江苏省扬州宝应县联考2020届数学中考模拟试卷

江苏省扬州宝应县联考2020届数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A ，D 两个端点之间的距离为10cm ，
1
2
AO DO BO CO ==，则容器的内径是( )
A.5cm
B.10cm
C.15cm
D.20cm
2．（11·孝感）如图，某航天飞机在地球表面点P 的正上方A 处，从A 处观测到地球上的最远点Q ，若∠QAP =α，地球半径为R ，则航天飞机距地球表面的最近距离AP ，以及P 、Q 两点间的地面距离分别是（ ）
A.,sin 180
R R παα B.(90),sin 180R R
R απα-- C.
(90),sin 180
R R
R απα-- D.
(90),sin 180
R R
R απα+- 3．如图，已知等腰△ABC ，AB ＝BC ，D 是AC 上一点，线段BE 与BA 关于直线BD 对称，射线CE 交射线BD 于点F ，连接AE ，AF ．则下列关系正确的是（ ）
A.∠AFE+∠ABE ＝180°
B.1
AEF ABC 2
∠=
∠ C.∠AEC+∠ABC ＝180°
D.∠AEB ＝∠ACB
4．已知二次函数y ＝﹣（x ﹣k+2）（x+k ）+m ，其中k ，m 为常数．下列说法正确的是（ ） A ．若k≠1，m≠0，则二次函数y 的最大值小于0
B ．若k ＜1，m ＞0，则二次函数y 的最大值大于0
C ．若k ＝1，m ≠0，则二次函数y 的最大值小于0
D ．若k ＞1，m ＜0，则二次函数y 的最大值大于0
5．某校九年级（1）班为了筹备演讲比赛，准备用200元钱购买日记本和钢笔两种奖品（两种都要买），其中日记本10元/本，钢笔l5元/支，在钱全部用完的条件下，购买的方案共有（ ） A ．4种
B ．5种
C ．6种
D ．7种
6．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A.
B.
C.
D.
7．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上一点，于点Q ，过点B 作半圆O 的切线，交OQ 的延
长线于点P ，PA 交半圆O 于R ，则下列等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
8．如图，四边形ABCD 是正方形，直线l 1、l 2、l 3分别通过A 、B 、C 三点，且l 1∥l 2∥l 3，若l 1与l 2的距离为6，正方形ABCD 的面积等于100，l 2与l 3的距离为（ ）
A ．8
B ．10
C ．9
D ．7 9．一组2、3、4、3、3的众数、中位数、方差分别是（ ）
A ．4,3,0.2
B ．3,3,0.4
C ．3,4,0.2
D ．3,2,0.4
10．如图，ABCDEF 为⊙O 的内接正六边形，AB ＝m ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．6
π
m 2
B m 2
C ．34π⎛- ⎝⎭m 2
D ．64π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
m 2
11．如图，a ∥b ，点B 在直线b 上，且AB ⊥BC ，∠1＝36°，那么∠2＝（ ）
A ．54°
B ．56°
C ．44°
D ．46°
12．如图，反比例函数y=
k
x
的图象经过▱ABCD 对角线的交点P ，已知点A ，C ，D 在坐标轴上，BD ⊥DC ，▱ABCD 的面积为6，则k 的值为（ ）
A ．6-
B ．5-
C ．4-
D ．3-
二、填空题
13．在实数范围内分解因式：24x -=______________________. 14．因式分解：39x x -=__．
15．如图，圆内接四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AB ＝AD ，点E 在CD 的延长线上，且DE ＝BC ，连结AE ，若AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为_____．
16．已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的弧长为________（结果保留π）．
17．如果在五张完全相同的纸片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于_____． 18．使分式
2
x-3
有意义的x 的取值范围是_____． 三、解答题
19．求不等式组3(1)2531342
x x x x x -++⎧⎪
⎨-+≥-⎪⎩＜的解集，并将解集在数轴上表示出来．
20．今有鸡兔同笼，上有二十八头，下有七十八足．问鸡兔各几何？试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
21．（1）计算：
2
(1)|12cos30︒
-++；（2）解方程组：5
2311x y x y +=⎧⎨+=⎩
22．解不等式组：426
113
9x x x x >-⎧⎪
-+⎨<⎪⎩ .
