AC =
=.PC PC PA =⊥
在PBC ∆中，
222,PB PC BC PC PB +=∴⊥ 又PA PB P ⋂=，PC AB ∴⊥面P
(２)解：过点P 作PH AC ⊥，垂足为H .
在ABP ∆中，1,AB AP PB ===
AB AP ⊥
P
A
B
C
D
又AP AC A ⋂=，AB AC ∴⊥面P .AB PH ∴⊥ 又AC AB A ⋂=PH ABCD ∴⊥面
在Rt PAC ∆
中，PA PC PH AC ⋅=
=
ABCD 13P ABCD V PH S -∴=
⋅11(12)32=⋅⋅+= 20．如上图,四棱锥P-ABCD 是底面边长为1的正方形，PD ⊥
（１）求证:PD ⊥面ABCD ；
（２）设E 是PD 的中点 ，求证：PB∥平面ACE ； （３）求三棱锥B —PAC 的体积． （１）证明
:1,PD DC PC ===,PDC PD CD ∴∆⊥是直角三角形即．
又,PD BC BC CD C ⊥=,∴ PD ⊥面
（２）证明：设AC 的中点为O ，连EO 因为OE 为DPB ∆的中位线，所以OE ∥PB ,
OE ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC ,所以PB∥平面（３）解：111
111326B APC P ABC V V --==⨯⨯⨯⨯=
21. 如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正 北
方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图
书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径
OM R = ，45MOP ∠=，OB 与OM 之间的夹角为
θ.
（1）将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数. （2）求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？
其最大值是多少？(用含R 的式子表示)
解：（1）由题意可知，点M 为PQ 的中点，所以OM AD ⊥.
设OM 于BC 的交点为F ，则2sin BC R θ=，cos OF R θ=.
1
cos sin 2
AB OF AD R R θθ=-
=-. 所以2sin (cos sin )S AB BC R R R θθθ=⋅=-2
2
(2sin cos 2sin )R θθθ=-
C A
B
C
D
M
O
P
Q
F
2(sin 21cos2)R θθ=-
+22sin(2)4
R π
θ=+-，(0,)4πθ∈ .
（2）因为(0,)4πθ∈ ，则32(,)444πππ
θ+∈ .
所以当 242ππθ+=，即8πθ= 时，S 有最大值
.2
max 1)S R =.
故当8
πθ=时，矩形ABCD 的面积S
有最大值2
1)R .
★你能做到运算不错、有意志做吗？
22．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点(0,1)
（1）求椭圆C 的方程；
（2）,A B 为椭圆C 的左右顶点，
直线:l x =与x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于,A B 的动
点，直线,AP BP 分别交直线l 于,E F 两点.证明：当点P 在椭圆C 上运动时，||||DE DF ⋅恒为定值.
解：（ 1）由题意可知，1b =
，而
c a =，且222a b c =+.解得2a =， 所以，椭圆的方程为2
214
x y +=.
（2）(2,0),(2,0)A B -.设00(,)P x y ，022x -<<，
直线AP 的方程为00(2)2y y x x =
++
，令x =
，则0
02)2
y y x =+，
即00||
||2)
|2|
y DE x =+；
直线BP 的方程为00(2)2y y x x =
--
，令x =
02)2
y y x =-，
即00||
||2)
|2|
y DF x =-；
0000||||||||2)2)|2||2|y y DE DF x x ⋅=⋅+-22
00
22
00
44|4|4y y x x ==-- 而2
20014
x y +=，即22
0044y x =-，代入上式，∴||||1DE DF ⋅=，所以||||DE DF ⋅为定值1. ★你能有机利用平几知识来解题吗？
23．已知椭圆C ：)0( 12222>>=+b a b
y a x 的离心率为23
，过坐标原点O 且斜率为21的直线 l 与
C 相交于A 、B ，102||=AB ．
（1）求a 、b 的值；
（2）若动圆1)(22=+-y m x 与椭圆C 和直线 l 都没有公共点，试求m 的取值范围． 解：⑴依题意， l ：2
x
y =
，不妨设设) , 2(t t A 、) , 2(t t B --（0>t ）-----2分， 由102||=AB 得40202
=t ，2=t --------------------------------3分，
所以⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=-==+23 1282
222a b a a
c b a ------------------------------------------5分，
解得4=a ，2=b ------------------------------------------------6分．
⑵由⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+1)( 14
16222
2y m x y x 消去y 得0124832
2=++-m mx x -------------7分， 动圆与椭圆没有公共点，
当且仅当014416)124(34)8(2
2
2
<-=+⨯⨯--=∆m m m 或5||>m ---9分， 解得3||<m 或5||>m ----------------------------------------------10分
动圆1)(2
2=+-y m x 与直线2x y =
没有公共点当且仅当
15
|
|>m ， 即5||>
m -------------------------------------------------------12分
解⎩⎨⎧><5||3||m m 或⎩⎨⎧>>5||5||m m ------------------------------------------13分， 得m 的取值范围为{}553535|-<-<<-><<m m m m m 或或或--------14分
★你能正确使用切点与交点吗？
24．如图，在函数3y x x =-的图像上取4个点(,)i i i A x y ，过点i A 作切线i l （1,2,3,4)i =，如果1l ∥3l ，
且1234,,,l l l l 围成的图形是矩形记为M ． （1）证明四边形1234A A A A 是平行四边形；
（2）问矩形M 的短边与长边的比是否有最大值，若有，求1l 与2l 的斜率，若没有，
解：（1）设直线i l 的斜率为i k （1,2,3,4)i =，
由231y x '=-，得231i i k x =- ------------------------------2分 由题意13k k =，24k k =，又点1234A A A A 不重合，故13x x =-，24x x =-，
从而13y y =-，24y y =-，---------------------------------------------5分 因此13A A 与，24A A 与都关于原点对称，
故四边形1234A A A A 是平行四边形；------------------------------------7分 （2）有最大值； ------------------------------------------9分 设10k >，20k <
:()i i i i l y y k x x -=-，即320i i y k x x -+=，且121k k =-
设1l 与3l
的距离为31d =
，2l 与4l
的距离为32d
3
3
26222212111622
1121211111111111d x k k k k d x k k k k k ⎛⎫⎛⎫+++-=⋅== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
（k ＞1）-------11分 令33
(1)()(1)x g x x x -=+（x ＞1）
2224(1)(61)()(1)x x x g x x x ---'=-=+
当13x <<
3x >+
故当3x =+
max ()g x =
---------------14分
因为
1<，因此矩形M 的短边与长边的比有最大值，
x
x
x
y 1l 与2l 的斜率分别为33------------------------------16分
理科加试内容
25. 二阶矩阵1M 和2M 对应的变换对正方形区域的作用结果如图所示： 1M 2
M （1）分别写出一个满足条件的矩阵1M 和2M ； (2)根据（1）的计算结果，求()1
21-M M .
解：（1）⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=210011M ，⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=01102M ； （2）()
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-02101
21M M 26．如图，在极坐标中，⎪⎭⎫
⎝
⎛4,2πM ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛
4,22πN ，43πα= （1）求直线l 的极坐标方程；
（2）若直线l 与圆N 相交所得的弦长为22，求圆N
的极坐标方程.
解：方法一：（1）设直线l 的极坐标方程为：
()()αθραθρ-=-00sin sin
由题意知4
3,4
,200π
απ
θρ=
=
=
则⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-434sin 243sin πππθρ
即243sin -
=⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
πθρ （2）由题意得到2=MN ，故圆N 的半径2=r
设圆N 的极坐标方程为：()22
0002cos 2r =+--ρθθρρρ
由题意知2,4
,2200==
=r π
θρ
则()
22
22224cos 222=+⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
⨯-πθρρ
即044cos 242=+⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
-πθρρ 方法二：先转化为直角坐标系下的问题解答，后化成极坐标方程.
27．在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，
2
ADC π
∠=
，1AB AD PD ===，2CD =．设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，
使得二面角Q BD P --为45°．
解：因为侧面PCD ⊥底面ABCD ，
平面PCD 平面ABCD CD =，PD CD ⊥，
所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，即三直线
,,DA DC DP 两两互相垂直。

