衡阳县三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

衡阳县三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列命题的说法错误的是（ ）
A ．若复合命题p ∧q 为假命题，则p ，q 都是假命题
B ．“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0 则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x+1≤0
D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0” 2． 设方程|x 2+3x ﹣3|=a 的解的个数为m ，则m 不可能等于（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3． 已知2,0
()2, 0
ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）
A ．716-
B ．916-
C ．12-
D ．14
-
4． 执行如图所示的程序框图，则输出的S 等于（ ）
A ．19
B ．42
C ．47
D ．89
5． 已知空间四边形ABCD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且4AC =，6BD =，则（ ） A ．15MN << B ．210MN << C ．15MN ≤≤ D ．25MN <<
6． 如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在
面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）表示的圆（ ）
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于直线y=x 轴对称
D ．关于直线y=﹣x 轴对称
8． 已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）
A ．{2,1,0}--
B ．{1,0,1,2}-
C ．{2,1,0}--
D ．{1,,0,1}-
【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
9． 已知函数f （x ）=，则
=（ ）
A ．
B ．
C ．9
D ．﹣9
10．已知三棱锥A ﹣BCO ，OA 、OB 、OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）
A ．
B ．或36+
C ．36﹣
D ．或36﹣
11．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A ． =﹣0.2x+3.3
B ． =0.4x+1.5
C ． =2x ﹣3.2
D ． =﹣2x+8.6
12．设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n
D ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n
二、填空题
13．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________． 14．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数()2
1ln 2
f x x x =
-的单调递减区间为__________.
15．向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x ，y ），且∥，则x ﹣y= ．
16．函数
的单调递增区间是 ．
17．函数f （x ）=x 2e x 在区间（a ，a+1）上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ．
18．在复平面内，记复数+i 对应的向量为，若向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应
的复数为 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=的定义域为A ，集合B 是不等式x 2﹣（2a+1）x+a 2
+a ＞0的解集．
（Ⅰ） 求A ，B ；
（Ⅱ） 若A ∪B=B ，求实数a 的取值范围．
20．解不等式|2x ﹣1|＜|x|+1．
21．设a ＞0，
是R 上的偶函数．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）证明：f （x ）在（0，+∞）上是增函数．
22．已知矩阵A ＝，向量＝
.求向量
，使得A 2＝.
23．（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，3339,22
a S =
=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设221
6log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若1
1
n n n c b b +=
，求证：12314
n c c c c ++++<
．
24．已知椭圆C ：
+
=1
（a ＞b
＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为
，以原点为圆心，
椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+
相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．
衡阳县三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：A ．复合命题p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个命题为假命题，因此不正确； B ．由x 2﹣3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确； C ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0 则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x+1≤0，正确；
D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0”，正确．
故选：A ．
2． 【答案】A
【解析】解：方程|x 2+3x ﹣3|=a 的解的个数可化为函数y=|x 2
+3x ﹣3|与y=a 的图象的交点的个数，
作函数y=|x 2
+3x ﹣3|与y=a 的图象如下，
，
结合图象可知， m 的可能值有2，3，4； 故选A ．
3． 【答案】C
【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题．
当0a >（如图1）、0a =（如图2）时，不等式不可能恒成立；当0a <时，如图3，直线2(2)y x =--与
函数2y ax x =+图象相切时，916
a =-，切点横坐标为83，函数2y ax x =+图象经过点(2,0)时，1
2a =-，
观察图象可得1
2
a ≤-
，选C ． 4． 【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得 k=1 S=1
满足条件k ＜5，S=3，k=2 满足条件k ＜5，S=8，k=3 满足条件k ＜5，S=19，k=4 满足条件k ＜5，S=42，k=5
不满足条件k ＜5，退出循环，输出S 的值为42． 故选：B ．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S ，k 的值是解题的关键，属于基础题．
5． 【答案】A 【解析】
试题分析：取BC 的中点E ，连接,ME NE ，2,3ME NE ==，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以15MN <<，故选A ．
考点：点、线、面之间的距离的计算．1
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用，其中解答中涉及三角形的边与边之间的关系、三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解答的关键，属于基础题． 6． 【答案】 D
【解析】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，
则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，
如图当E 与C 重合时，AK=
=，
取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．
故∠K0A=
，∴∠K0D'=
，
其所对的弧长为=
，
故选：D ．
7． 【答案】A
【解析】解：方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）可化为（x+a ）2+y 2=a 2
，圆心为（﹣a ，0），
∴方程x 2+2ax+y 2
=0（a ≠0）表示的圆关于x 轴对称，
故选：A ．
【点评】此题考查了圆的一般方程，方程化为标准方程是解本题的关键．
8． 【答案】C
【解析】当{2,1,0,1,2,3}x ∈--时，||3{3,2,1,0}y x =-∈---，所以A B ={2,1,0}--，故选C ．
9． 【答案】A
【解析】解：由题意可得f （）=
=﹣2，f[（f （
）]=f （﹣2）=3﹣2
=，
故选A ．
10．【答案】D
【解析】
【分析】由于长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），有空间想象能力可知MN 的中点P 的轨迹为以O 为球心，以1为半径的球体，故MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可． 【解答】解：因为长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），
有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：或
．
故选D
11．【答案】A
【解析】解：变量x与y负相关，排除选项B，C；
回归直线方程经过样本中心，
把=3，=2.7，代入A成立，代入D不成立．
故选：A．
12．【答案】D
【解析】解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；
B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；
C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；
D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．
故选D．
【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．
二、填空题
13．【答案】
【解析】解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，
即（－x）（e－x＋a e x）＝x（e x＋a e－x），
∴a（e x＋e－x）＝－（e x＋e－x），∴a＝－1.
