1819 第3章 3.2 3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表

堂 达
习
标
•
•
探 新
求下列函数的导数.
固 双
知
基
【导学号：73122223】
合
作 探 究
(1)y＝x12；(2)y＝x14；(3)y＝5 x3；
•
攻 重 难
(4)y＝2sin2xcos2x；(5)y＝log12x.
课 时 分 层 作 业
返 首 页
自
[思路探究] 先将解析式化为基本初等函数的形式，再利用公式求导． 当
基
合 作 探 究 • 攻 重
(4)反比例函数 f(x)＝1x：导数 y′＝－x12，几何意义表示函数 y＝1x的图象 上点(x，y)处切线的斜率为－x12.
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
2．指数函数与对数函数的导数公式各具有什么特点？
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新 知
[提示] (1)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，y＝
， x
探
究 • 攻
∴f′(1)＝12，故选 C.]
重
课 时 分 层 作 业
难
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自 主 预 习 • 探 新 知
合 作 探 究 • 攻 重 难
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/172021/9/17Friday, September 17, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/172021/9/172021/9/179/17/2021 9:09:50 PM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/172021/9/172021/9/17Sep-2117-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/172021/9/172021/9/17Friday, September 17, 2021
达 标 •
探
固
新
双
知
基
合 作
4 2x－8y＋ 2(4－π)＝0 [∵k＝(sin x)′|x＝π4＝cosπ4＝ 22，
探
究 • 攻 重
∴切线方程为 y－ 22＝ 22x－π4，即 4 2x－8y＋ 2(4－π)＝0.]
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
[合 作 探 究·攻 重 难]
自
当
主 预
利用导数公式求函数的导数
堂
预
达
习 •
[探究问题]
标 •
探
固
新 知
1．怎样求常见函数的导数？怎样理解它们的几何意义和物理意义？
双 基
合 作 探 究 • 攻 重
[提示] (1)常数函数 f(x)＝c：导数值为 0，几何意义为函数图象在任意点 处的切线垂直于 y 轴，斜率为 0，
当 y＝c 表示路程关于时间的函数时，y′＝0 可以解释为某物体的瞬时速
作 探 究 •
又因为 PQ 的斜率为 k＝42－＋11＝1，
攻
课 时 分 层 作
重 难
而切线平行于 PQ，所以 k＝2x0＝1，
业
即 x0＝12.
返 首
页
自
当
主
堂
预
达
习
标
• 探 新 知
所以切点为 M12，14，
• 固 双 基
合
所以所求切线方程为 y－14＝x－12，
作
探
即 4x－4y－1＝0.
究
•
第三章 导数及其应用 3.2 导数的运算
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新 知
学习目标：1.能根据定义求函数 y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.2.能利
双 基
合 用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点)
作 探 究 • 攻 重
•
•
探 新
线 PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由.
固 双
知
基
【导学号：73122224】
合
作
探
究
• 攻
[思路探究] 先求导数，再根据导数的几何意义求解．
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预 习
[解] 因为 y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线 PQ 垂直的切线．
达 标
主
堂
预
达
习
标
•
[解] (1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
•
探
固
新 知
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45.
双 基
合 作 探
(3)y′＝(5 x3)′＝(x35)′＝35x35－1
究
• 攻 重 难
＝35x－25＝
3 5
5
. x2
课 时 分 层 作 业
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探 新 知
(4)∵y＝2sin2xcos2x＝sin x，∴y′＝cos x.
固 双 基
合 作 探
(5)y′＝(log12x)′＝xl1n12＝－xln1 2.
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习 •
[规律方法] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题
课 时 分 层 作 业
难 度始终为 0，即一直处于静止状态．
返 首 页
自
当
主
堂
预
(2)一次函数 y＝x：导数值为 1，几何意义为函数图象在任意点处的切线 达
习
标
• 探
的斜率为 1，
• 固
新
双
知
当 y＝x 表示路程与时间的函数时，则 y′＝1 可以解释为某物体作瞬时 基
合 作 探 究 • 攻 重
速度为 1 的匀速运动； 一般地，一次函数 y＝kx：导数 y′＝k 的几何意义为函数图象在任意点
分 层
f(x)＝ax
f′(x)＝ axln a (a＞0，a≠1)
作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习 •
f(x)＝ex
f′(x)＝ ex
标 •
探
固
新 知
f(x)＝logax
f′(x)＝
1 xln
a
(a＞0，a≠1，x＞0)
双 基
合 作
f(x)＝ln x
探
究
•
攻
重
难
f′(x)＝
1 x
课 时
分
层
作
业
返 首 页
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
[规律方法] 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处 双
知
基
的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点又在曲线上这三个条件联立方
合 作
程解决.
