人教版高中数学选修2-2教案全集

人教版高中数学选修2-2教案全集
第一章 导数及其应用
§1.1.1变化率问题
教学目标：
1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念．
导数问题1 .⏹ ⏹ 分析: (r ⑴ 当气球的平均膨胀率为
)/(62.00
1)
0()1(L dm r r ≈--
⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(16.01
2)
1()2(L dm r r ≈--
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
1
212)
()(V V V r V r --
思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2
+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?
思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度
在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)
0()5.0(s m h h v =--=
；
在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)
1()2(s m h h v -=--=
探究：计算运动员在
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
所以v =
12．若设
x 2,同样
f ∆=∆3． 平均变化率=∆∆x
f 1212)()(x x x f x f --
直线AB 的斜率
三．典例分析
例1．已知函数f (x )=x x +-2
),则
=∆∆x
y
． 解：)1()1(22
x x y ∆+-+∆+--=∆+-，
∴x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2
x y =在0x x =附近的平均变化率。

解：2
02
0)(x x x y -∆+=∆，所以
x x x y -∆+=∆2
20)( 所以y 12.3.过曲线
. 12123（二）⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2
+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49
65
(
h h =， 所以)/(0049
65)
0()49
65
(
m s h h v =--=， 虽然运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际
情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
二．新课讲授 1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：
思考：当t ∆趋近
当t ∆趋近即无论t 2的一v 2t =2 例1．（1）求函数y =3x 2
在x =1处的导数.
分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2
再求
6f x x
∆=+∆∆再求0lim 6x f x ∆→∆=∆
解：法一 定义法（略）
法二：222211113313(1)
|lim
lim lim3(1)611
x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=--
（2）求函数f (x )=x x +-2
在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2
()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'
(2)f 和'
(6)f
所以在第3/C h 的12．求曲线3．例212123．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程： 一．创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数
0()f x '的几何意义是什么呢？
二．新课讲授
（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点
00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？
n 趋近于确接近定的PT 称为曲线PT 的斜问题：率k
n P 沿着曲
线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即00
(lim
x f x k ∆→+=说明：1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; （,则,可即①求出P 点的坐标;
②求出函数在点0x 处的变化率0000
()()
()lim x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的
斜率；
③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：
由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '， 图3.1-2
即: 0
()()
()lim
x f x x f x f x y x
∆→+∆-''==∆
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数
(3）函数()f x 在点0x 处的导数'
0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处的导数
例（2解：（2）（2解：例2()h x =-()h t 在
0t 、1t 、()h t 在上
（1） x 轴，所
降．
（2）
1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．
（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数
2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢． 例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：min ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．
在此时，画
1.4≈-
所以1
2．求曲线y =
(4,2)处的切线．
五．回顾总结
1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义 六．教后反思：
§1.2.1几个常用函数的导数
教学目标：
1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2
y x =、1
y x
=的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2
y x =、1
y x =
的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数y c =、y x =、2
y x =、1y x
=的导数公式
教学过程： 一．创设情景
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷
1．函数y 0y '=0y '=2．函数y 因为
y x ∆=∆1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数2
()y f x x ==的导数
因为22
()()()y f x x f x x x x x x x
∆+∆-+∆-==∆∆∆ 所以00
lim
lim(2)2x x y
y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆
2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率
也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2
y x
=减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2
y x =增加得越来越快．若2
y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 4．函数
因为y x ∆∆所以y '5．函数
（21．课本P 13探究1 2．课本P 13探究2 四．回顾总结
五．教后反思：
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
教学目标：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2
．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
y =
（2）推论：[]'
'
()()cf x cf x =
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三．典例分析
例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下
函数关系0()(15%)t
p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商
品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有'
() 1.05ln1.05t
p t = 所以'
10
(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）
例2（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）解：（'y =（2）（3）'''
(sin ln )[(ln )sin ]y x x x x x x =⋅⋅=⋅⋅
（4）'''
'224(4)144ln 41ln 4
(4(4)(4)4
x x x x x x x x
x x x x x y ⋅-⋅⋅-⋅-====， '1ln 44x
x y -=。

（5）''''221
1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln )
x x y x x x x x x -==-+==⋅=+++++ （6）'
2
'
2
'
(251)(251)()x
x y x x e x x e =-+⋅+-+⋅
22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-⋅+-+⋅=--⋅， '2(24)x y x x e =--⋅。