23．如图，在矩形ABCD 中，BC=1，∠CBD=60°，点E 是AB 边上一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，过点D 作DF ⊥DE 交BC 的延长线于点F ，连接EF 交CD 于点G ．
（1）求证：△ADE ∽△CDF ；
（2）设AE 的长为x ，△DEF 的面积为y ．求y 关于x 的函数关系式；
（3）当△BEF 的面积S 取得最大值时，连接BG ，请判断此时四边形BGDE 的形状，并说明理由． 24．如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DA ，∠ADB 的角平分线与AB 相交于点F ，与CB 的延长线相交于点E 连接AE ．
（1）求证：四边形AEBD 是菱形．
（2）若四边形ABCD 是菱形，DC ＝10，则菱形AEBD 的面积是 ．（直接填空，不必证明）
25．已知抛物线y ＝ax 2+bx+2经过A （﹣1，0），B （2，0），C 三点．直线y ＝mx+
1
2
交抛物线于A ，Q 两点，点P 是抛物线上直线AQ 上方的一个动点，作PF ⊥x 轴，垂足为F ，交AQ 于点N ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当点P 运动到什么位置时，线段PN ＝2NF ，求出此时点P 的坐标；
（3）如图②，线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为D ，点M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ，使△CMG 的周长最小？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由． 【参考答案】*** 一、选择题
13．()()22x x +-
14．(+3)(3)x x x - 15．8 16．23
π 17．
35
18．x≠3 三、解答题 19．﹣2＜x≤73
【解析】 【分析】
分别解两个不等式得到x ＞﹣2和x≤7
3
，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集． 【详解】
3(1)2531
342
x x x x x ＜①②-++⎧⎪
⎨-+≥-⎪⎩， 解①得x ＞﹣2， 解②得x≤
7
3
， 所以不等式组的解集为﹣2＜x≤
73
． 用数轴表示为：
．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集． 20．鸡有17只，兔有11只． 【解析】 【分析】
设鸡有x 只，兔有y 只，根据鸡和兔共有28只头和78条腿，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】
设鸡有x 只，兔有y 只，
依题意，得：28
2478x y x y +=⎧⎨+=⎩
，
解得：17
11x y =⎧⎨=⎩
．
答：鸡有17只，兔有11只． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．（1
）2；（2）4
1x y =⎧⎨=⎩
.
【解析】 【分析】
（1）根据算术平方根、乘方、绝对值，特殊角的三角函数值的定义，把原式转化为实数的加减运算，计算求值即可，
（2）利用加减消元法解之即可． 【详解】
解：（1）原式＝
1
+2×2
＝
＝
2，
（2）52311x y x y +=⎧⎨+=⎩
①②，
②﹣①×2得：y ＝1， 把y ＝1代入①得：x+1＝5， 解得：x ＝4， 即方程组的解为：4
1
x y =⎧⎨=⎩．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，实数的运算，特殊角的三角函数值，解题的关键：（1）正确掌握绝对值，特殊角的三角函数值的定义，（2）正确掌握加减消元法解二元一次方程组． 22．-3＜x ＜2． 【解析】 【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】
解：解不等式426x x >-得：x ＞-3， 解不等式
11
39
x x -+<得：x ＜2， ∴不等式组的解集为：-3＜x ＜2． 【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 23．（1）证明见解析；（2
）222
x y +
=；（3）四边形BGDE 是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）利用矩形性质可得∠DCF=90°=∠A ，根据等角的余角相等，可得∠ADE=∠CDF ，利用两角对应相等的两个三角形相似，可证△ADE ∽△CDF.
（2） 利用相似三角形的对边成比例，可得DF ，利用勾股定理可得
22221DE AD AE x =+=+ ， 利用△DEF 的面积为
12 2 ， 代入数据化简即可. （3）利用直角三角形的性质可得CD 的值，利用相似三角形的对边成比例，可
得
AE AD CF CD ==
，即得 CF= x 。

根据△BEF 的面积S =
1
2
×BE×BF，代入数据整理即
得；利用二次函数性质可求出当x 为
3 时，△BEF 的面积S 有最大值；此时BE= 3
， CF=1，BF=2， 利用平行可得△CFG ∽△BFE ， 即得
CG CF
BE BF
= ，从而求出CG 的值，进而得到DG 的值 ， 即得BE=DG ，且BE ∥DG ，由BE=BG ，可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即证. 【详解】
（1）证明：∵在矩形ABCD 中，∠A=∠ADC=∠DCB=90°， ∴∠DCF=90°=∠A ， ∵DF ⊥DE ， ∴∠ADE=∠CDF ， 又∠A=∠EDF=90°， ∴△ADE ∽△CDF. （2）解：∵△ADE ∽△CDF
∴
DF CD CD
DE AD BC
===，即 DF 在Rt △ADE 中， 22221DE AD AE x =+=+ ，
∴△DEF 的面积为y=