如图，以D 为坐标原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴
建立
直角坐标系，
则平面PBD 的一个法向量为(1,1,0)=-n ， …………………2分 (0,2,1),,(0,1)PC PQ PC λλ=-=∈，所以
(0,2,1)Q λλ-，设平面QBD 的一个法向量为
(,,)a b c =m ，由0BD ⋅=m ，0DQ ⋅=m ，
得⎧⎨
⎩0
2(1)0
a b b c λλ+=+-=，
所以2(1,1,)1
λ
λ=--m …………………6分 所以||
cos 45||||
⋅=
⋅m n m n
= 注意到(0,1)λ∈
，解得1λ=． …………………10分
28. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A B ABC ⊥平面，AB AC ⊥，且12AB AC A B ===．
（第22题）
B
A
C
A 1
B 1
C 1
（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；
（2）在棱11B C 上确定一点P ，使二面角1P AB
A --．
【解】（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系， 则 ()()()()11200020022042C B A B ，，，，，，，，，，，，
()1022AA =，，，()11220BC B C ==-，，． 1111cos 28AA BC
AA BC AA BC
⋅〈〉===-⋅，，
故1AA 与棱BC 所成的角是π3． ………………………4分
（2）P 为棱11B C 中点，
设()111220B P B C λλλ==-，，，则()2422P λλ-，，． 设平面PAB 的法向量为n 1(),,x y z =，()=2422AP λλ-，，，
则1103202000
AP x y z z x y y AB λ⎧⋅=++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨
==⋅=⎩⎩⎪⎩，，，．n n 故n 1()10λ=
-，，……………………………………………8分
而平面1ABA 的法向量是n 2=(1，0，0)，则121212cos ,⋅〈〉===⋅n n n n n n ，
解得1
2
λ=
，即P 为棱11B C 中点，其坐标为()132P ，，．………………10分 29. 一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。