答案：－1
0,1
14．【答案】()
【解析】
15．【答案】﹣12．
【解析】解：∵向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x，y），且∥，
∴==，
解得x=﹣6，y=6，
x﹣y=﹣6﹣6=﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．16．【答案】[2，3）．
【解析】解：令t=﹣3+4x﹣x2＞0，求得1＜x＜3，则y=，
本题即求函数t在（1，3）上的减区间．
利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为[2，3），
故答案为：[2，3）．
17．【答案】（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．
【解析】解：函数f（x）=x2e x的导数为y′=2xe x+x2e x =xe x（x+2），
令y′=0，则x=0或﹣2，
﹣2＜x＜0上单调递减，（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，
∴0或﹣2是函数的极值点，
∵函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，
∴a＜﹣2＜a+1或a＜0＜a+1，
∴﹣3＜a＜﹣2或﹣1＜a＜0．
故答案为：（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．
18．【答案】2i．
【解析】解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为
（+i）（cos60°+isin60°）=（+i）（）=2i
，故答案为2i．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°得到向量对应的复数为（+i）
（cos60°+isin60°），是解题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵，化为（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，∴函数f（x）=的
定义域A=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）；
由不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0化为（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，又a+1＞a，∴x＞a+1或x＜a，
∴不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集B=（﹣∞，a）∪（a+1，+∞）；
（Ⅱ）∵A∪B=B，∴A⊆B．
∴，解得﹣1≤a≤1．
∴实数a的取值范围[﹣1，1]．
20．【答案】
【解析】解：根据题意，对x分3种情况讨论：
①当x＜0时，原不等式可化为﹣2x+1＜﹣x+1，
解得x＞0，又x＜0，则x不存在，
此时，不等式的解集为∅．
②当时，原不等式可化为﹣2x+1＜x+1，
解得x ＞0，又
，
此时其解集为{x|}．
③当时，原不等式可化为2x ﹣1＜x+1，解得，
又由
，
此时其解集为{x|}，
∅∪{x|
}∪{x|
}={x|0＜x ＜2}；
综上，原不等式的解集为{x|0＜x ＜2}．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，涉及分类讨论的数学思想，关键是用分段讨论法去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵a ＞0，是R 上的偶函数．
∴f （﹣x ）=f （x ），即+
=
，
∴+a •2x =+
，
2x （a ﹣
）﹣
（a ﹣）=0，
∴（a ﹣）（2x
+
）=0，∵2x
+
＞0，a ＞0，
∴a ﹣=0，解得a=1，或a=﹣1（舍去）， ∴a=1；
（2）证明：由（1）可知，
∴
∵x ＞0，
∴22x ＞1， ∴f'（x ）＞0，
∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增；
【点评】本题主要考查函数单调性的判断问题．函数的单调性判断一般有两种方法，即定义法和求导判断导数正负．
22．【答案】＝
【解析】A 2＝.
设
＝
.由A 2＝，得
，从而
解得x ＝-1，y ＝2，所以＝
23．【答案】（1）1
31622n n n a a -⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
或；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得1
31622n n n a a -⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
或；（2）
由于{}n b 为递增数列，所以取1
162n n a -⎛⎫
=⋅- ⎪
⎝⎭
，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪++⎝⎭
，
其前项和为()111
4414
n -<+.
考点：数列与裂项求和法．1
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
椭圆的离心率为，即有=，即a=c，b==c，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x2+y2=b2，
直线y=x+与圆相切，则有=1=b，
即有a=，
则椭圆C的方程为+y2=1；
（Ⅱ）证明：设Q（x1，y1），R（x2，y2），F1（﹣1，0），
由∠RF1F2=∠PF1Q，可得直线QF1和RF1关于x轴对称，
即有+=0，即+=0，
即有x1y2+y2+x2y1+y1=0，①
设直线PQ：y=kx+t，代入椭圆方程，可得
（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2=0，
判别式△=16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，
即为t2﹣2k2＜1②
x1+x2=，x1x2=，③
y1=kx1+t，y2=kx2+t，
代入①可得，（k+t）（x1+x2）+2t+2kx1x2=0，
将③代入，化简可得t=2k，
则直线l的方程为y=kx+2k，即y=k（x+2）．
即有直线l恒过定点（﹣2，0）．
将t=2k代入②，可得2k2＜1，
解得﹣＜k＜0或0＜k＜．
则直线l的斜率k的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．。