探
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
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[当 堂 达 标·固 双 基]
双 基
ex 的导数是 y＝ax(a>0，a≠1)导数的特例．
合 作 探 究 • 攻 重
(2)对数函数的导数等于 x 与底数的自然对数乘积的倒数，y＝ln x 的导数 是 y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)导数的特例．
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
已知点 P(－1,1)，点 Q(2,4)是曲线 y＝x2 上两点，是否存在与直 标
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
2．(变条件)若函数改为 y＝ln x，试求与直线 PQ 平行的切线方程．
当
主
堂
预
达
习
标
• 探
[解] 设切点为(a，b)，因为 kPQ＝1，
• 固
新 知
则由 f′(a)＝1a＝1，得 a＝1，
双 基
合
故 b＝ln 1＝0，
作
探 究
则与直线 PQ 平行的切线方程为 y＝x－1，即 x－y－1＝0.
合
作 探
即 4x＋4y＋1＝0.
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
母题探究：1.(变结论)若本例条件不变，求与直线 PQ 平行的曲线 y＝x2
自 的切线方程．
当
主
堂
预
达
习 •
[解] 因为 y′＝(x2)′＝2x，
标 •
探
固
新 知
设切点为 M(x0，y0)，
双 基
合
则 y′|x＝x0＝2x0.
处的切线斜率为 k，|k|越大，函数的变化越快.
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
(3)二次函数 f(x)＝x2：导数 y′＝2x，几何意义为函数 y＝x2 的图象上点(x， 达
习
标
• 探
y)处切线的斜率为 2x，当 y＝x2 表示路程关于时间的函数时，y′＝2x 表示物
• 固
新
双
知 体作变速运动，在时刻 x 的瞬时速度为 2x.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/172021/9/172021/9/172021/9/179/17/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月17日星期五2021/9/172021/9/172021/9/17 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/172021/9/172021/9/179/17/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/172021/9/17September 17, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/172021/9/172021/9/172021/9/17
标 •
探
固
新 时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公 双
知
基
式.
合 作 探 究 • 攻 重
提醒：若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换 对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
导数公式的综合应用
当
主
返
首
页
自
当
主
2．函数 f(x)＝ x，则 f′(3)等于( )
堂
预
达
习
标
• 探 新
3 A. 6
B．0
1 C.2 x
3 D. 2
• 固 双
知
基
合
作 探 究 •
A
[∵f′(x)＝21
x，∴f′(3)＝2
1
＝ 3
3 6 .]
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主 预
3．设函数 f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则 a＝________.
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
当 堂 达 标 • 固 双 基
课 时 分 层 作 业
返 首 页
自
当
主
堂
预 习 •
3．曲线 y＝sin x 在π4， 22处
1．思考辨析
当
主
堂
预 习 •
(1)若函数 f(x)＝log2π，则 f′(x)＝πl1n 2.(
)
达 标 •
探
固
新 知
(2)若函数 f(x)＝3x，则 f′(x)＝x·3x－1.( )
双 基
合 作
(3)若函数 f(x)＝4x，则 f′(x)＝x42.(
)
探
究 •
[提示] (1)× π 为常数．
返 首 页
自 主
2.基本初等函数的导数公式表
当 堂
预 习
原函数
导函数
达 标
•
•
探 新
f(x)＝C(C 为常数)
f′(x)＝ 0
固 双
知
基
f(x)＝xu
f′(x)＝ uxu－1 (x＞0，u≠0)
合 作 探 究 • 攻 重
f(x)＝sin x
f′(x)＝ cos x
课
时
f(x)＝cos x
f′(x)＝ －sin x
攻
重
(2)× f′(x)＝3xln 3.
课 时 分 层 作 业
难
(3)× f′(x)＝－x42.
返 首
页
2．若函数 f(x)＝ x，则 f′(1)等于( )
自
当
主 预
【导学号：73122222】
堂 达
习
标
• 探 新
A．0
B．－12
1 C.2
D．1
• 固 双
知
基
合 作
C
[∵f′(x)＝(
x)′＝(x12)′＝12x12－1＝21
自
当
主 预
1．下列结论：
堂 达
习
标
•
5
2
•
探
①(sin x)′＝cos x；②(x3)′＝x3；
固
新
双
知
③(log3x)′＝3l1n x；④(ln x)′＝1x.
基
合
作 探
其中正确的有( )
究
•
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
C [∵②(x53)′＝53x23；③(log3x)＝xln1 3；∴②③错误，故选 C.]
•
•
探 新 知
设切点坐标为(x0，y0)，由 PQ 的斜率为 k＝42－ ＋11＝1，
固 双 基
合
又切线与 PQ 垂直，
作
探 究 •
所以 2x0＝－1，即 x0＝－12，
攻
重 难
所以切点坐标为－12，14.
课 时 分 层 作 业
返 首 页
自
当