放缩法证明导数不等式

放缩法证明导数不等式
在用导数证明的不等式中，有时采用适当的放缩，会使解题过程事半功倍。

下面先介绍几个不等式。

①1+≥x e x （当且仅当x=0时取等号）
对①式两边同时取以e 为底的对数得到②式
②x x ≤+)1ln(，()+∞-∈,1x （当且仅当x=0时取等号） ②式中用x-1替换x ，得到③式
③1ln -≤x x ，()+∞∈,0x （当且仅当x=1时取等号） ③式中用x 1替换x , 得到x x x -≤
11ln 即 ④x
x x 1ln -≥ ， ()+∞∈,0x （当且仅当x=1时取等号） 由③④式可得 ⑤1ln 1-≤≤-x x x
x ，两边等号成立的条件均为x=1 ⑤式中用x+1替换x 得到 ⑥()x x x x ≤+≤+1ln 1
，两边等号成立的条件均为x=0 ①式中用x-1替换x ，得到x e x ≥-1，所以x e
e x
≥，即 ⑦ex e x ≥，（当且仅当x=1时取等号）
令()x x x f ln =，则令()0ln 1'=+=x x f ，得e x 1=。

⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，()0'<x f ，()x f 单调递减；⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞∈,1e x 时，()0'>x f ，()x f 单调递增，所以()x f 的最小值为e e f 11-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛，即e x x 1ln -≥，所以得到
⑧ex x 1ln -≥，（当且仅当e
x 1=时取等号） 以上的不等式应用在在证明过程中时需要先证明，下面用几个例题说明一下
例1， 求证02ln 2≤+--ex e ex x ex x
证明：先证ex e x ≥
令()ex e x f x -=，则()()11'-=-=-x x e e e e x f ，则()1,0∈x 时，()0'<x f ，()x f 单调递减，()+∞∈,1x 时，()0'>x f ，()x f 单调递增。

所以()x f 的最小值为()01=f 。

即ex e x ≥，（当且仅当x=1时取等号）
要证原式 ，只需证明02ln 2≤+--ex ex ex x ex ，即证
0ln 2≤+-ex ex x ex ，又因为x>0，两边同除ex ，只需证明01ln ≤+-x x
令()1ln +-=x x x g ，则()x
x x x g -=-=111
'。

则()1,0∈x 时，()0'>x g ，()x g 单调递增，()+∞∈,1x 时，()0'<x g ，()x g 单调递减。

所以()x g 的最大值为()01=g ，即()0≤x g ，所以原式得证。

例2， 求证：12ln 1>+-x x e x x e 证明：先证ex x 1ln -
≥ 令()ex x x f 1ln +=，则()22'111ex ex ex x x f -=-=，所以⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，()0'<x f ，()x f 单调递减；⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞∈,1e x 时，()0'>x f ，()x f 单调递增，所以()x f 的最小值为01=⎪⎭⎫ ⎝⎛e f ，所以
ex x 1ln -≥，（当且仅当e x 1=时取等号） 所以x e x e ex e e x x e x x x x x
11122ln ---=+-≥+，令()x
e x g x 1
-=，则()()21'1x x e x g x -=-，则()1,0∈x 时，()0'<x g ，()x g 单调递减，()+∞∈,1x 时，
()0'
>x g ，()x g 单调递增。

所以()x g 的最小值为()11=g 。

即11
≥-x e x ，（当且仅当x=1时取等号），因为两个不等式等号成立的条件不相同，所以最终不能取等号，即12ln 1>+-x x e x x e 。

例3，求证：2ln >-x e x
证明：先证ex e x ≥
令()ex e x f x -=，则()()11'-=-=-x x e e e e x f ，则()1,0∈x 时，()0'<x f ，()x f 单调递减，()+∞∈,1x 时，()0'>x f ，()x f 单调递增。

所以()x f 的最小值为()01=f 。

即ex e x ≥，（当且仅当x=1时取等号）
所以x ex x e x ln ln -≥-，令()x ex x g ln -=，则()x
ex x e x g 11'-=-=，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，()0'<x g ，()x g 单调递减；⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞∈,1e x 时，()0'>x g ，()x g 单调递增，所以()x g 的最小值为21=⎪⎭⎫ ⎝⎛e g ，所以ex e x ≥ ，（当且仅当e
x 1=时取等号），因为两个不等式等号成立的条件不相同，所以最终不能取等号，即2ln >-x e x 。

在用导数证明不等式的过程中，可以适当使用放缩法，但是要注意等号成立的条件。