2018年全国初中数学联合竞赛初一组试题第二试(A)(解析版) (解析版)

2018年全国初中数学联合竞赛初一组试题（解析版）

第二试（A ）

一、（本题满分20分）如果a b c d e f g <<<<<<是连续的正整数，b c d e f ++++为完全平方数，a b c d e f g ++++++为完全立方数.求正整数d 的最小值.

【解析】：由题意，可知

5b c d e f d ++++=为完全平方数

7a b c d e f g d ++++++=为完全立方数

………………………………………………………………………………………………（5分）由于b c d e f ++++为完全平方数，a b c d e f g ++++++为完全立方数，令235,7,d m d n ==其中m n 、均为正整数.

………………………………………………………………………………………………（10分）再由简单的整除知识可得，5,m 进而5,d 即有5,n 故而可知3

5.

d 同理，我们可知7,n 进而27.d 于是我们有3257,d ⨯故而可知d 的最小值为32576125.

⨯=………………………………………………………………………………………………（20分）

二、（本题满分25分）在等腰梯形ABCD 中，a BC AB DA ===，a CD 2=，E 为CD 中点，联结AC ，过E 作AD EF ⊥于F ，G 为AB 上靠近B 侧三等分点，CD 上有H 使得3:2:=∆∆ABC BHE S S .

（1）求证：DG BH EF AC ,,,相交形成一个平行四边形；

（2）求（1）中所围成图形面积与原梯形面积比.

【解析】

（1）由题易知︒=∠=∠60BCD ADC ，BEC ∆为正三角形.

a AD BE DE AB ==== ABED ∴为平行四边形

………………………………………………………………………………………………（5分）BE

AC AD EF ⊥⊥∴,AC

EF //∴………………………………………………………………………………………………（10分）3

:2:=∆∆ABC BHE S S 2:1:=∴HE DH BH

DG //∴PQRS ∴为平行四边形

………………………………………………………………………………………………（15分）

（2） 在BEQ ∆中，M 是BE 中点，且EQ

RM //∴R 是BQ 中点，同理P 是SD 中点

∴PD

SP RQ BR === 2:1:=HE DH ∴PD HQ 3

2=………………………………………………………………………………………………（20分）∴ABCD ABED BGDH SPQR S S S S 1133=⋅==………………………………………………………………………………………………（25分）

三、（本题满分25分）设a b c 、、为两两不同的实数，证明

()()()2223337.a b b c c a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---++>⎢⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦【解析】：作代换，令,,a b c x y z a b b c c a

===---①

则由①中三式自身特性可知，()()()111.

b c a x y z a b b c c a a b c a b b c c a

xyz ---=---=---= 化简得 1.

x y z xy yz zx ++=+++②………………………………………………………………………………………………（10分）

记()()()222

333,a b b c c a A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---=++⎢⎢⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦

将①代入代数式A 的右边可知

2222221112223,4A x y z x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎝

⎭⎝⎭⎝⎭=++++++………………………………………………………………………………………………（15分）将②式代入上式可知

()()()2221117.2224

A x y y z z x =++++++………………………………………………………………………………………………（20分）特别地，令2,,.x m y m z m ==-=-则

2222117222473.4

A m m m m =+++=+当m 无限的趋近于0时，可知7.4

A >………………………………………………………………………………………………（25分）