2018版数学人教B版选修4-4练习：综合测评B 含答案 精

综合测评B
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.下列有关坐标系的说法中，错误的是( )
A.在直角坐标系中，通过伸缩变换可以把圆变成椭圆
B.在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小
C.任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程
D.同一条曲线可以有不同的参数方程 答案：C
解析：直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中，伸缩变换可以改变图形的形状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆是一样的，而平移变换不改变图形的形状和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方程的，同一条曲线根据参数的选取的不同可以有不同的参数方程.
2.曲线的参数方程为⎩
⎨⎧x ＝3t 2
＋2，
y ＝t 2
－1 (t 为参数)，则曲线是( ) A.线段 B.双曲线的一支 C.圆 D.射线
答案：D
解析：消去参数t ，得到方程x ＝3y ＋5.
又因为x ＝3t 2＋2≥2，所以方程为x ＝3y ＋5 (x ≥2). 所以曲线应为射线.
3.曲线⎩⎨⎧x ＝2pt 2
，y ＝2pt
(t 为参数)上两点A 、B 所对应的参数分别是t 1、t 2，且t 1＋t 2
＝0，则|AB |等于( ) A.|2p (t 1－t 2)|
B.2p (t 1－t 2)
C.2p (t 21＋t 2
2)
D.2p (t 1－t 2)2
答案：A
解析：由t 2＝－t 1，则t ＝t 1时，⎩⎨⎧x 1＝2pt 2
1，
y 1＝2pt 1，
t ＝t 2时，⎩⎨⎧x 2＝2pt 2
2，
y 2＝2pt 2，
∴|AB |＝（2pt 21－2pt 22）2＋（2pt 1－2pt 2）2
＝|2p |（t 1－t 2）2＝|2p (t 1－t 2)|.
4.极坐标方程ρ2－ρ(2＋sin θ)＋2sin θ＝0表示的图形为( ) A.一个圆与一条直线 B.一个圆 C.两个圆 D.两条直线
答案：C
解析：将所给方程进行分解，可得(ρ－2)·(ρ－sin θ)＝0，即ρ＝2或ρ＝sin θ，化成直角坐标方程分别是x 2＋y 2＝4和x 2＋y 2－y ＝0，可知分别表示两个圆. 5.在参数方程⎩⎨⎧x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ (t 为参数)所表示的曲线上有B ，C 两点，它们
对应的参数值分别为t 1，t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是( ) A.t 1－t 22 B.t 1＋t 22 C.|t 1－t 2|2 D.|t 1＋t 2|2 答案：B
解析：将参数值代入方程，分别得到B ，C 两点的坐标，而M 点为BC 中点，则有x M ＝
x B ＋x C 2，可得M 点对应的参数值为t 1＋t 2
2.
6.极坐标方程ρcos 2θ＝0表示的曲线为( ) A.极点 B.极轴
C.一条直线
D.两条相交直线
答案：D
解析：ρcos 2θ＝0，cos 2θ＝0，θ＝k π±π
4，为两条相交直线.
7.已知P 点的柱坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，点Q 的球面坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，π2，π4，根据空间
坐标系中两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)之间的距离公式|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（z 1－z 2）2，可知P ，Q 之间的距离为( )
A. 3
B. 2
C. 5
D.2
2 答案：B
解析：首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系，把P 点的柱坐标转化为空间直角坐标(2，2，1)，再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q 点的球坐标转化为空间直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫
22，22，0，代入两点之间的距离公式即可得
到距离为 2.
8.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4
5t ，y ＝－9＋35t (t 为参数)与圆⎩⎨
⎧x ＝2cos θ
，
y ＝2sin θ
(θ为参数)的位置关系是( )
A.相离
B.相切
C.过圆心
D.相交不过圆心
答案：A
解析 圆的圆心坐标为(0，0)，半径为2，直线的普通方程3x －4y －36＝0，∴(0，0)到直线的距离36
5>2相离，故选A.