222)2DF DE x x ⨯=+= . （3）解：当△BEF 的面积S 取得最大值时，四边形BGDE 是菱形。

理由如下：
∵BC=1，∠DBC=60°，∠DCB=90°，
∴，
∴在矩形ABCD 中，AD=BC=1．
∵AE=x ，∴x ， ∵△ADE ∽△CDF ，
∴
AE AD CF CD ==
，
∴，
∴△BEF 的面积S= 221)(1)22BE BF x x x ⨯==
∴当x 为时，△BEF 的面积S 有最大值；
此时，CF=1，BF=2， ∵CG ∥BE ， ∴△CFG ∽△BFE ，
∴
CG CF
BE BF
，
∴ ∴BE=DG ，且BE ∥DG ， ∴四边形BGDE 是平行四边形． 又∵ BE=BG ，
∴平行四边形BGDE 是菱形． 【点睛】
此题考查相似形综合题和菱形的判定，利用相似的性质是解题关键
24．（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得∠BED=∠BDE ，可得BE=BD ，即可证四边形AEBD 是平行四边形，且DB=DA ，可得结论；
（2）由菱形的性质可得AD=AB=10=DB ，AB ⊥DE ，由等边三角形的性质和直角三角形性质可得AF=5，
DF=AEBD 的面积． 【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠ADE ＝∠DEB ， ∵DE 平分∠ADB ， ∴∠ADE ＝∠BDE ， ∴∠BED ＝∠BDE ， ∴BE ＝BD ，且BD ＝DA ， ∴AD ＝BE ，且AD ∥BE ，
∴四边形ADBE 是平行四边形，且AD ＝BD ∴四边形AEBD 是菱形； （2）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ＝CD ＝10，且AD ＝BD ， ∴△ABD 是等边三角形， ∴∠BAD ＝60°， ∵四边形AEBD 是菱形， ∴AF ＝BF ，AB ⊥DE ，EF ＝DF ， ∴∠ADF ＝30°，
∴AF ＝5，DF ＝
∴DE ＝
∴菱形AEBD 的面积＝1
2
故答案为：【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
25．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点P的坐标为（1
2
，
9
4
）；（3）在直线DE上存在一点G，使△CMG的周
长最小，此时G（﹣3
8
，
15
16
）．
【解析】
【分析】
（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，然后求得a，b的值，从而得到问题的答案；
（2）把A（﹣1，0）代入y＝mx+1
2
求得m的值，可得到直线AQ的解析式，设点P的横坐标为n，则P
（n，﹣n2+n+2），N（n，1
2
n+
1
2
），F（n，0），
然后用含n的式子表示出PN、NF的长，然后依据PN＝2NF列方程求解即可；
（3）连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小，先求得点M的坐标，然后求得AM和DE的解析式，最后在求得两直线的交点坐标即可．
【详解】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），
∴将点A和点B的坐标代入得：
20
4220
a b
a b
-+=
⎧
⎨
++=
⎩
，解得a＝﹣1，b＝1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）直线y＝mx+1
2
交抛物线与A、Q两点，把A（﹣1，0）代入解析式得：m＝
1
2
，
∴直线AQ的解析式为y＝1
2
x+
1
2
．
设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n，1
2
n+
1
2
），F（n，0），
∴PN＝﹣n2+n+2﹣（1
2
n+
1
2
）＝﹣n2+
1
2
n+
3
2
，NF＝
1
2
n+
1
2
．
∵PN＝2NF，即﹣n2+1
2
n+
3
2
＝2×（
1
2
n+
1
2
），解得：n＝﹣1或
1
2
．
当n＝﹣1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．
∴点P的坐标为（1
2
，
9
4
）．
（3）∵y＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣1
2
）2+
9
4
，
∴M（1
2
，
9
4
）．
如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小．
设直线AM的函数解析式为y＝kx+b，且过A（﹣1，0），M（1
2
，
9
4
）．
根据题意得：
19
24
k b
k b
-+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，解得
3
2
3
2
k
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
．
∴直线AM的函数解析式为y＝3
2
x+
3
2
．
∵D为AC的中点，
∴D（﹣1
2
，1）．
设直线AC的解析式为y＝kx+2，将点A的坐标代入得：﹣k+2＝0，解得k＝2，∴AC的解析式为y＝2x+2．
设直线DE的解析式为y＝﹣1
2
x+c，将点D的坐标代入得：
1
4
+c＝1，解得c＝
3
4
，
∴直线DE的解析式为y＝﹣1
2
x+
3
4
．
将y＝﹣1
2
x+
3
4
与y＝
3
2
x+
3
2
联立，解得：x＝﹣
3
8
，y＝
15
16
．
∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣3
8
，
15
16
）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质，用含n的式子表示出PN、NF的长是解答问题（2）的关键；明确相互垂直的两直线的一次项系数乘积为﹣1是解答问题（3）的关键．。