仪征市高二数学(文科)期末模拟卷

2
高二模拟卷
1．已知6
x π
=-
是方程3)(3=
+αx tg 的一个解，(,0)απ∈-，则α= 23
π
-
2.已知θ是第三象限角，且95cos sin 4
4
=
+θθ，那么θ2sin = 3
22 ； 3.函数2441
()431
x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ 3 ）
4．已知2()lg(87)f x x x =-+-在(, 1)m m +上是增函数， 则m 的取值范围是 [1,3]
5．函数y ＝
x ＋5
x －a
在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是(－5，－1] ______________________．
6．函数f (x )＝mx 2
＋(m －3)x ＋1的图象与x 的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围是__(－∞，1]___________________．
7. 若点P 是曲线y=x 2
－ln x 上任意一点，则点P 到直线y=x －2的最小距离为
2 .
8．已知复数ω满足012
=++ωω，求值：=2005
ω
i 2
321±-
9．已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，
记
∑=+++=n
i n f f f i f 1
),()2()1()( 则
∑=27
1
)(i i f 的值为 22
2+
10.若方程cos 2
x-sinx+a=0在0＜x ≤2
π
内有解，则a 的取值范围是 -1<a<=1 11．若函数2()min{2,log }f x x x =-+，其中min{,}p q 表示,p q 两者中的较小者，则不
等式()1f x <-的解集为 1
{0,3}2
x x x <<
>或 12.对于函数|2sin |)(x x f =有下列命题 ①函数)(x f 的最小正周期是
2π
； ②函数)(x f 是偶函数；
③函数)(x f 的图象关于直线4π
=
x 对称； ④函数)(x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡432ππ，上为减函数； 其中正确的命题的序号是①②③
13．关于x 的不等式2
(2)cot m m x m --<的解集为空集，则m 的值为1-或2
14．下列几个命题
①方程2
(3)0x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则0a <。

②函数2211y x x =--
③函数()f x 的值域是[2,2]-，则函数(1)f x +的值域为[3,1]-。

④ 设函数()y f x =定义域为R 且满足(1)(1)f x f x -=-，则函数()y f x =的图象关于y 轴对称。

⑤曲线2
|3|y x =-和直线 ()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1。

其中正确的有___①④⑤ ________________。

15已知0,14
13
)cos(,71cos 且=β-α=
α<β<α<2π,
(1)求α2tan 的值. （2）求β.
15解：（1）由1cos ,072παα=<<
，得sin α=
∴sin 7tan cos 1ααα===4
分于是
22tan tan 21tan 1ααα==--（2）由02
π
αβ<<<
，得02
π
αβ<-<
又∵()13
cos 14
αβ-=
，∴
()
sin αβ-===
由
βααβ=--得：
()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+
-1131
7142
=
⨯=……11分所以3
π
β=
16ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2
B C
A ++取得最大值，并求出这个最大值。

16．解：
2cos 2cos
cos 2cos cos 2sin 12sin 2sin 22222B C A A A A
A A A π+-+=+=+=-+
记
sin
2A
t =（0A π<<）则原问题等价于求
()2
221f t t t =-++在(0，1]上的最大值 ()2
2
1121222f t t ⎛⎫⎛⎫=--++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当14t =时，即3A π=
时，()f t 取得最大值32。