9.将椭圆（x ＋1）29＋（y －1）2
4＝1变为中心在原点的单位圆，所用的变换为
( )
A.⎩
⎪⎨⎪
⎧x ″＝3（x ＋1），y ″＝1
2（y －1） B.⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝13（x ＋1），y ″＝1
2（y －1）
C.⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝13（x －1），y ″＝1
2（y －1）
D.⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝13（x ＋1），y ″＝1
2（y ＋1）
答案：B
解析：用A 变换为x ″2
81＋y ″2＝1，不对，用B 变换为x ″2＋y ″2＝1，对，经检验C 、D 不对.
10.已知抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2
，
y ＝4t
(t 为参数)的焦点为F ，则点M (3，m )到F 的距离|MF |
为( )
A.1
B.2
C.3
D.4 答案：D
11.已知双曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝31cos θ，
y ＝4tan θ(θ为参数)，在下列直线的参数方程中：①⎩
⎨⎧x ＝－3t ，y ＝4t ；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋
32t ，
y ＝1－12t ；
③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝－45t ；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2
2t ，y ＝1＋22t ；⑤⎩⎨⎧x ＝3＋3t ，
y ＝－4－4t (以上方程中，t 为参数)，可以作为
双曲线C 的渐近线方程的是( )
A.①②
B.①③⑤
C.④⑤
D.①④⑤ 答案：B
解析：由题意可知，双曲线的普通方程为x 29－y 216＝1，∴渐近线方程为y ＝±
43x ，
把①②③④⑤的参数方程都化为普通方程为①y ＝－43x ②y ＝－13x ＋1＋1
3
③y ＝－43x ④x ＋y ＝2 ⑤y ＝－4
3x .
∴能作为双曲线渐近线的方程是①③⑤，故选B.
12.参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋sin θ，
y ＝cos 2
（π4－θ2）
(θ为参数，0≤θ<2π)所表示的曲线是( )
A.椭圆的一部分
B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分，且过点(－1，1
2) D.抛物线的一部分，且过点(1，1
2) 答案：D
解析：由y ＝cos 2(π4－θ2)＝1＋cos （π
2－θ）
2＝1＋sin θ2，
可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ得x 2－1＝sin θ， ∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y . 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]，故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13.方程⎩⎨⎧x ＝cos α，
y ＝1＋sin α(α为参数)化为普通方程为________.
答案：x 2＋(y －1)2＝1
解析：∵⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，∴⎩⎨⎧x ＝cos α，
y －1＝sin α.
∴x 2＋(y －1)2＝1.
14.抛物线y 2＝2px (p >0)的一条过焦点的弦被分成m ，n 长的两段，则1m ＋1
n ＝________. 答案：2p
解析：焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，弦的方程y ＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －p 2代入y 2＝2px 中，得k 2x 2－(pk 2
＋2p )x ＋p 2k 2
4＝0.
设弦两端点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝pk 2＋2p k 2，x 1x 2＝p 2
4.
∴1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝
x 1＋p 2＋x 2＋p 2
⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 1＋p 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋p 2 ＝
x 1＋x 2＋p
x 1x 2＋p 2（x 1＋x 2）＋p 24
＝pk 2＋2p k 2＋p p 24＋p 2·pk 2＋2p k 2＋p 24
＝2p （k 2＋1）
k 2p 2·k 2
＋1
k 2
＝2
p .
15.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，
y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________. 答案： 5
解析：把参数方程和极坐标方程都化为直角坐标系下的方程，二者联立求出交点坐标，再求交点的极径.参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋t ，
y ＝3＋t 化为普通方程为y ＝x ＋1.由
ρsin 2θ－4cos θ＝0，得ρ2sin 2θ－4ρcos θ＝0，其对应的直角坐标方程为y 2－4x ＝0，即y 2
＝4x .由⎩⎨⎧y ＝x ＋1，y 2＝4x 可得⎩
⎨⎧x ＝1，
y ＝2，故直线和抛物线的交点坐标为(1，
2)，故交点的极径为12＋22＝ 5.
