分式方程的解法及应用(提高)知识讲解

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分 式
知识点 :
分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零指数，负整数，整数，
整数指数幂的运算 大纲要求 :
了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。

掌握分式的基本性质，会约分，通分。

会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。

掌握指数指数幂的运算。

考查重点与常见题型 :
1． 考查整数指数幂的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中，
如：下列运算正确的是（ ）
-1
1
m-n 2m-n
-1-1-1
（A ）-4 =1 (B) (-2) = 2 (C) (-3 ) =9 (D)(a+b) =a +b
2. 考查分式的化简求值。

在中考题中， 经常出现分式的计算就或化简求值， 有关
习题多为中档的解答题。

注意解答有关习题时， 要按照试题的要求， 先化简后求值，化简要认真仔细，如： 化简并求值：
x
x 3-y 3
2x+2
(x-y) 2
.
x 2+xy+y 2
+(
x-y –2), 其中 x=2, y=1
知识要点
1．分式的有关概念
设 A 、B 表示两个整式．如果 B 中含有字母，式子 A
就叫做分式．
B
注意：分母 B 的值不能为零，否则分式没有意义
分子与分母没有公因式的分式叫做 最简分式 ．如果分子分母有公因式， 要进行约分化简
2、分式的基本性质
A A M , A A M
（M 为不等于零的整
式） B B M B B M
3．分式的运算
( 分式的运算法则与分数的运算法则类似
) ．
分式加减
a c ad bc
( 异分母相加，先通分 ) ；
b
d
bd
a c
ac
;
分式乘除
b d bd
a c a d
ad
b d b
c
;
bc
分式乘方
( a
) n a n .
b b n
4．零指数 a 0
1(a
0)
5．负整数指数 a p 1
( a
0, p为正整
数 ).
a p
a m a n a m n ,
注意：正整数幂的运算性质0),
a a a( a
m n m n
( a m ) n a mn ,
( ab) n a n b n
可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n 可以是 O或负整数．6．约分
根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分．
7．通分
根据分式的基本性质， ?把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分．
例 1填空题：
（ 1）若分式
x24
的值为零，则x 的值为 ________；2
x x 2
（ 2）若 a， b 都是正数，且 1 －1=2,则
a2ab，则 =______．
a b a b b2
【解答】（ 1）由 x2=4，得 x= ±2，把 x=2 代入分母，得x2－ x－ 2=4 － 2－ 2=0 ，把 x= －2?代入分母，得x2－x－ 2=4+2－ 2=4 ≠ 0，故答案为－ 2．
（ 2）由整体代换法：把11
=
2
化为
b a222
－
b ab a b
， b － a =2ab，a a b
即 a2－ b2=－ 2ab，代入
ab
中得
ab ab
1
，故答案为
1
．
a2b2a
2
b2
=
2ab22
例 2 选择题：
（ 1）已知两个分式： A=
4, B11，其中 x≠± 2，
4x22
x2x
那么 A 与 B 的关系是（）
A ．相等
B ．互为倒数C．互为相反数D．A 大于 B
（ 2）已知a
b c ,则 2a3b
c
的值为（）
2343a b c
55
C．
9
D．－
9
A ．－B．
77 77
【解答】（ 1） B=
11x2(x2)4
，x 2x2x24x24
∴ A+B=0 ， A ，B 互为相反数，选C．
（ 2）设
a b c
2
3
=k ，则 a=2k ， b=3k ， c=4k ，
4
代入 2a 3b
c
中,可得
2a
3b c
9k
9
，选C ． 3a b c
3a b c
7k 7
a 1
a 2
4 1
2
例 3 先化简再求值：
2 a 2
2a
1 a
2 1 ，其中 a 满足 a － a=0．
a
【解答】原式 =
a
1 (a 2)(a 2) (a 1)(a 1) =（ a － 2）（ a+1） =a 2－ a －2
a 2 ( a 1)2
1
由 a 2－ a=0 得原式 =－ 2
（2011 四川南充市， 15， 6 分）先化简，再求值：
2 x (
x 1
－ 2), 其中 x =2. x 1 x
【答案】解：方法一：
x 2 x ( x
1 2) =
1 x
x 2
= 1
1 ( x
2 x 1) = x 1
1) (x 2x
x 1)(x (x 1)(x 1)(x =
(1 x) =
1
1)(x x 1
( x 1)
x x 1 x 1 x x 2
1
=
x 1 2x
1) ( x 1)(x 1)
x
2 =
(x 1)(x 1)
= x 1 2x (x 1)(x 1)
x 1 2x
x (x 1)(x 1) 1 x
( x 1)(x 1)
当 x =2 时，
1 = 1 =-1
x 1 2 1
方法二：
x 2
x
(
x
1 2) = x
2 x ( x 1 2x ) =
x 2x x
1 2x = x
1 x
1 x 1 x x 1
x
( x 1)(x 1)
x
=
x (1 x) = 1
( x 1)(x 1) x 1 x 当 x =2 时，
1 = 1 =-1.
x 1
2 1
例题讲解 :
1. 下列运算正确的是（ ）
（A ）－ 40 =1 (B) (
－ 2) -1= 1 (C) (
－ 3m-n ) 2=9m-n (D)(a+b)
-1
=a -1 +b -1
2
2．当 x=
|x|-1
的值为零；
-----------
时， 分式 (x-3)(x+1)
3．当 x 取 ---------------
x 2-1
值时，分式 x 2+2x-3 有意义；
4 A B
4．已知 x 2－ 1 ＝ x － 1 ＋
x ＋ 1 是恒等式，则 A ＝＿＿＿， B ＝＿＿＿。

