2.1数列的极限解析

3. 指数函数y=ax (a>0,且a1)
1 x y( ) a
y ax
y=ex
(a 1)

(0,1)
定义域为(,+) 值域为(0,+) 图像过点(0,1) a>1时,函数单调增;a<1时,函数单调减
4. 对数函数y=logax (a>0且a1)
自然对数y=lnx
y log a x
陆地 C
把七座桥抽象为七条线, 如下图所示：
陆地 D
D
小岛 A
半岛 B
A
B
陆地 C
C
步行七桥问题,就相当于上图的一笔画问题, 即七桥问题的数学模型.能否将上图所示的图形 不重复地一笔画出来, 即问题的实质. 答案是不重 复走过七座桥回到出发点是不可能的.
函数模型的步骤: (1) 分析问题中哪些是变量,哪些是常量, 分别用字母表示 (2) 根据所给条件,运用数学或物理等知 识,确定等量关系 (3) 具体写出解析式y=f(x),并指明定义域
常数函数、幂函数、指数函数、 对数函数、三角函数和反三角函数 统称为基本初等函数
1. 常数函数y=C (C为常数)
y
C o x
定义域为(,+)
值域为{C} 图像为过点(0,C),且平行于x轴的直线
2. 幂函数y=x (为实数)
y y=x2 1
y=x
(1,1)
y x
o
1 y x
1
x
图像过点(1, 1)
思考题: 下列函数能否复合为函数 y=f[g(x)]?若能,写出其解析式、定义域、 值域. (1) y=f(u)= u , u=g(x)=xx2 (2) y=f(u)=lnu , u=g(x)=sinx1 解答: (1) y=f[g(x)]= x x 2 xX={x|0≤x≤1}, f(X)=[0, 1/2] (2)不能 ∵g(x)=sinx1≤0 g(x)的值域与f(u)的定义域之交集是空集
n 1
1 0
不能无限接近于 n1 n 1 1 , 1 , 1 , , ( 1 ) , ; 某数 {( 1 ) } (Ⅲ)
定义 : 设数列{xn }, 当n 时, xn无限接近a, 则 称{xn }收敛于a, 记 lim xn a,
n
1 ,求f[f(x)] 1 x
1 1 f ( x)

1 1 1 x
1
x 1 x
定义域为: (,0)∪(0,1)∪(1,+)
1 例2 设 f ( x ) ( x x ) 2 x, x 0 ,求f[g(x)], g[f(x)] g( x ) 2 x , x 0 1 解: f[g(x)]= 2 [ g( x ) g( x ) ] 1 ( x x ) =0 , x<0 2 = 1 ( x 2 x 2 ) =x2 , x≥0 2
1 x 0 0 sin x 2 , x 1 sin 1, x 0
例3 解
已知 f ( x ) sin x , f [ ( x )] 1 x , ( x )
2