16.在平面直角坐标系中，倾斜角为π
4的直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为
参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________. 答案：ρ(cos θ－sin θ)＝1
解析：将参数方程化为直角坐标方程求解.曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，
y ＝1＋sin α(α为参数)，消
去参数得(x －2)2＋(y －1)2＝1.由于|AB |＝2，因此|AB |为圆的直径，故直线过圆的圆心(2，1)，所以直线l 的方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0，化为极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝1，即ρ(cos θ－sin θ)＝1. 三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17.(12分)求极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点Q ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，π2的最近距
离.
解：将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，点Q 的直角坐标为(0，1)，则P 到Q 的最短距离为点Q 与圆心的距离减去半径，即2－1.
18.(12分)求直线⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，
y ＝2＋t
(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长.
解：⎩⎨⎧x ＝1＋2t y ＝2＋t ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5t ×
2
5
y ＝2＋5t ×15，把直线⎩⎨⎧x ＝1＋2t y ＝2＋t
代入x 2＋y 2＝9，得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9， 5t 2＋8t －4＝0.
|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2
－4t 1t 2＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－852＋165＝12
5，弦长为5|t 1－t 2|＝
125 5. 19.(12分)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3
2t ，
y ＝3＋1
2t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值.
解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入ρ2＝2ρcos θ得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3
2t ，y ＝3＋1
2t
(t 为参数)代入x 2＋y 2－2x ＝0，得t 2＋5
3t ＋18＝0.设这个
方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.
20.(12分)半圆x 2＋y 2＝1 (x ≥0)交x 轴于A ，O 为原点，B 是y 轴上一点，0<|OB |<1，作BC ∥OA 交半圆于C ，OC 、AB 相交于P ，当BC 运动时，求点P 的轨迹.
解：法一：设P (x ，y )，取OB ＝t ，t ∈(－1，0)∪(0，1)为参数，作PM ⊥OA 于M ，MP 交BC 于N .
∵Rt △APM ∽Rt △ABO ，∴|MP ||OB |＝|MA ||OA |，即y
t ＝1－x .①
又∵△PBC ∽△P AO ，
∴|PN ||MP |＝|BC |
|OA |，即t －y y ＝1－t 21.②
由①②式消去参数t ，得y 2
＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0<x <12，
故点P 的轨迹为抛物线的一部分(如图乙所示).
甲 乙 法二：取∠AOC ＝θ为参数，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0∪⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，
则x ＝|OP |cos θ，y ＝|OP |sin θ.∵△POA ∽△PCB ， ∴|OP ||PC |＝|OA ||BC |，∴|OP |1－|OP |＝1
cos θ，
解得|OP |＝
1
1＋cos θ，∴x ＝cos θ1＋cos θ，y ＝sin θ1＋cos θ
，
得cos θ＝x 1－x ，sin θ＝y 1－x ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1－x 2
＝1，
化简得y 2
＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0<x <12， 故点P 的轨迹为抛物线的一部分(如图乙所示).
21.(12分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，
y ＝2＋2sin α(α为参
数).M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.
(1)求C 2的方程；
(2)在以O 为极点，x 轴为正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π
3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.
解：(1)设P (x ，y )则由条件知M (x 2，y
2)，由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y
2＝2＋2sin α，
即⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α
(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ， 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径ρ1＝4sin π
3＝23，
射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径ρ2＝8sin π
3＝43，所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3. 22.(14分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－2
2t ，
y ＝5＋2
2t (t 为参数).
在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解 法一：(1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫22t 2
＝5，即t 2－32t ＋4＝0.
由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2
＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 法二：(1)同法一.
(2)因为圆C 的圆心为点(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎨⎧x 2＋（y －5）2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0.解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2＋5 或⎩⎨
⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)， 故|P A |＋|PB |＝8＋2＝3 2.。