x+2 x-1 x-4 5．化简 ( x 2 -2x –
x 2-4x+4 ) ÷ x
x-3x2-2x-311
6．先化简后再求值：x2-1÷
x2+2x+1
+
x+1
,其中x=
2 -1
7．已知
ａ
＝ 2，求
ａ3－ 4ａ2ｂ－ 5ａｂ2
的值ａ－ｂａ3－ 6ａ2ｂ＋ 5ａｂ2
考点训练：
-3
1，分式x-2当 x=-----------时有意义，当 x=-----------时值为正。

1
2，分式中的取值范围是（）
1
1- 1-x2
（ A） x≠ 1（ B） x≠ -1（ C） x≠0（ D） x≠ ± 1 且 x≠ 0
3，当 x= -------------------
|x|-3
的值为零 .时，分式
x2+4x+12
4，化简
12a2+7a+10a3+1a+1
（1） 1－x+1+1-x 2(2)a2-a+1?a2+4a+4÷
a+2
12-a-a 2
(3)[a+(a- 1-a )? a2-a+1 ] ÷(a-2)(a+1)
(4)已知 b(b － 1) － a(2b － a)= － b+6，求a
2
+b
2– ab 的值 2
444
＊(5).[(1+x-2 )(x
－ 4+x ) – 3] ÷ (x–1) 12x2
＊(6).已知 x+x = 5 ，求x4-x 2+1
的值
＊（ 7）若ａ＋ｂ＝1，求证：
ａｂ2（ｂ－ａ）ｂ3－1
－
ａ3－ 1＝ａ2ｂ2＋ 3
提高训练
1．化简6-5x+x 2
÷
x-3
·
x2+5x+4 x2-164-x4-x 2
a 2+6 a+1
a 3+8
＊2．当 a=
3 时，求分式 ( a 2-1 － a-1 +1) ÷ a 4+3a 3+2a 2 的值
a
+1
a+1
＊ 3．化简3a 2
1+a 2-1
1 1
1 a b
4. 已知 a + b = a+b 值 , 求 b + a 的值
2
3
1
1 5．已知 m － 5m+1=o 求 (1) m
+m 3(2)m
－m 的值
4 4
＊6. 当 x=1998,y=1999 时，
求分式 x -y
的值
x 3+x 2y+xy 2+y 3
7．已知 a+2b = 3b-c = 2c-a
, 求 c-2b
的值
5 3 7 3a+2b
ｘ1ｘ2
＊（ 8）ｘ2＋ｘ＋1＝4求ｘ4＋ｘ 2＋1的值。