2
求 ( x )及其定义域.
令 u ( x ), 则 f [ ( x )] f ( u) sin u
y cos x
余弦函数 y=cosx
定义域为(,+) 值域为[1,1] 在[(2k1), 2k]上单调增 (kZ) 在[2k, (2k+1)]上单调减 (kZ) 以2 为周期
y tan x
正切函数 y=tanx
定义域为 (k , k ) (k Z )
值域为(,+) 在有定义的区间上单调增 以 为周期
2
2
余切函数 y=cotx 定义域为(k, (k+1)) (kZ) 值域为(,+) 在有定义的区间上单调减 以 为周期
y cot x
正割函数 se cx
1 cos x
y sec x
余割函数 csc x
1 sinx
f(x )
, f(x)<0
g[f(x)]=
[f(x)]2 , f(x)≥0
1 ( x x ) =0 , x<0 2 f(x)≥0 f(x)= 1 ( x x ) =x , x≥0 2 0 , x<0 g[f(x)]=[f(x)]2 = x2 , x≥0
题
x 2 x 0 0 x 1 设 f ( x) ( x) sin x x 1 1 x 0
第二章 极限与连续
2.1 数列的极限 2.2 函数的极限 2.3 变量的极限 2.4 无穷大量与无穷小量 2.5 极限的运算法则 2.6 两个重要的极限 2.7 函数的连续性
一 、数列的极限
1. 数列极限的定义 (1) 数列：自变量取正整数的函数, 简记作
xn 称为通项(一般项) . 数列也称为整标函数. 1 2 3 n n , xn 例如, , , , , 2 3 4 n1 n1 n ( 1)n1 xn n n n x 2 2 , 4 , 8 , , 2 , n
y arctan x
定义域为(,+) 值域为 ( , ) 2 2 tan(arctanx)=x
反余切函数y=arccotx
y arccot x
定义域为(,+) 值域为(0,) cot(arccotx)=x
定义:由常数和基本初等函数经过有限次的四则 运算和有限次的函数复合步骤所构成构成并可用 一个式子表示的函数,称为初等函数. 例如
P
P F cos sin
(0< <90)
例12 （复利问题）设某人以本金 : A0元进行一项投资, 年利率为r. 如果以年为单位计算复利(即每年计息一次, 并把利息加入下 年的本金, 重复计息), 求t年后的资金总额.
设本金为A0 , 年利率为r, 计息期为t年, 终值为A
求 f ( ( x )).
解
f ( ( x))
u ( x) 0, ______ f ( u)
u1
sin u, u 1
( x ) 1 ( 1 x 0) 0, sin ( x ), ( x ) 1 ( x 1或x 0)
若为一年计息一次，则在复利制下有 一年后的本利和为 两年后的本利和为
A(1) A0 A0 r A0 (1 r )
A(2) A0 (1 r ) A0 (1 r )r A0 (1 r )2
类似有t年后的本利和为
A(t ) A0 (1 r )t
• 变量的变化趋势始终是人们关心的一个重要问题。 例如，随着时间的推移，人口的数量是无限地增 大，还是趋于一个常数；现在世界的气温在逐年 升高，100年后的气温又将是多少；由于人类不 断地开掘，地球上的资源是否会枯竭；由于激烈 的经济竞争，金融危机是否还会出现等等。 • 极限正是研究变量趋势的一个重要手段，它是从 静认识动、从近似认识精确，从有限认识无限的 数学方法，其思想贯穿于整个经济数学，是大学 数学的基础，必须很好掌握。 • 这一章的主要内容是极限和连续。连续性是函数 的一种重要性态，与以后学到的可微性、可积性 有密切关系。
xn ( 1)
n 1
2.数列极限的定义：
经济数学中常以变化的观点看问题。对于数列， 主要研究当自然数n越来越大时数列的变化趋势。
( 1) 观察数列{1 n
n1
} 当 n 时的变化趋势.
数列的极限
n 1 ( 1 ) 观察数列 {1 } 当n时的变化趋势 n
( 1) 观察数列{1 n
例如：哥尼斯堡有条普雷格尔河, 这条河有两个
支流, 在城中心汇合成大河, 河中间有一小岛,
河上有七座桥, 如图所示:
18世纪哥尼斯堡的很多居民总 想一次不重复地走过这七座桥,
陆地 D
小岛 A
半岛 B
再回到出发点.可是试来试去总
是办不到, 于是有人写信给当时 著名的数学家欧拉. 欧拉于1736 年,建立了一个数学模型解决了这个问题. 他把 A、B、C、D这四块陆地抽象为数学中的点，
函数关系是一种变量相依关系的数 学模型.数学模型方法是处理科学理论问 题的一种经典方法,也是处理各类实际问 题的一般方法.我们对数学模型方法作一 简述
数学模型方法(Mathematical Model -ling Method)称为MM方法.它是针对所 考察的问题构造出相应的数学模型,通过 对数学模型的研究,使问题得以解决的一 种数学方法
y csc x
6. 反三角函数
反正弦函数y=arcsinx
y arcsin x
定义域为[1,1] sin(arcsinx)=x
值域为 [ , ]
2 2
反余弦函数y=arccosx
y arccos x
定义域为[1,1] cos(arccosx)=x
值域为[0,]
反正切函数y=arctanx
2
故 sin u 1 x
又因
u ( x)

2
所以 u arcsin( 1 x 2 ), 即 ( x ) arcsin( 1 x 2 )
1 1 x 2 1,
0 x 2
2
即
x
2
从而 φ( x ) 的定义域为 D [ 2, 2].
三 初等函数
n 1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n 1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
nபைடு நூலகம்1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n 1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n 1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
函数模型举例
例1 重力为P的物体置于地平面上,设有 一与水平方向成 角的拉力F,使物体由 静止开始移动,求物体开始移动时拉力F 与角 之间的函数模型(如下图)
F

P
解: 由物理知识知,当水平拉力与摩擦力平 衡时,物体开始移动 摩擦力是与正压力PFsin成正比的 (设摩擦系数为) 故有, F Fcos=(PFsin)
把一个复合函数分成不同层次的函 数,叫做复合函数的分解 分解步骤: 由外向里 分解准则: 各层函数为基本初等函数 或者多项式
1 x ) 分解的各层 例如, y arcsin ln( 函数依次为: y=arcsinu u v v=lnp p=1+x2
2
例1 设 f ( x )
解: f [ f ( x )]
n 1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n 1
}当n时的变化趋势
通过上面演示实验的观察: 当 n 无限增大时，
1 4 n ( 1) ,; (Ⅰ) 2, , , , 2 3 n ( 1) n1 { xn } {1 } n 1 1 1 1 1 { n} (Ⅱ) 2 , 4 , 8 ,, 2 n ,; 2
(1,0)

(a 1)
y log 1 x
定义域为(0,+) 值域为(,+) 图像过点(1,0) a>1时,函数单调增;0<a<1时,函数单调减
a
5. 三角函数
y sin x
正弦函数 y=sinx 定义域为(,+) 值域为[1,1] 在 [2k ,2k ]上单调增 (kZ) 2 2 3 在[2k ,2k ] 上单调减 (kZ) 2 2 以2 为周期
n 1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n 1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n 1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n 1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n 1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
x y 1 x , y sin x , y cot 2
2
都是初等函数.
注:一般地分段函数不是初等函数,形式上分段但可 化为一个解析表达式的函数可能是初等函数.
x 如: y x x x
2
x0 x0
构建函数模型的步骤和方法
一、构建函数模型的步骤和方法 二、函数模型举例