（7）'
'
sin cos (
cos sin x x x y x x x
-=+
2
2
(cos sin )x x x x =+。

【点评】
① 求导数是在定义域内实行的．
②
例31吨水净（1）元/吨．
（2）元/吨． 函数f ．它表25倍．这1．课本P 2（y （1（2教学目标教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 一．创设情景
（一）基本初等函数的导数公式表
（2x 的函x u x y y ''=⋅若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦
三．典例分析
例1（课本例4）求下列函数的导数：
（1）2
(23)y x =+；（2）0.051
x y e
-+=；
（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．
解：（1）函数2
(23)y x =+可以看作函数2
y u =和23u x =+的复合函数。

根据复合函数求导法则有
x u x y y u '''=⋅=2'
'
()(23)4812u x u x +==+。

（2）函数0.051
x y e
-+=可以看作函数u
y e =和0.051u x =-+的复合函数。

根据复合函数求导法则有
x u x y y u '''=⋅='
'
0.051
()(0.051)0.0050.005u u
x e x e e
-+-+=-=-。

（3）函数sin()y x πϕ=+可以看作函数sin y u =和u x πϕ=+的复合函数。

根据复合函数求导法则有 x u x y y u '''=⋅='
'
(sin )()s s()u x co u co x πϕπππϕ+==+。

例2求2
sin(tan )y x =的导数．
=【点评】
解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步． 例5曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．
【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2
＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2
－2 x －1＝0，解得 x ＝－3
1
或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－
31，－27
14）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为
2
|
1271431|++-＝22716． 四．课堂练习
1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3
+sin 3
3x ；（2）1
22sin -=x x y ;(3))2(log 2
-x a 2.求)132ln(2
++x x 的导数 五．回顾总结
六．教后反思：
12下 1．t 变化的函数(h t 2）表示高
'()(v t h t =（1函数．相应地，'
()()0v t h t =>．
（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，
'()()0v t h t =<．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图3.3-3，导数'
0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．
在0x x =处，'
0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；
在1x x =处，'
0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间(,)a b 内，如果'
()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'
()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．
说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1
（2（3（4例1当1<当x 当x 解：当x 当x 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）3
()3f x x x =+； （2）2
()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）3
2
()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3
()3f x x x =+，所以，
因此，3
()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．
（2）因为2
()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-
当'()0f x >，即1x >时，函数2
()23f x x x =--单调递增； 当'
()0f x <，即1x <时，函数2
()23f x x x =--单调递减； 函数2
()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．
（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'
()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示．
（4当'
(f 当'
(f 函数注：（3）、例3 解：( 如图在(,b +∞例4．求证：函数3
2
23121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．
证明：因为()
()()'
2
2
661262612y x x x x x x =+-=+-=-+
当()2,1x ∈-即21x -<<时，'
0y <，所以函数3
2
23121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．
说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤： （1）求导函数()'
f x ；
（2）判断()'
f
x 在(),a b 内的符号；
（3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'0f x <为减函数． 例5．已知函数 2
3
2()4()3
f x x ax x x R =+-
∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：'
2
()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'
()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即
220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤
所以实数a 的取值范围为[]1,1-．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数
否则漏解．
1．求下列函数的单调区间
1.f (x )=2x 3
－6x 2
+7 2.f (x )=x
1
+2x 3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ 4. y=xlnx 2．课本 练习 五．回顾总结
（1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数()y f x =单调区间
（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性
六．教后反思：
§1.3.2函数的极值与导数（2课时）
教学目标：
1.理解极大值、极小值的概念；
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3.掌握求可导函数的极值的步骤；
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．创设情景
观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多放大t 单调递增，
()0h t '>()0h t '>）
后减（t >有()h a '=判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 1．图3.3-1（2（3（4） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，
'()()0v t h t =<．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'
0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'
0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这
时，函数()f x 在1x 附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间(,)a b 内，如果'
()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'
()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．
说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1
（2（3（4例1．'f （1（2当因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为(2)3
f -=； 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为4(2)3
f =-。