分式方程的解法及应用（提高）
【学习目标】
1.了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2.会列出分式方程解简单的应用问题．
【要点梳理】
【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】
要点一、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：（ 1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有
未知数 .
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系
数） . 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数
的方程是整式方程 .
（ 3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
要点二、分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程. 转化方法是方程两边都乘以最简
公分母，去掉分母. 在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根
叫做原方程的增根. 因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项
式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（ 3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式
方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
要点三、解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式
子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，
所以这个根是原分式方程的增根 .
要点诠释：（ 1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的 . 根据方程的同解原理，
方程的两边都乘以（或除以）同一个不为 0 的数，所得方程是原方程的同解方程 . 如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方
程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.
（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方
程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中
没有错误的前提下进行的 .
要点四、分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案 .
【典型例题】
类型一、判别分式方程
【高清课堂分式方程的解法及应用例1】
1、下列各式中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？为什么？
（1） 2x 1 7 5x（ 2）35
399 7y2y
（ 3）3 y1
（4）3
15 2 y
422 2x x x 1
【答案与解析】
解：（ 1）虽然方程里含有分母，但是分母里没有未知数，所以不是分式方程；
（2）具备分式方程的三个特征，是分式方程；
（3）3 y 1
4没有等号，所以不是方程，它是一个代数式；
2 y2
（ 4）方程具备分式方程的三个特征，是分式方程．
特别提醒：（ 3）题是一个代数式，不是方程，容易判断错误；
【总结升华】整式方程与分式方程的区别在于分母里有没有未知数，有未知数的就是分式方程，没有未知数的就是整式方程．
类型二、解复杂分式方程的技巧
2、解方程：1310
341．
x4x x 5 x1【答案与解析】
解：方程的左右两边分别通分，
得3x13x1，
( x 4)( x3)( x5)( x1)
∴
3x13x10 ，( x 4 )x( 3 ) x (x5 ) ( 1 )
∴(3x1)
11
0 ，(x4)( x 3)( x5)( x1)
∴3x10
11
，，或
3)1)
(x4)( x(x 5)( x
由 3x10 ，解得 x 1
，3
由
110，解得 x7 ．( x4)( x3) ( x5)( x1)
经检验： x 1
7是原方程的根.
， x
3
【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘( x 4)( x 3)( x 5)( x1) ，去分母后的整式方
程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解．
举一反三：
【变式】解方程1
x 11
x
1．
x47x 56
【答案】
解：移项得
1111，
4x5x6x
x7
两边同时通分得( x5)( x4)( x7) (x6) ，
( x4)( x5)(x6)( x7)
即11，
5)( x 6)( x
( x 4)( x7)
因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等．
所以 ( x4)( x 5)( x6)( x 7) ，
x29x20x213x42，
x29x20x213x420 ，
4x220 ，
∴x 11
．
2
11
检验：当 x5)( x6)( x7) 0．
时， ( x 4)( x
112
∴x是原方程的根．
2
类型三、分式方程的增根
【高清课堂分式方程的解法及应用例 3】
3、（ 1）若分式方程2
2mx
4x
3
有增根，求 m 值；
x x22
（2）若分式方程
k 1 1 k
5
有增根 x 1 ，求 k 的值．
x 2 1 x 2 x
x 2 x
【思路点拨】（ 1）若分式方程产生增根，则
( x 2)( x
2) 0 ，即 x 2 或 x 2 ，然后把
x 2 代入由分式方程转化得的整式方程求出
m 的值．（ 2）将分式方程转化成整式方程后，
把 x 1 代入解出 k 的值 .
【答案与解析】
解： （ 1）方程两边同乘 (x
2)( x 2) ，得 2( x
2) mx 3( x 2) ．
∴ (m 1) x 10 ．
∴
x
10 ．
1 m
x 2 或 x 2
由题意知增根为 ，
∴
10 2或 10
2 ．
1 m 1 m
∴ m 4 或 m 6．
（ 2）方程两边同乘 x( x 1)( x 1) ，得 (k 1)x ( x 1) (k
5)( x 1) ．
∴ 3x k 4．
∴
k 4 ．
x
3
∵ 增根为 x
1 ，
∴
k 4
1．
3
∴
k 1 ．
【总结升华】 (1) 在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增 根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根； (2) 这类问题的解法都是首先
把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值． 举一反三：
【变式】已知关于
x 的方程
3
2x 2 ax 1无解，求 a 的值．
x 3 3 x
【答案】
解：方程两边同乘 (x
3) 约去分母，
得 (3 2x) (2 ax) ( x 3) ，即 (a 1)x
2 ．
①∵ x 3 0 ，即 x 3 时原方程无解，
∴
( a 1) 3 2 ，∴
5 ．
a
3
②∵ 当 a 1 0 时，整式方程 (a 1)x
2 无解，
∴
当 a
1 时，原方程无解．
5
或 a 1 时，原方程无解．
综上所述，当 a
3
类型四、分式方程的应用
【高清课堂分式方程的解法及应用例 3】
4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000 米的管道，决定由甲、乙两个工
程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20 米，且甲工程队
铺设 350 米所用的天数与乙工程队铺设250 米所用的天数相同．
(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?
(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10 天，那么为两工程队分配工程量( 以百米
为单位 ) 的方案有几种 ?请你帮助设计出来．
【思路点拨】 (1)题中的等量关系是甲工程队铺设350 米所用的天数与乙工程队铺设250 米所用的天数相同．（ 2）由工期不超过10 天列出不等式组求出范围 .
【答案与解析】
解： (1) 设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设x20 米．
根据题意，得350250
．解得 x 70．x x20
经检验， x70 是原分式方程的解且符合题意．
故甲、乙两工程队每天分别能铺设70 米和 50 米．
(2) 设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队1000y米．
y
10,
由题意，得70解得 500≤y≤ 700．1000y10,
50
方案一：分配给甲工程队500 米，分配给乙工程队500 米．
方案二：分配给甲工程队600 米，分配给乙工程队400 米．
方案三：分配给甲工程队700 米，分配给乙工程队300 米．
所以分配方案有 3 种．
【总结升华】本题主要考查列分式方程解应用题，考查学生分析和解决问题的能力.
举一反三：
【变式】一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间的函数图象如图所示，试根据图象，回答下列问题：
(1)慢车比快车早出发 ________h，快车追上慢车时行驶了 ________km，快车比慢车早________h 到达 B 地；
(2)求慢车、快车的速度．
【答案】 (1)2 2764；
解： (2) 设快车速度为x km / h ，则慢车速度为 2 x km / h
3
( 因为快车跑完全程需12 h ，慢车跑完全程需18 h) ．
依题意，得276276 2，
x2
x
3
去分母，得276× 2＝276× 3－ 4 x，所以x69 ，
经检验知 x69是原方程的解，所以 2 x46，
3
答：慢车、快车的速度分别为46 km / h、 69km / h ．。