考研数学(数学二)模拟试卷280(题后含答案及解析)

考研数学（数学二）模拟试卷280(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)为R上不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=f(x)/x( )．
A．在x=0处左极限不存在
B．有跳跃间断点x=0
C．在x=0处右极限不存在
D．有可去间断点x=0
正确答案：D
解析：由题设，f(-x)=-f(x)，则有f(0)=0，从而即g(x)在x=0处极限存在，但x=0时g(x)无定义，因此可补充定义g(0)=f’(0)，则g(x)在x=0处连续．综上，g(x)有可去间断点x=0，所以选(D)．
2．设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=O
B．若fx’(x0，y0)=0，则fx’(x0，y0)≠0
C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0
D．若fx’(x0，y0)≠0，则fx’(x0，y0)≠0
正确答案：D
解析：依题意知(x0，y0)是拉格朗日函数，F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)的驻点，即(x0，y0)使得因为φy’(x0，y0)≠0，所以从(2)式可得代入(1)式得即fx’(x0，y0)φy’(x0，y0)=φx’(x0，y0)．当fx’(x0，y0)≠0且φy’(x0，y0)≠0时，fx’(x0，y0)φy’(x0，y0)≠0，从而fy’(x0，y0)≠0，故选(D)．
3．设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是( )．
A．C[y1(x)-y2(x)]
B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]
C．C[y1(x)+y2(x)]
D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]
正确答案：B
解析：根据已知条件及线性微分方程解的叠加原理，y1(x)-y2(x)是齐次线性微分方程y’+P(x)y=0的一个非零解，又y1(x)是原非齐次线性微分方程的一个特解，进而由线性方程通解的结构可知y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]是原非齐次线性微分方程的通解，其中C为任意常数．故选(B)．
4．设∫f(x)dx=x2+C，则∫xf(1-x2)dx等于( )．
A．1/2(1-x2)2+C
B．- 1/2(1-x2)2+C
C．2(1-x2)2+C
D．-2(1-x2)2+C
正确答案：B
解析：
5．当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)等价无穷小，则( )．
A．a=1，b=-(1/6)
B．a=1，b=1/6
C．a=-1，b=-(1/6)
D．a=-1，b=1/6
正确答案：A
解析：故a=1，(D)错误，所以选(A)．
6．设函数g(x)可微，h(x)=lng(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)等于( )．A．e
B．1
C．2
D．3
正确答案：C
解析：由已知条件有h’(x)=g’(x)/g(x)．令x=1，得h’(1)=g’(1)/g(1)，即1=2/g(1)，所以g(1)=2．故选(C)．
7．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记P=，则( )．
A．C=P-1AP
B．C=PAP-1
C．C=PTAP
D．C=PAPT
正确答案：B
解析：根据已知条件，用初等矩阵描述有故选(B)．
8．设向量组a1，a2，a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )．A．a1+a2，a2+a3，a3-a1
B．a1+a2，a2+a3，a1+2a2+a3
C．a1+2a2，2a2+3a3，3a3+a1
D．a1+a2+a3，2a1-3a2+2a3，3a1+5a2+3a3
正确答案：C
解析：由题设，观察四个选项：关于(A)，由于(a1+a2)-(a2+a3)+(a3-a1)=0，则a1+a2，a2+a3，a3-a1线性相关．关于(B)，由于(a1+a2)+(a2+a3)-(a1+2a2+a3)=0，则a1+a2，a2+a3，a1+2a2+a3也线性相关．关于(C)，由定义，设有一组数k1，k2，3，使得k1(a1+2a2)+k2(2a2+3a3)+k3(3a3+a1)=0 即(k1+k3)a1+(2k1+2k2)a2+(3k2+3k3)a3=0，由已知a1，a2，a3线性无关，则该方程组的系数矩阵的行列式为从而k1=k2=k3=0，由此知(C)中向量组线性无关．而由同样的方法，建立关于(D)中向量组相应的方程组，可计算出系数矩阵的行列式为0，则(D)中向量组线性相关．综上选(C)．
填空题
9．设函数f(x)=在(-∞，+∞)内连续，则c=_________．
正确答案：1
解析：函数f(x)连续，则需满足，即c2+1=2/c，解得c=1．
10．_________．
正确答案：-(1/4)
解析：原式=
11．曲线，在点(0，1)处的法线方程为_________．
正确答案：0
