1965年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案

1965年普通高等学校招生全国统一考试
数学
1．如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积 解：二视图表示的是一个正六棱锥，其棱长为a 2 底面边长为a ，故底面积232
3
a S = 棱锥的高,3a h = 故正六棱锥的体积
.2
33233313132a a a Sh V =⋅⋅==
2．在A 处的甲船测得乙船
在北偏西
8449'︒的B
处，以速度22里/小时向正北方向行驶，甲船立即从A 处
出发，以速度26里/小时向北偏西α度的方向沿直线驶去追赶乙船，问α是多大角度时，经过一段时间甲船能够在某C 处恰好与乙船相遇？（lg2.2=0.3424,lg2.6=0.4150) 解：设经过x 小时后，甲船在C 处追上以
船，则BC=22x （里） AC=26x （里） 由正弦定理
a 2
C 北 ' 西 A
.33
9
51
40
84
49
,51
40
84
49
,
8104
.1
26
lg
84
49
sin
lg
22
lg
)
84
49
sin(
lg
,
26
84
49
sin
22
)
84
49
sin(
)84
49
180
sin(
26
)
84
49
sin(
22
,
sin
sin
'
︒
='
︒
-'
︒
=
∴
'
︒
=
-'
︒
=
-
'
︒
+
=
-'
︒
'
︒
⋅
=
-'
︒
∴
'
︒
-
︒
=
-'
︒
∠
=
∠
α
α
α
α
α
取对数得
即
x
x
ABC
AC
CAB
BC
3．把地球看作半径为R
的球，设A、B两地纬度相同，都是α度，它们的经度相差β度
)
180
0(︒
≤
<β，求A、B两地之间的球面距离
解：A、B两地之间的球面距离为过A、B所作之大圆的圆弧AB的长，设其长为L，且设θ
=
∠AOB
过A、B作平面O1AB⊥NS（极轴），此平面与球面交成圆O1设其半径为r，由已知，∠AO1B=β
设C、D分别为赤道平面上与点A、B同经度之两点，则由已知，∠AOC=
∠BOD=α在过A、B的大圆上有
180
θ
πR
L=
由此可知，只需求出θ即可
在圆O1中，线段AB=,
2
sin
2
β
r
又在过A、C的大圆中，因
∠OO1A=900，∠OAO1=α，所以
α
cos
R
r=
代入上式，可得线段AB=.
2
sin
cos
2
β
α
R
在△AOB中，线段AB=,
2
sin
2
θ
R
于是可得
2
sin
2
θ
R=,
2
sin
cos
2
β
α
R
所以
2
sin
arcsin(cos
2
β
α
θ=
N
S
由此可得A 、B 两地之间的球面距离为
).2
sin arcsin(cos 1802β
απR L =
此处之角度以度为单位 4．（1）证明.|sin |2|2sin |x x ≤（x 为任意值） （2）已知n 为任意正整数，用数学归纳法证明
.|sin ||sin |x n nx ≤（x 为任意值）
证：（1）.|cos ||sin |2|cos sin 2||2sin |x x x x x ⋅=⋅=
|sin |2|2sin |,1|cos |x x x ≤∴≤
（2）当n=1时，结论显然成立假设当n=k 时结论成立，即
.|sin ||sin |x k kx ≤
当n=k+1时，
.
|sin |)1(|sin ||sin ||sin ||cos ||cos ||sin ||sin cos ||cos sin ||sin cos cos sin ||)1sin(|x k x x k x kx x kx x kx x kx x kx x kx x k +=+≤⋅+⋅=⋅+⋅≤⋅+⋅=+
故当n 为任意正整数时，结论均成立
5．已知一点P 的坐标是（4，-2），直线L 的方程是y-x+5=0，曲
线C 的方程是14
)1(2)1(2
2=-++y x ，求经过P 点而与L 垂直的直线和曲线C 的交点的坐标，并画出此题的略图
解：曲线C 是椭圆，中心在（-1，1），其长轴平行于y 轴，短轴平行于x 轴（如图）
设直线L 1过点P （4，-2）且垂直于直线L
与曲线C 相交于点A 、BL 1的方程为 y+2=-(x-4)即y=-x+2. 欲求L 1与曲线C 的交点，解方
程组 ⎩⎨
⎧=-=⎪⎩
⎪⎨
⎧
==⎪⎩⎪⎨⎧+-==-++.
3,1;35,31)
2(2)1(14)1(2)1(221122y x y x x y y x 得 故直线L 1与曲线C 的交点为).3,1(),3
5,31(-B A
6．当P 是什么实数时，方程032=-+px x 与方程x x 42-
0)1(=--p 有一公共根？
解：设α是它们的公共根，则
⎩⎨⎧=---=-+)
2(0)1(4)
1(032
2 p a p a αα 由（1），（2）消去2α，得
,
03)4
4()44(),1()3()
3(4
4,
0)4()4(2=-+-⋅++-+-==--+p p
p p p p p
P p 得代入将 αα 整理后，得到,03216223=+++p p p
.
