2.4等比数列(2)教师版

2.4等比数列（二）
教学目标分析：
知识目标：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.
过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识.
情感目标：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣.
重难点分析：
重点： 等比数列的定义、通项公式、等比中项的基本应用.
难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.
互动探究：
一、课堂探究：
1、复习巩固：
（1）等比数列：**11(,2)(,1)n n n n
a a q n N n q n N n a a +-=∈≥=∈>或 （2）等比数列的通项公式：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ，)0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n
探究一、对比等差中项的定义，归纳、猜想出等比中项的定义并思考如下问题：
⑴是否任意两个实数都有等差中项？若有，是否唯一？
⑵是否任意两个实数都有等比中项？若有，是否唯一？
2、等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a G b 、、成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即2211(,),n n n G b G ab a b a a a a G
-+=⇒==∙同号对一般数列，有 探究二、（1）在直角坐标系中，画出通项公式为12n n a -=的数列的图像和函数12x y -=的图像，你发现了什么？
（2）类似地，在直角坐标系中，画出通项公式为11
()2n n a -=的数列的图像和函数
11()2
x y -=的图像，你发现了什么？
等比数列与指数函数的关系：等比数列{}n a 的通项公式)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ,它的图象是分布在曲线1(0)x a y q q q
=≠上的一些孤立的点.
等比数列{}n a 递增101a q >⎧⇔⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩
； 等比数列{}n a 递减101a q <⎧⇔⎨>⎩或1001a q >⎧⎨<<⎩
； 等比数列{}n a 是常数列1q ⇔=；等比数列{}n a 是摆动数列0q ⇔<．
探究三、已知{}n a 与{}n a 是项数相同的等比数列，判断（1）数列{}n n a b ∙是否为等比数列？
（2）数列{}n n
a b 是否为等比数列?（3）数列{}n ca 是否为等比数列？ 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ；{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列
{}n n a b ∙的第n 项与第1n +项分别1111112111211121112()()n n n n n n
a q
b q a q b q a b q q a b q q ---⋅⋅与即为与
.)
()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n
n n n n ==⋅⋅-++ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n a b ∙是一个以12q q 为公比的等比数列.
注意：判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法
探究四、已知数列{}n a 是等比数列：
（1）2537a a a =是否成立？2519a a a =成立吗？为什么？
（2）211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？
（3）2(1)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？
结论：在等比数列{}n a 中，如果*,,,,,m n p q N m n p q ∈+=+,那么,,,m n p q a a a a 的关系为
m n p q
a a a a =；如果2m n p +=，那么,,m n p a a a 的关系为2m n p a a a =； 例1、教材第50页.根据图2.4-2中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗？
答案：11()
2n n a -=.
变式：已知数列{}n a 的通项公式n n a pq =，其中p 、q 是常数，且0q ≠，那么这个数列是否一定是等比数列？若是，首项与公比分别是多少？
例2、已知{}n a 是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +．
解： ∵{}n a 是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25,
又0n a >, ∴3a ＋5a ＝5;
变式：（1）在等比数列{}n a 中，14725812,18a a a a a a ++=++=，求369a a a ++的值.
（2）在等比数列{}n a 中，14725812,18a a a a a a ==求369a a a 的值.
例3、数列{}n a 满足111,2 1.(1){1}(2)n n n n a a a a a +==++求证是等比数列；求.
答案：21n n a =-.
二、课堂练习：
1、设数列{}n a 为等比数列，且15964a a a =，则5a = .
2、33的等比中项等于 .
3、在等比数列{}n a 中，11,28
a q =
=，求48a a 与的等比中项.
答案：4±. 4、已知等比数列{}n a 中，1326521,2,a a a ==求.
答案：8.
反思总结：
1、 本节课你学到了哪些知识点？
2、 本节课你学到了哪些思想方法？
3、 本节课有哪些注意事项？
课外作业：
（一）教材53页习题2.4 A 组第6、7
1、已知,a b 是互异的正数，A 是,a b 的等差中项，G 是,a b 的等比中项，A G 与有无确定的大小关系？
2、求下列各组数的等比中项：
422422(1)77(0,0)a a b b a b a b +-++≠≠与
（二）补充
3、设正项等比数列{}n a 中，且5681a a =，那么3132310log log log a a a +++= ( ). A .30 B .20 C .10 D .5
4、等比数列{}n a 中，310,a a 是方程2
350x x --=的两根，求67a a 的值.
5、在等比数列{}n a 中，1815343a a a =，求2
9
10
a a 的值.
6、数列{}n a 满足112,3 2.(1){1}(2)n n n n a a a a a +==++求证是等比数列；求.
答案：31n n a =-.
7、*11221{},,,(1){1}31n n n n n
a a a a n N a a +==∈-+已知数列的首项证明是等比数列，（2）求数列通项公式.
8、已知由正数组成的等比数列{}n a 满足3012330369302,...2,...q a a a a a a a a ==求的值.
9、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*12,n n S a n N =+∈，求数列{}n a 的通项公式n a .
答案：12n n a -=-. 课后反思：。