若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得1-分。

（1）求拿4次至少得2分的概率； （2）求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望。

解：（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A ，则31)(=
A P ，3
2
)(=A P ，拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况。

818)32()31(3341=
=C P ，81
1)31(42==P ，9
1
21=+=∴P P P
（2）ξ的可能取值为4,2,0,2,4--，则
C 1
8116)32()4(4==-=ξP ；81
32)32)(31()2(3
14==-=C P ξ；
8124)32()31()0(2
224===C P ξ；818)2(==ξP ；81
1)4(==ξP ；
4
381148182812408132)2(81164-=⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯
-=ξE 30．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和4
3
假设两人射击是否击中目标，相互之间
没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响 ⑴求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
⑵假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？
⑶设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望E ξ.（结果可以用分数表示）
解：（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于
3次独立重复试验，故P （A 1）=1- P （1A ）=1-3
2()3=
1927
答：甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为
1927
； (2) 记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A 2，由于各事件相互独立，
故P （A 2）=
41×41×43×41+41×41×43×43 =364
， 答：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是364
（3）根据题意ξ服从二项分布，2
323
E ξ=⨯=
（3）方法二：03311(0)()327p C ξ==⋅=
1
23216(1)
()()3327
p C ξ==⋅⋅=
22132112
(2)()()3327
p C ξ==⋅⋅=
3
303218(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=161280123227272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
31．已知
n x （)22
1
(+。

