广东省惠州市罗中学高一数学理模拟试卷含解析

广东省惠州市罗中学高一数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且在第一段中随机抽得的号码是003．这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第一营区，从301到495在第二营区，从496到600在第三营区．则三个营区被抽到的人数分别
为 A．25，17，8 B．25，16，9 C．26，16，8 D．24，17，9
参考答案：
A
略
2. （5分）设，则（）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
参考答案：
C
考点：不等式比较大小．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用指数函数和对数函数的性质分别判断取值范围，然后比较大小即可．
解答：0＜logπ31，，
所以0＜a＜1，b＞1，c＜0，
所以c＜a＜b，即b＞a＞c．
故选C．
点评：本题主要考查利用指数函数和对数函数的性质比较数的大小，比较基础．3. （5分）圆（x+2）2+y2=4与圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0的位置关系为（）
A．内切B．相交C．外切D．相离
参考答案：
B
考点：圆与圆的位置关系及其判定．
专题：直线与圆．
分析：求出两圆的圆心和半径，根据圆心距和半径之间的关系即可得到结论．
解答：圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，
圆心坐标为A（2，1），半径R=3，
圆（x+2）2+y2=4的圆心坐标为B（﹣2，0），半径r=2，
则圆心距离d=|AB|=，
则R﹣r＜|AB|＜R+r，
即两圆相交，
故选：B
点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，求出两圆的圆心和半径，判断圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键．
4. 设O为△ABC内一点,已知,则( )
A. B. C.
D.
参考答案：
B
由，
得，
化为，，
设，
则，即O为ADE的重心，
，
则，
，故选B.
5. 已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为 ( )．
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．x－y＋1＝0 D．x＋y－6＝0
参考答案：
C
6. 定义在R上的奇函数f（x）满足在（﹣∞，0）上为增函数且f（﹣1）=0，则不等式x?f（x）＞0的解集为（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
参考答案：
A
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据题意，由函数f（x）的奇偶性和单调性，画出函数f（x）的草图，又由x?f（x）＞
0?或，结合函数的图象分析可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上为增函数，则f（x）在（0，+∞）上也是增函数，
若f（﹣1）=0，得f（﹣1）=﹣f（1）=0，即f（1）=0，
作出f（x）的草图，如图所示：
对于不等式x?f（x）＞0，有x?f（x）＞0?或，
分析可得x＜﹣1或x＞1，
即x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；
故选：A．
【点评】本题函数的奇偶性与单调性的应用，涉及不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，利用数形结合进行求解比较容易．
7. 化简的结果是
A．B．C．D．1
参考答案：
D
8. 曲线与过原点的直线l没有交点，则l的倾斜角的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
作出曲线图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线在绕着原点旋转时，直线与曲线没有交点时，直线的倾斜角的变化，由此得出的取值范围
.
【详解】当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为.
作出曲线的图象如下图所示：
由图象可知，要使得过原点的直线与曲线没有交点，
则直线的倾斜角的取值范围是，故选：A.
【点睛】本题考查直线倾斜角的取值范围，考查数形结合思想，解题的关键就是作出图形，利用数形结合思想进行求解，属于中等题.
9. 函数y=sin（ωx+φ）的部分图象如图，则φ、ω可以取的一组值是（）
A．ω=，φ=B．ω=，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ=
参考答案：
B 【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由图象观察可知周期的值，由周期公式即可求ω的值．又因为图象过点（1，1），即可解得φ的值，从而得解．
【解答】解：由图象观察可知：3﹣1=，可解得：T=8=，从而有ω=．
又因为图象过点（1，1），所以有：sin（φ）=1，故可得：φ=2k，k∈Z，可解
得：φ=2kπ，k∈Z
当k=0时，有φ=．
故选：B．
10. 下列四个集合中，是空集的是（）
(1)． (2)．
(3)． (4)．
参考答案：
D
选项A所代表的集合是并非空集，选项B所代表的集合是并非空集，选项C所代表的集合是并非空集，选项(4)中的方程无实数根；
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等差数列中, 则的公差为______________。