函数()3
1443
f x x x =
-+的图像如图所示。

例2求y =(x 2
－1)3
+1的极值
解：y ′=6x (x 2－1)2=6x (x +1)2(x －1)2
令y ′=0解得x 1=－1，x 2=0，x 3=1
当x 变化时，′，的变化情况如下表
∴当x =0时，y 有极小值且极小值=0
1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点
3.（ⅰ）极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意（ⅱ（ⅲ1x 是极大
值点，4x （ⅳ4. 若0x 果)(x f '“左负右正”5. (1)(2)(3))在方程根1．求下列函数的极值.
(1)y =x 2－7x +6 (2)y =x 3
－27x
(1)解：y ′=(x 2
－7x +6)′=2x －7
令y ′=0，解得x =
2
7. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表.
∴当x =
27时，y 有极小值，且y 极小值=－4
25. (2)解：y ′=(x 3
－27x )′=3x 2
－27=3(x +3)(x －3)
令y ′=0，解得x 1=－3，x 2=3.
当x ∴当当数为0函数的不可导点可能是极值点
b a ,果0x （小）值，那么()0f x 不小（大）于函数()
y f x =在相应区间上的所有函数值． 二．新课讲授
观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)
(x f 的图象．图中在[]b a ,上的
)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)
(x f 最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．
1．结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连
续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．
说明：⑴如果在某一区间上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()y f x =在这个区间上连续．（可以不给学生讲）
⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数
x
x f 1
)(=
在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，
⑷函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．2．⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个3⑴求⑵将得出函数例1解： 由例4可知，在[]0,3上，当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(2)3
f =-
，又由于()04f =，()31f =
因此，函数()31443f x x x =
-+在[]0,3的最大值是4，最小值是43
-． 上述结论可以从函数()3
1443
f x x x =-+在[]0,3上的图象得到直观验证．
例2．求函数522
4
+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值
解：先求导数，得x x y 443
/-=
令/y ＝0即0443
=-x x 解得1,0,1321==-=x x x
导数/
y 的正负以及)2(-f ，)2(f 如下表 从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4
例3．已知23()log x ax b
f x x
++=,x ∈(0,+∞).是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）
)(x f )b ，若不∵f (x ∴g (x ∴⎩⎨
⎧g g 1A.C.2．函数y A.等于0 3．函数y A.0 45五．回顾总结
1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；
2．函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件； 3．闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极 4．利用导数求函数的最值方法． 六．教后反思：
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）
教学目标：
1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学过程： 一．创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1234 要
小？
(S x '2()2S x x =-。

令'
2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。

于是宽为128128
816x ==。

当(0,16)x ∈时，'
()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'
()S x >0.
因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。

所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小。

例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 2
0.8r π分，其中
r 是瓶子的半径，单位是厘米。

已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大
半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是
令f '
当r （1是负值．
（2当3r >当r 例3磁道是问题：现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域． （1） 是不是r 越小，磁盘的存储量越大？
（2） r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r 与R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于m ，且最外面的磁道不存储任何信息，故
磁道数最多可达R r
m -。

由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2r
n
π。

所以，磁盘总存储量
()f r =
R r m -×2r n π2()r R r mn
π
=- （1）它是一个关于r 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r 越小，磁盘的存储量越大．
（2）为求()f r 的最大值，计算()0f r '=．
令()0f r '=，解得2
R r =
当2R r <
时，()0f r '>；当2
R
r >时，()0f r '<．
例4量w （1（2表示每千
km ）．这
g （即
()f v =．
g （即每
因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90/km h ．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即()90f '，约为 L ．
例5．在边长为60 cm 的正方形铁片的四
角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高
602
x
h -=
cm ，得箱子容积 2
60)(3
22
x x h x x V -== )600(<<x ．
令 2
3()602
x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，
并求得V(40)=16 000
由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值
答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3
x V ()(=值点处．
x V ()(=因而这
例6 由V=令 s 即因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
提示：S =2Rh π+2
2R π⇒h =R
R S ππ222
-
⇒V (R )=
R R S ππ222-πR 2=322
1
)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．
例6．在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

