高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图课时作业

第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图
课时作业
A组——基础对点练
1.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体
是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯
视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )
A．①②⑥B．①②③
C．④⑤⑥D．③④⑤
解析：正视图应为边长为3和4的长方形，且正视图中右上到左下的对角线应为实线，故正视图为①；侧视图应为边长为4和5的长方形，且侧视图中左上到右下的对角线应为实线，故侧视图为②；俯视图应为边长为3和5的长方形，且俯视图中左上到右下的对角线应为实线，故俯视图为③，故选B.
答案：B
2．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( )
A．8 B．4 3
C．4 2 D．4
解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．因此，侧视图是一个长为4，宽为3的矩形，其面积S＝3×4＝4 3.
答案：B
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为( )
A ．3 3
B ．2 6 C.21
D ．2 5
解析：由三视图得，该几何体是四棱锥P ­ABCD ，如图所示，ABCD 为矩形，AB ＝2，BC ＝3，平面PAD ⊥平面ABCD ，过点P 作PE ⊥AD ，则PE ＝4，DE ＝2，所以CE ＝22，所以最长的棱
PC ＝PE 2＋CE 2＝26，故选B.
答案：B
4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．12＋4 2
B ．18＋8 2
C ．28
D ．20＋8 2
解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S ＝2×1
2
×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D.
答案：D
5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A ．(25＋35)π
B ．(25＋317)π
C ．(29＋35)π
D ．(29＋317)π
解析：由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以该几何体的表面积为π＋π×(1＋2)×17＋2×π×2×4＋4π×2
2
2
＝π＋317π＋16π＋8π＝(25＋317)π，故选B.
答案：B
6．(2017·长沙模拟)某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )
A ．①③
B ．①③④
C ．①②③
D ．①②③④
解析：若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，故选A. 答案：A
7．(2018·石家庄市模拟)某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )
A.3π4 B ．π＋24
C.π＋12
D ．3π＋24
解析：由几何体的三视图知，该几何体的一部分是以腰长为1的等腰直角三角形为底面，高为3的三棱锥，另一部分是底面半径为1，高为3的圆锥的四分之三．所以几何体的体积为13×3π4×3＋13×12×1×1×3＝3π4＋12＝3π＋24，故选D. 答案：D
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．16＋8π
B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π
解析：由三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图．其中长方体的长、宽、高分别是4,2,2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4.
∴长方体的体积V 1＝4×2×2＝16， 半个圆柱的体积V 2＝12×22
×π×4＝8π.
∴这个几何体的体积是16＋8π. 答案：A
9．一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．16π
B ．12π
C ．14π
D ．17π
解析：根据三视图可知几何体是一个球体切去四分之一，则该几何体的表面是四分之三球面和两个截面(半圆)． 由题意知球的半径是2，
∴该几何体的表面积S ＝34×4π×22＋π×22
＝16π.
答案：A
10．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )
A.72 m 3 B ．92 m 3 C.73
m 3 D ．94
m 3 解析：由三视图可知，几何体为如图所示的几何体，其体积为3个
小正方体的体积加三棱柱的体积，所以V ＝3＋12＝72
(m 3
)，故选A.
答案：A
11．球面上有A ，B ，C 三点，球心O 到平面ABC 的距离是球半径的1
3，且AB ＝22，AC ⊥BC ，
则球O 的表面积是( ) A ．81π B ．9π C.81π4
D ．9π4
解析：由题意可知，AB 为△ABC 的外接圆的直径，设球O 的半径为R ，则R 2
＝(R
3)2＋(2)2
，
可得R ＝32，则球的表面积S ＝4πR 2
＝9π.故选B.
答案：B
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析：将三视图还原成直观图，得到如图所示几何体，设BC 的中点为
G ，连接AG ，DG ，△ABC 是一个边长为2的等边三角形，其高AG ＝ 3.
该几何体可以看成一个三棱锥与一个四棱锥组合而成．∴该几何体的体积V ＝V
三棱锥D ­ABG
＋V
四棱锥A ­DECG
＝13×S △ABG ×DG ＋13
×S 四边形DECG
×AG ＝13×
1
2
×1×3×2＋1
3×2×1×3＝ 3.
答案： 3
13．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析：由题意得到几何体的直观图如图，即从四棱锥P ABCD 中挖去
了一个半圆锥．其体积V ＝13×2×2×2－12×13×π×12
×2＝8－π3.
答案：8－π
3
14.某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径
为2 cm 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰)，俯视图是一个半径为2 cm 的圆(包括圆心)，则该零件的体积是________．
解析：依题意得，零件可视为从一个半球中挖去一个小圆锥所剩余的几何体，其体积为12×
4π
3×23－13×π×22×1＝4π(cm 3
)．
答案：4π cm 3
B 组——能力提升练
1．若三棱锥S ­ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，AB ＝SA ＝SB ＝SC ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A.16π3
B ．8π3
C.43π3
D ．4π3
解析：在等腰直角三角形ABC 中，AB 是斜边且AB ＝2，取AB 的中点
D ，连接CD ，SD .∴CD ＝AD ＝BD ＝1.又SA ＝SB ＝SC ＝2，∴SD ⊥AB ，
且SD ＝3，在△SCD 中，SD 2
＋CD 2
＝SC 2
，∴SD ⊥CD ，∴SD ⊥平面ABC .∴三棱锥S ­ABC 的外接球球心在SD 上，记为O ，设球半径为R ，连接OA ，则SO ＝OA ＝R ，∴在Rt △AOD 中，AD ＝1，OD ＝3－R ，AO ＝
R ，∴12＋(3－R )2＝R 2⇒R ＝
233
，∴三棱锥S ­ABC 的外接球的表面积S ＝4πR 2
＝4π×(233)2＝16π3.故选A.