参考答案：
12. 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小的圆锥与体积较大的圆锥体积之比为________．
参考答案：
13. 函数
的定义域为_________.
参考答案：
(1,+∞) 【分析】
根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可． 【详解】对数函数f （x ）＝log 2（x ﹣1）中， x ﹣1＞0， 解得x ＞1；
∴f （x ）的定义域为（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．
【点睛】本题考查了求对数函数的定义域问题，是基础题．
14. 函数
，且则实数的值为————
参考答案：
略
15. 定义在
上的奇函数
,当
时,
,则方程
的所有解
之和为
．
参考答案：
略
16. （5分）已知函数若f （x ）=2，则x= ．
参考答案：
log 32
考点： 函数的图象与图象变化． 专题： 计算题．
分析： 要求若f （x ）=2时，对应自变量x 的值，我们可根据构造方程，然后根
据分段函数的分段标准进行分类讨论，即可得到答案．
解答： 由
?x=log 32，
无解，
故答案：log 32．
点评： 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值．属于基础知识、基本运算的考查．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x 、y 取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．
17. 若，，，，则
．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在数列
中，已知
，
（1）若。

求证：
是等比数列，并写出
的通项公式
（2）求的通项公式及前项和
参考答案：
（1），
所以
是以1为首项，-1为公比的等比数列。

（2）
当为偶数时，当为奇数时，
19. 某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．
（1）求θ关于x的函数关系式；
（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．
参考答案：
【考点】根据实际问题选择函数类型；分段函数的应用．
【分析】（1）根据扇形的周长公式进行求解即可．
（2）结合花坛的面积公式，结合费用之间的关系进行求解即可．
【解答】解：（1）由题可知30=θ（10+x）+2（10﹣x），所以θ=，x∈（0，10） (5)
（2）花坛的面积为θ=（5+x）（10﹣x）=﹣x2+5x+50（0＜x＜10），
装饰总费用为9θ（10+x）+8（10﹣x）=170+10x，
所以花坛的面积与装饰总费用之比为y==﹣． (7)
令t=17+x，t∈（17，27）则y=﹣（t+）≤﹣=，…
当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=．
（若利用双勾函数单调性求最值的，则同等标准给分，但须说明单调性．）
故当x=1时，花坛的面积与装饰总费用之比最大． (12)
20. 设集合=，=，.
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）若满足，求实数的取值范围.
参考答案：
21. （14分）（2007?番禺区模拟）（1）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（0，3），C （2，4），边AC的中点为D，求AC边上中线BD所在的直线方程并化为一般式；
（2）已知圆C的圆心是直线2x+y+1=0和x+3y﹣4=0的交点且与直线3x+4y+17=0相切，求圆C的方程．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系；两条直线的交点坐标；圆的标准方程．
【专题】综合题．
【分析】（1）先求AC边的中点D的坐标，再由直线两点式，得中线BD所在的直线方程；
（2）先解方程组求得圆心的坐标，再利用点到直线的距离，求得圆的半径，即得圆的方程．
【解答】解：（1）∵A（4，1），C（2，4），
∴AC边的中点D的坐标为（3，），
又B（0，3），（2分）
由直线两点式，得中线BD所在的直线方程为（4分）
即x+6y﹣18=0（6分）
（2）解方程组得（3分）
由点（）到直线3x+4y+17=0距离得=4
∴圆的半径为4 （6分）
∴圆C的方程为：（7分）
【点评】本题考查的重点是直线与圆的方程，解题的关键是正确运用直线的两点式方程，利用点到直线的距离求半径．
22. 已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足4S n=（a n+1）2，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=，T n为数列{b n}的前n项和，求证T n＜6．
参考答案：
【分析】（Ⅰ）当n≥2时，4S n﹣1=（a n﹣1+1）2，4S n=（a n+1）2，n∈N*．两式相减，得（a n+a n﹣1）（a n ﹣a n﹣1﹣2）=0（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，得a n﹣a n﹣1=2即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n==，利用错位相减法求T n即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，4S1=（a1+1）2，即a1=1．
当n≥2时，4S n﹣1=（a n﹣1+1）2，
又4S n=（a n+1）2，n∈N*．
两式相减，得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0（a n﹣a n﹣1﹣2）=0．
因为数列{a n}的各项均为正数，所以a n﹣a n﹣1=2．
所以数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
即a n=2n﹣1（n∈N*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n==，
则T n=…①
=…②①﹣②，得=1+﹣=3﹣所以T n=6﹣＜6．。