（1）、如果C(x)＝10005003.0102
3
6
++--x x x ，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量) （2）、如果C(x)=50x ＋10000，产品的单价P ＝100－0.01x ，那么怎样定价，可使利润最大？
变式：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为
q p 8
1
25-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？
分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．
利润令L 例7S 时，使得湿周∴AD ∵CD l ′=∴h =4
3
S
时，l 取最小值，此时b =
S 3324 例8．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2
在x 轴上方的曲线上，求这种矩
形中面积最大者的边长．
【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x ，y ），且x ＞0，y ＞0， 则另一个在抛物线上的顶点为（－x ，y ）， 在x 轴上的两个顶点为（－x ，0）、（x ，0），其中0＜ x ＜2．
设矩形的面积为S ，则S ＝2 x （4－x 2
），0＜ x ＜2．
由S ′（x ）＝8－6 x 2
＝0，得x ＝
33
2
，易知 x ＝
3
4
是S 在（0，2）上的极值点， 即是最大值点，
所以这种矩形中面积最大者的边长为
332和3
8． 【点评】
应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．
练习：1：一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千
y 令y 故2：则y y ′2
＝－500＋
1600
7002
+x x ，
令y ′＝0，解得x ＝
3
6
50． 答：水厂距甲距离为50－
3
6
50千米时，总费用最省．
【点评】
当要求的最大（小）值的变量y 与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x ，然后再根据条件x 来表示其他变量，并写出y 的函数表达式f （x ）． 四．课堂练习
1．用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m ，最大容积3
1.8m ） 5．课本 练习 五．回顾总结
12重点难点1一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2．新课讲授
曲线()y f x =的
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成
的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？
例1：求图中阴影部分是由抛物线2
y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平
面图形的面积S 。

思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？
（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？ 分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．
，即用对这些近似值求和，就得到曲边梯
解：（1在区间[0记第i 轴的垂线，从而得到记作：
显然，S （2）记()f x =可以认为
函数()f x 1i f n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
,i n n ⎤
⎢⎥⎣⎦
上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有
211i i i i S S f x x n n --⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2
11
(1,2,,)i i n n n
-⎛⎫== ⎪
⎝⎭ ①
（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积n S 为
=2
2
111110n n n n
n n -⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=()2
2
231121n n ⎡⎤+++-⎣
⎦
=
()()3
12116
n n n n --=1111132n n ⎛⎫⎛⎫
-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 从而得到S 的近似值 1111132n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
（4）取极限
分别将区间[]0,1等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，即x ∆趋向于0时，
1111
3n S n ⎛⎫⎛
=--
⎪⎝⎭⎝
趋向于S ，从而有
从数值上的变化趋
势：
3)2,,n ，
区间[1,i x -似值．
说明2例2解：1在区间[]0,2上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,2等分成n 个小区间： 20,
n ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦，24,n n ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，…，()21,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 记第i 个区间为()212,(1,2,,)i i i n n
n -⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦，其长度为
分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作： 1S ∆，2S ∆，…，n S ∆
显然，1
n
i
i S S ==
∆∑
（2）近似代替
∵2
2y x x =-，当n 很大，即x ∆很小时，在区间()212,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤
=⎢
⎥⎣
⎦上，可以认为函数
22y x x =-的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点
()
21i n
-处的函数值2
21212i i --⎛⎫⎛⎫21
i -⎡⎤
x ∆∆2
2n ⎤⎢⎥= ⎢⎥⎝⎣⎦
①
41n n n - ⎪⎝⎭=31i n n =⎡⎣∑()()(
)
2
22
380121121n n n
++++--
+++-⎤⎦
()()1218n n n --（“以直代曲”的思想） 五：教学后记
§1.5.2汽车行驶的路程
一：教学目标 知识与技能目标
了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近） 过程与方法
通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想 情感态度与价值观
在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观 二：教学重难点
重点 掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限） 难点 过程的理解 三：教学过程： 1．创设情景
复习：1．连续函数的概念；
2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？ 2．新课讲授
问题时刻t km ）是多少？分析：后让n 解：1记第i ,,)n ，其长度为n -显然，1
n
i
i S S ==
∆∑
（2）近似代替
当n 很大，即t ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上，可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n -处的函数值2
112i i v n n --⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，从物理意义上看，即使汽车
在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻
1
i n
-处的速度2
112i i v n n --⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”
，于是的用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有
21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
2
112(1,2,,)i i n n n n -⎛
⎫=-+= ⎪
⎝⎭ ①
（3）1i t n n n =∆=-+⎢⎥⎪ ⎪
⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∑ =2
11
02n n n
n n
-⎫--
-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()2231121n n ⎡-+++-⎣=()()3121126
n n n n --+=1111132n n ⎛⎫⎛--- ⎪（4）当n 22t =-+22t -+所
极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移S ．
例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =⋅． 1．分割
在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：。