解析：由题设，先求曲线在点(0，1)处的切线的斜率，由已知x=0，y=1时，t=0，因此，此即该点的切线斜率，因而该点法线斜率为-2，从而法线方程为y-1=-2x，即2x+y-1=0．
12．=_________．
正确答案：-cotx*lncosx-x+C
解析：原式=-∫lncosxdcotx=-cotx*lncosx-∫dx=-cotx*lncosx-x+C
13．曲线的渐近线方程为_________．
正确答案：y=x+ 1/e
解析：通常渐近线有水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线．由题设，，因此无水平渐近线．又由因此也无铅直渐近线．关于斜渐近线，设因此有斜渐近线为y=x+ 1/e．
14．设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_________．
正确答案：0
解析：由题设，4阶方阵A的秩为2，因此A的所有3阶子式均为0，从而所有元素的代数余子式均为0，即A*=0，故r(A*)=0．
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．求极限
正确答案：
16．设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体积为V(t)=π/3[t2f(t)-f(1)]．试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y｜x=2=2/9的解．
正确答案：由题设，旋转体体积应为π∫1tf2(x)dx，则π∫1tf2(x)dx=π/3[t2f(t)-f(1)]，从而∫1tf2(x)dx=1/3[t2f(t)-f(1)]两边对t求导，得>f2(t)=1/3[2tf(t)+t2f’(t)]，即t2f’(t)-3f2(t)+2tf(t)=0．令因此从而
17．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)≠0．试证存在ξ，η∈(a，b)，使得
正确答案：由题设，引入辅助函数，即g(x)=ez，则f(x)与g(x)在区间[a，b]上满足柯西中值定理的条件，所以知存在一点ηE(a，b)，使得又f(x)在区间[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，则存在一点ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a) (2)将(2)式代入(1)式可得整理得
18．求连续函数f(x)，使它满足f(x)+2∫0xf(t)dt=x2．
正确答案：方程f(x)+2∫02f(t)dt=x2两边对x求导得f’(x)+2f(x)=2x，令x=0，由原方程得f(0)=0．于是，原问题就转化为求微分方程f’(x)+2f(x)=2x满足初始条件f(0)=0的特解．由一阶线性微分方程的通解公式，得f(x)=e-∫2dx(∫2x*e ∫2dxdx+C)=e-2x(∫2xe2xdx+C)=Ce-2x+x- 1/2．代入初始条件f(0)=0，得C=1/2，从而f(x)=
19．求微分方程xy+y=xex满足y(1)=1的特解．
正确答案：先化为一阶线性微分方程的标准形式由一阶线性微分方程的通解公式，得代入初始条件y(1)=1得C=1，所以所求特解为
20．已知曲线的极坐标方程是r=1-cosθ，求该曲线上对应于θ=π/6处的切线与法线的直角坐标方程．
正确答案：由题设，曲线极坐标方程为r=1-cosθ，则曲线的直角坐标参数
方程为该点切线斜率为因此，该点切线方程为该点法线方程为
21．设f(lnx)=，计算∫f(x)dx．
正确答案：由已知条件，应先求出f(x)的表达式再进行积分，
22．设n元线性方程组Ax=b，其中A=，x=(x1，…，xn)T，b=(1，0，…，0)T．(Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)an；(Ⅱ)a为何值时，方程组有唯一解?求x1；(Ⅲ)a为何值时，方程组有无穷多解?求通解．
正确答案：(Ⅰ)利用行列式性质，有(Ⅱ)若使方程组Ax=b有唯一解，则｜A｜=(n+1)an≠0，即a≠0．则由克莱姆法则得(Ⅲ)若使方程组Ax=b有无穷多解，则｜A｜=(n+1)an=0，即a=0．把a=0代入到矩阵A中，显然有=r(A)=n-1，方程组的基础解系含一个解向量，它的基础解系为k(1，0，0，…，0)T(k为任意常数)．代入a=0后方程组化为特解取为(0，1，0，…，0)T，则方程组Ax=b的通解为k(1，0，0，…，0)T+(0，1，0，…，0)T，其中的k为任意常数．
23．设n阶矩阵A= (Ⅰ)求A的特征值和特征向量；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．
正确答案：(Ⅰ)由题设，先由特征值多项式｜A-λE｜=0求A的特征值，即=[1-λ+(n-1)b](1-λ-b)n-1，因此A的特征值为λ1=1+(n-1)b，λ2=λ3=…=λn=1-b．当b≠0时，对应于λ1=1+(n-1)b，不难求出ξ1=是(A-λ1E)x=0的基础解系，从而属于λ1的特征向量为Cξn=，其中C为任意非0常数。

对应于λ2=λ3=…=λn=1-b，A-(1-b)E=易得出基础解系为ξ2=从而特征向量为C2ξ2+C3ξ3+…+Cnξn，其中C2，C3，…，Cn是不全为0的常数．当b=0时，A==E，从而A-E=0，任意非零向量皆为其特征向量．(Ⅱ)由前述已知，当b≠0，A有n 个线性无关的特征向量，令P=(ξ1，ξ2，ξ3，…，ξn)，则P-1AP=而当b=0时，A=E，任取P为可逆矩阵，都有P-1AP=E．。