（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大
项的系数。

（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项。

解：（1）∵5
6
4
2n n n C C C =+∴n =7或n =14。

当n =7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5
T 4的系数=2352213437=⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；T 5的系数=702214
3
47=⎪⎭
⎫ ⎝⎛C
当n =14时展开式中二项式系数最大是项是T 8，
T 8的系数=34322217
7
714=⎪⎭
⎫ ⎝⎛C 。

(2)由2
10n n n C C C ++=79，可得n =12，设1+k T 顶的系数最大。

∵()12
12124121221x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--1
11212
1112124444k k k k k k k k C C C C ， ∴9.4<k <10.4 即k =10，
故展开式中系数最大的项为T 11 。

10101010
1212
11168964121x x C T =⋅⋅⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
32．已知333
3
111
1()1234
f n n
=++++
，
231()22g n n =-，*n ∈N ． （1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系； （2）猜想()f n 与()g n 的大小关系，并给出证明．
解：（1）当1n =时，(1)1f =，(1)1g =，所以(1)(1)f g =；
当2n =时，9(2)8f =，11
(2)8
g =，所以(2)(2)f g <； 当3n =时，251(3)216f =
，312(3)216
g =
，所以
(3)(3)f g < （2）由（１），猜想()()f n g n ≤，下面用数学归纳法给出证明：
①当1,2,3n =时，不等式显然成立．
②假设当(3)n k k =≥时不等式成立，即3
3332
1111311234
22k k +
+++
<-， 那么，当1n k =+时， 323
1311
(1)()(1)22(1)
f k f k k k k +=+<-+++， 因为
2233232
1113131
()02(1)2(1)2(1)22(1)k k k k k k k k k
+----=-=<++++， 所以231
(1)(1)22(1)
f k
g k k +<
-=++． 由①、②可知，对一切*n ∈N ，都有()()f n g n ≤成立．
33．试证明 不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均
有 a n +c n ＞2b n
分析： 本题中使用到结论 (a k －c k )(a －c)＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k+1+c k+1＞a k ·c+c k
·a
证明(1)设a 、b 、c 为等比数列，a=q
b
,c=bq(q ＞0且q ≠1)
∴a n
+c n
=n n q
b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n
(2)设a 、b 、c 为等差数列，
则2b=a+c 猜想2n
n c a +＞(
2
c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明
①当n=2时，由2(a 2
+c 2
)＞(a+c)2
，∴2
22)2
(2c a c a +>+
②设n=k 时成立，即,)2(2k
k k c a c a +>+
则当n=k+1时，4
1211=+++k k c a (a k+1+c k+1+a k+1+c k+1
)
＞41(a k+1+c k+1+a k ·c+c k
·a)=41(a k +c k )(a+c) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2
c a +)k+1
也就是说，等式对n=k+1也成立
由①②知，a n +c n ＞2b n
对一切自然数n 均成立。

34．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n
∈N *
)．
(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜5
12；
(3)设点列Q n (n a n ，n ＋1b n )，是否存在一个最小的正实数R ，使得对任意n ∈N *
，点Q n (n a n ，n ＋1
b n )都在以R 为半径的圆内(包括圆周上)？若存在，请求出R 及该圆的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2
n ＋1＝b n b n ＋1，由此可得
a 2＝6，
b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.
猜测a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2
.
用数学归纳法证明：
①当n ＝1时，由已知可得结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即 a k ＝k(k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2. 那么当n ＝k ＋1时，
a k ＋1＝2
b k －a k ＝2(k ＋1)2－k(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，
b k ＋1＝a 2k ＋1
b k ＝(k ＋2)2.
所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．
由①②，可知a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2
对一切正整数都成立．
(2)n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜5
12.
当n≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n. 故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜16＋12[12×3＋1
3×4＋…＋
1＋
]
＝16＋12(12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1) ＝16＋12(12－1n ＋1)＜16＋14＝512， 综上，原不等式成立． (3)因n a n ＝1n ＋1，n ＋1b n ＝1
n ＋1， 故Q n 的坐标为(1n ＋1，1
n ＋1)，
点Q n 无限接近原点，距离原点最远的是Q 1(12，1
2)，易见点Q n 均在直线y ＝x 上，故存在所求的
圆，该圆是以Q 1(12，12)，O(0,0)为直径端点的圆，易得半径R ＝24，此圆的方程为(x －14)2＋(y －1
4)2
＝18.
35．设f(x)是定义在R 上的函数， g(x)＝C 0n f(
n 0)x 0(1－x)n ＋C 1n f(n 1)x 1(1－x)n-1＋C 2n f(n 2)x 2(1－x)n-2＋…＋C n
n f(n
n )x n (1－x)0。