2,
016,0)16)(2(22-=∴≠+=++p p p p
代入（3），得
.34
2)
2(4=+---=
α Y
X
故当p=-2时，方程032=-+px x 与方程x x 42-0)1(=--p 有一公共根3
7．已知抛物线,22x y =
（1）在抛物线上任取二点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2 ,y 2），经过线段P 1P 2的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P 3， 证明△P 1P 2P 3的面积为
321||16
1
y y - （2）经过线段P 1P 3、P 2P 3的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q 1、Q 2，试将△P 1P 3Q 1与
△P 2P 3Q 2的面积和用y 1,y 2表示出来
（3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出线段P 1P 2与抛物线所围成的图形的面积 解：（1）∵P 1的坐标为（x 1，y 1），P 2的坐标为（x 2 ,y 2）， ∴P 1P 2的中点为)2
,2(
2
1211y y x x M ++ 点P 3的横坐标,8
)(22
212y y y x +==纵坐标221y y y +=
△P 1P 2P 3的面积=1
2
8)(11
2
1
2
12
2122
11
y y y y y x y x ++的绝对值 Y P 1 Q 1 M 2 P 3 M 1 X
|)()(24|||161|)(8)(222|21|)(8
)(2|21
221221212122121212
12222
12212212121121221y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x y x y x +++-⋅-=+-++-+-=+-++-+-=
|)(|||161
22121y y y y --⋅-=
.||161321y y -= （2）∵P 1的坐标为（x 1，y 1），
P 3的坐标为)2
,8)((
2
1221y y y y ++， ∴P 1P 3的中点为)43,1625(2
12
221212y y y y y y M +++，
点Q 1的横坐标,32)3(22
212y y y x +==
纵坐标.4321y y y += 同理，点Q 2的横坐标,32
)3(2
21y y x +=
纵坐标.4321y y y += △P 1P 3Q 1的面积+△P 2P 3Q 2的面积
=1
2
8
)(14332)3(1212
12
212
12211
1
y y y y y y y y y x ++++的绝对值+
1
14332
)3(1
28
)(212
2
2
12
212
12
21y x y y y y y y y y ++++的绝对值
.||641|)(|||1281|)(|||1281|])(4)3[(4)]3()(2[8)3)(()]3()(2[|161|])(4)3[(4
)]3()(2[8)3)(()]3()(2[|16132121221221122212212
2121212121212
222122122121212121212
2y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y -=-⋅-+-⋅-=+-+++-+++++-+++-+++-+++++-+=
（3）线段P 1P 2与抛物线所围成的图形的面积 S=S △P1P2P3+（S △P1Q2P3+S △P3Q2P2）+…
.
||121
411||161||2561||641||1613213
21321321321y y y y y y y y y y -=--=+-+-+-=
8．附加题
（1）已知c b a ,,为实数，证明c b a ,,均为正整数的充要条件是
⎪⎩
⎪
⎨⎧>>++>++000abc ca bc ab c b a （2）已知方程023=+++r qx px x 的三根γβα,,都是实数，证明γβα,,是一个三角形的三边的充要条件是
⎩⎨⎧-><><.
840
,0,03
r pq p r q p 证明：（1）条件的必要性是显然的，因为已知,0,0,0>>>c b a 所以立即可得0>++c b a ，0>++ca bc ab ，.0>abc 下面证明条件的充分性：
设c b a ,,是三次方程023=+++r qx px x 的三个根，则由根与系数的关系及已知条件有
,
0,0,0>=->++=>++=-abc r ca bc ab q c b a p 此即.0,0,0<><r q p 由此即可知三次方程023=+++r qx px x 的系数正负相间，所以此方程无负根，即方程根均非负;又由0>abc 可知，方程无零根，故.0,0,0>>>c b a
（2）由（1）的证明可知，
γβα,,均为正数的充要条件是.0,0,0<><r q p 于是问题转化为证明γβα,,为三角形三条边的充要条件为r pq p 843-> 条件的必要性：
若γβα,,为三角形的三边，则由三角形的性质必有
.,,βαγαγβγβα>+>+>+
于是.0,0,0>-+>-+>-+βαγαγβγβα 由此可得))()((βαγαγβγβα-+-+-+
84)842(]8)(4)(2[)
2)(2)(2()
2)(2)(2(33323>+-=-+--=αβγ+αβ+γα+βγ+γ+β+α+-=γ+β+α+-=γ--β--α--=r pq p r pq p p p p p p p p p p p 即r pq p 843->.
条件的充分性：若r pq p 843->， 则,0843>+-r pq p
.
0))()((,0])()[(,
0)()()(,
0))(()()(,08])(2)()][([,08)222)((,08))((4)(22222223222223>+--+++->--++->---+++->-+--+++->--++--++>----++++>-+++++++-γβαγβαγβαγβαγβαγβαγβγβααγβγβγβαγβαααβγαγβαγβγβααβγγβαγαβγαβγβααβγγαβγαβγβαγβα
此式中至少有一因式大于0，今设,0>++-γβα则必有
.0))((>+--+γβαγβα
如果,0,0<+-<-+γβαγβα两式相加得02<a ，即0<α，此与0>α相矛盾
故有,0>++-γβα,0,0>+->-+γβαγβα此即
⎪⎩
⎪
⎨⎧>+>+>+,,,βγαγβααγβ 此即γβα,,可作为一个三角形的三条边
综上所证可知，方程023=+++r qx px x 的三根γβα,,为一个三角形的三条边的充要条件是
⎩⎨⎧-><><.
840
,0,03
r pq p r q p。