2019全国2卷关键题评析

2019全国2卷关键题评析
【点评】很多人第4题就已经蒙了，很多人感觉今年的试题变化很大，传说中的核心素养来了，此题考查数学运算这个核心素养。

等式两边同乘以3
R ，得到12,,M M α之间的关系，通过近似处理，得到更加简洁的关系，再把还原为r R
，考查整体运算，近似计算。

还有第13题，估算和直接观察就可得到答案，培养对数感。

还有全国1卷第4题
【解析】从头到脖子的长度略大于头到咽喉的长度，过剩近似值(260.61826)0.618178<÷+÷≈，从肚脐到脚底略大于腿长，不足近似值
1050.618105170>⨯+≈，选B.
2019全国3卷向我们展示了：向我们展示了数学与美，数学与科技，数学与生活。

淘宝博约书斋店铺的《全国卷高考数学分析及应对》的第一部分分31个专题解读考纲，第二部分分5节思考教材、课标和核心素养，然后各个部分试题的分析。

因为有对高考各种指导思想的深刻理解，才会从更准确把握命题思路，理解命题意图。

【解析】记PQ OF R = ，则OPR ∆为等腰直角三角形，所以22
244c c a =+
【点评】借助对称性，在特殊三角形中构造等量关系是求基本量的常用方法，在淘宝书店博约书斋的《解析几何的系统性突破》（唯一正版销售书店）给出了很多类似求离心率的题目。

我们也可以立即给出一个变式：
变式：
的圆与双曲线的右支交于P,Q 两点，
【分析】法一：设右焦点为1F ，易得030POF ∠=，从而得到075PFO ∠=，则12cos 75,2cos15o o PF c PF c ==，由双曲线定义得：2cos152cos 752o o c c a -=，即6262144
e ⋅-=，即2e =法二：圆内接四边形可考虑托勒密定理，略。

【点评】我们常常对试题进行改编，看似相似，处理的方法不一样。

【解析】作出函数图像，直接排除CD.
法一：精确作图，直尺测量结合观察可得B 。

法二：因为当(]0,1x ∈时，()f x 值域为1,04⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦，需要把函数值转移到1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，方能求出对应的x 的值，
()()()11812249f x f x f x =-=-=-，即()()()22239
f x x x -=-=--，代值检验可得B.【点评】此题不难，但有很好的创新。

以前常常是利用周期性把自变量转移到某个区间，求得函数值，现在反过来，需要根据值域，根据类似周期的关系把自变量进行转移。

16.
【点评】第（1）个考查直观想象素养，注意到中间的面有八个，故38226.
⨯+=第（2）个只考虑正方体和中间横着的8棱柱相切，于是也与竖着的8棱柱相切，考虑在正方形中截取四个角落，使得成为正八边形，容易求得答案。

此题和下题是同一个思路：
【点评】第（2）问，推得1BE B E ⊥，E 是中点，立即可得这是1:2的矩形，在淘宝书店博约书斋的《立体几何的微观深入和宏观把握》（唯一正版销售书店）把常见图形蕴含的垂直
作了一个梳理：1:2的矩形，1:1:2的平行四边形且夹角为60°，1：1：2的两底一直角腰的直角梯形，1：1：1：2的等腰梯形，从而从学生可以秒杀一系列立体几何垂直的证明和发现题目中隐含的条件。

20.
【解析】（1）定义域优先，由()'0f x >得()f x 在()0,1单减，在()1,+∞单减；
()2222
222111222011e e e f e e e e -+++=--=-+<-+<--，()123ln 23ln 0f e -=->->，()1101
e f e e +=-<-，易得函数有两个零点。

（2）理解题意：把0x 视为已知，且满足()00f x =即0001ln 1x x x +=
-。

证明在x y e =存在一点11(,)x x e ，使得切线相同，即把1x 用0x 表示出来。

ln y x =在00(,ln )x x 切线方程为：0001ln ()y x x x x -=
-，即00121y x x x =⋅--，由10
1()'x e x =得10ln x x =-，此时x y e =在11(,)x x e 切线方程为：111()x x y e e x x -=-，即00ln ln 0(ln )x x y e e x x ---=+，把0001ln 1x x x +=
-代入得：0000111()1x y x x x x +-=--，化简得00121y x x x =
⋅--。

【点评】关键是弄懂题意，这是波利亚解题策略第一步。

在淘宝书店博约书斋即将出版的《高观点下全国卷高考压轴题研究三部曲》书中思考如何渗透波利亚解题策略，同时在一题一世界中，把一个公切线问题改编出很多个公切线的题目。

在《全国卷高考数学分析及应对》在第四部分，从审题开始分12小节谈解题。