17设不等式x 2
－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围
17解 M ⊆［1，4］有两种情况 其一是M =∅，此时Δ＜0；其二是M ≠∅，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围
设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2
－a －2) (1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =∅⊂［1，4］ (2)当Δ=0时，a =－1或2 当a =－1时M ={－1}⊄［1，4］；当a =2时，m ={2}⊂［1，4］ (3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2
设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，
那么M =［x 1，x 2］，M ⊆［1，4］⇔1≤x 1＜x 2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0
,410
)4(,0)1(且且a f f
即⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>-<>>->+-2
10
71803a a a a a 或，解得 2＜a ＜718，
∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，
7
18
)
18．已知复数z 满足2||=z ，2z 的虚部为 2 ，
（I ）求z ；
（II ）设z ，2
z ，2
z z -在复平面对应的点分别为A ，B ，C ，求ABC ∆的面积. 18、解：（I ）设(,)Z x yi x y R =+∈
由题意得2
2
2
2
()2Z x y x y xyi =-=-
+21
(2)xy =∴=⎪⎩故()20,x y x y
-=∴=将其代入（2）得2
221x x =∴=±
故11x y =⎧⎨=⎩或1
1
x y =-⎧⎨=-⎩故1Z i =+或1Z i =-- （
II
）
当
1Z i
=+时
，
222,1Z i Z Z i
=-=-所以
(1,1),(0,2),(1,1)A B C -1
2,1212
ABC AC S ∆∴==⨯⨯=
当1Z i =--时，
222,13Z i Z Z i =-=--，
(1,1),(0,2),(1,3)A B C ---1
121
2ABC S ∆=⨯⨯=
19)某工厂拟建一座底面为矩形、面积为200平方米且深为1米的无盖长方体的三级污水池（如图所示）如果池外圈四壁建造单价为每平方米400元，中间两条隔墙建造单价为每平方米248元，池底建造单价为每平方米80元。

（1）试设计污水池底面的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价；
（2）由于受地形限制，地面的长、宽都不超过16米，试设计污水池底面的长和宽，使总 造价最低，并求出最低造价。

19. 解（1）设底面长为x 米，则宽为
200
x
米，总造价为y 元。

则
200200400212481280200y x x x ⎛
⎫=⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯ ⎪
⎝
⎭ =80032416000x x ⎛
⎫++ ⎪
⎝⎭
3241600016001816000x x ≥+=⨯+ =44800
当且仅当
()328
0x x
>，即18x =时取等号. (2)由已知条件016
200
016x x <≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩
所得112162x ≤≤,而11812,162⎡⎤
∉⎢⎥⎣⎦,于是y 的最小值不能是44800.为求y 在112,162⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值,需研究函数()32480016000
y f x x x ⎛⎫
==++ ⎪⎝
⎭
的单调性.对任意的121
12,162
x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
、,设12x x <.
()()()12121211800324f x f x x x x x ⎡⎤⎛⎫-=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦=800()121232410x x x x ⎛⎫
-⨯-> ⎪⎝⎭
()()()12,f x f x f x ∴>∴在112,162⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上是减函数.
于是()()32416800161600016f x f ⎛⎫
≥=++ ⎪⎝⎭
=29000+16000=45000,即()f x 的最小值为
45000,此时200
16,12.5x x
==.综合以上,当底面长为16米,宽为12.5米时,总造价最低为45000元.
20设a >0，函数a x a x x f ++-=1)(2.
（I ）若)(x f 在区间]1,0(上是增函数，求a 的取值范围； （II ）求)(x f 在区间]1,0(上的最大值. 20 解答：（I ）对函数.1
1)(,)(2
+-
='x ax
x f x f 得求导数 ……………………… 2分
要使(]1,0)(在区间x f 上是增函数，只要(]1,001
1)(2
在≥+-='x ax x f 上恒成立，
即(]1,01
1122在x x x a +=+≤上恒成立 ……………………………………4分
因为(]1,0112在x +上单调递减，所以(]1,01
12在x
+上的最小值是2，
注意到a > 0，所以a 的取值范围是(]
.2,0 ……………………………………6分
（II ）①当20≤
<a 时，由（I ）知，(]1,0)(在区间
x f 上是增函数， 此时(]1,0)(在区间
x f 上的最大值是.)21(1)1(a f -+= ……………………8分 ②当01
1)(,22
=+-='>x ax x f a 令时，
解得).1,0(1
1
2
∈-=
a x ……………………………………………………10分
因为0)(,11
1
;0)(,11022<'<<->'-<<x f x a x f a x 时时，
所以)1,11
(,)11,0()(22--a a x f 在上单调递增在上单调递减， 此时(]1,0)(在区间
x f 上的最大值是.1)1
1(22--=-a a a f ………… 13分 综上，当20≤<a 时，(]1,0)(在区间
x f 上的最大值是a )21(1-+； 当2>
a 时，(]1,0)(在区间
x f 上的最大值是.12--a a ……………14分。