（1）若f(x)＝1，求g(x)；
（2）若f(x)＝x ，求g(x)。

（3）若f(x)＝2x ，求g(x)；
解 (1)f(x)=1,所以0
1()()()1n f f f n n n
==⋅⋅⋅==，所以g(x)=
00110(1)(1)
(1)(1)n n n n n n n n c x x c x x c x x x x --+-+⋅⋅⋅+-=-+=1, 又00无意义，即g(x)=1,且x ≠0,x ≠1,x ∈R.
(2)因为f(x)=x,所以()(0,1,).k
k
f k n n
n
=
=⋅⋅⋅ 所以g(x) =0011101(1)(1)n n n n
n n n n c x x c x x c x n n n
--+-+⋅⋅⋅+,
因为()()11!(1)!!!(1)!1(1)!
r r n n r r n n c c n n r n r r n r ---===----- 所以g(x)=0+01
12223311111(1)(1)(1)n n n n n
n n n n c x x c x x c x x c x ---------+-+-+⋅⋅⋅
=0
1
1222311
1111(1)
(1)(1)n n n n n n n n n c x c x x c x x c x x ---------⎡⎤⎡⎤-+-+-+⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦
=x(1-x+x)n-1=x.
所以g(x)=x,且x ∈R,x ≠0,x ≠1.
36．已知抛物线)0(2:2>=p py x C 的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为1x )0(1>x ，过点A 作抛物线C 的切线1l 交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线:2
p
l y =
于点M ，当2||=FD 时， 60=∠AFD ．
（1）求证：AFQ ∆为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；
（2）若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线2l 交直线1l 于点P ，交直线l 于点
N ，求PMN ∆面积的最小值，并求取到最小值时的1x 值．
解：（1）设),(11y x A ，则切线AD 的方程为p
x x p x y 2211-=， 所以),0(),0,2
(11y Q x D -，12||y p FQ +=，12||y p FA +=，所以||||FA FQ =， 所以AFQ ∆为等腰三角形
且D 为AQ 中点，所以AQ DF ⊥， 60,2||=∠=AFD DF ，12
,60==∠∴p QFD ，得2=p ，抛物线方程为y x 42=
（2）设)0(),(222<x y x B ，则B 处的切线方程为222
22x x x y -= 由)4,2(42422121222211x x x x P x x x y x x x y +⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=，)1,22(14211211x x M y x x x y +⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-= 同理)1,22(2
2x x N +， 所以面积2
12211221221116)4)(()41)(2222(21x x x x x x x x x x x x S --=---+=……① 设AB 的方程为b kx y +=，则0>b
由044422=--⇒⎩
⎨⎧=+=b kx x y x b kx y ，得⎩⎨⎧-==+b x x k x x 442121代入①得： b
b k b b b b k S ++=++=2222)1(64)44(1616，使面积最小，则0=k 得到b
b b S 2)1(+=…………② 令t b =， ②得t t t t t t S 12)1()(322++=+=，2
22)1)(13()(t t t t S +-='，
所以当)33,0(∈t 时)(t S 单调递减；当),33(+∞∈t )(t S 单调递增， 所以当33=t 时，S 取到最小值为9
316，此时312==t b ，0=k ， 所以311=y ，即3321=x 。