答案：A
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.163
B.203
C.152
D.132
解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为23
－13×12×2×2×2－13×12×1×1×1＝132.故选D.
答案：D
3.如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为45°，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形ABB ′A ′为矩形，若沿AA ′将其侧面剪开，其侧面展开图的形状大致为( )
解析：过AB 作平行于底面的半平面α，如图，取截面边界上任一点P ，过
P 作PP ′垂直于半平面α，垂足为P ′，延长PP ′交圆柱底面于点P 1，过P
作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接MP ′，则MP ′⊥AB ，∠PMP ′就是截面与底面所成的角，∠PMP ′＝45°，设AB 的中点为O ，连接OP ′.设l AP ′＝x ，则∠AOP ′＝x
1
＝x ，在Rt △PP ′M 中，PP ′＝MP ′，在Rt △OP ′M 中，MP ′＝OP ′sin∠MOP ′＝sin x ，∴PP ′＝sin x ，PP 1＝AA ′＋sin x ，故选A.
答案：A
4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( )
A ．4
B ．5
C ．3 2
D ．3 3
解析：作出直观图如图所示，通过计算可知AF 最长且|AF |＝|BF |2
＋|AB |2
＝3 3.
答案：D
5.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( ) A.34 B ．14 C.12
D ．38
解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为1
2×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体
积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的48＝1
2，故选C.
答案：C
6．(2018·昆明市检测)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面面积，“势”是几何体的高．意思是：若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D (如图1所示)，它是由抛物线y ＝x 2
(x ≥0)，直线y ＝4及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周形成的几何体，旋转体D 的参照体的三视图如图2所示，利用祖暅原理，则旋转体D 的体积是( )
A.16π3
B ．6π
C ．8π
D ．16π
解析：由三视图知参照体是一个直三棱柱，其体积V ＝1
2×4×4×π＝8π，故旋转体D 的体
积为8π，故选C. 答案：C
7．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A ．27π
B ．48π
C ．64π
D ．81π
解析：由三视图可知该几何体为三棱锥，该棱锥的高VA ＝4，棱锥底面ABC
是边长为6的等边三角形，作出直观图如图所示．因为△ABC 是边长为6的等边三角形，所以外接球的球心D 在底面ABC 上的投影为△ABC 的中心
O ，过D 作DE ⊥VA 于E ，则E 为VA 的中点，连接OD ，OA ，DA ，则DE ＝OA
＝23×33＝23，AE ＝12VA ＝2，DA 为外接球的半径，所以DA ＝DE 2＋AE 2＝4，所以外接球的表面积S ＝4πr 2
＝64π.故选C. 答案：C
8．(2018·天津测试)若一个几何体的表面积和体积相同，则称这个几何体为“同积几何体”．已知某几何体为“同积几何体”，其三视图如图所示，则a ＝( )
A.14＋223
B ．8＋223
C.12＋223
D ．8＋2 2
解析：根据几何体的三视图可知该几何体是一个四棱柱，如图所示，
可得其体积为12(a ＋2a )·a ·a ＝32a 3，其表面积为12
·(2a ＋a )·a ·2＋a 2＋a 2
＋2a ·a ＋2
a ·a ＝7a 2＋2a 2，所以7a 2＋2a 2＝3
2a 3，解得a ＝
14＋22
3
，故选A. 答案：A
9.(2018·郑州质检)如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为( ) A ．8π B ．16π C ．32π D ．64π
解析：还原三视图可知该几何体为一个四棱锥，将该四棱锥补成一个长、宽、高分别为22，22，4的长方体，则该长方体外接球的半径r ＝2
2
＋2
2
＋4
2
2
＝22，则所求
外接球的表面积为4πr 2
＝32π. 答案：C
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．18＋2π B ．20＋π C ．20＋π2
D ．16＋π
解析：由三视图可知，这个几何体是一个棱长为2的正方体割去了两
个半径为1、高为1的14圆柱，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个1
4圆柱的侧面积的
和，即该几何体的表面积S ＝4×5＋2×2π×1×1×1
4＝20＋π，故选B.
答案：B
11．(2018·南昌模拟)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的一条侧棱的长度是________．
解析：由题意可知该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥，梯形的两底边长分别为4,2，高为3，棱锥的高为2，所以最长侧棱的长度为22
＋32
＋42
＝29.
答案：29
12．在三棱锥A BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为22，32，6
2
，则该三棱锥外接球的表面积为________． 解析：设相互垂直的三条侧棱AB ，AC ，AD 分别为a ，b ，c ，则12ab ＝22，12bc ＝32，12ac ＝62，
解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.所以三棱锥A BCD 的外接球的直径2R ＝a 2
＋b 2
＋c 2
＝6，则其外接球的表面积S ＝4πR 2
＝6π. 答案：6π
13．一个直三棱柱被削去一部分后的几何体ABCDE 及其侧视图、俯视图如图所示，其中侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形．设M 是BD 的中点，点N 在棱DC 上，且MN ⊥平面BDE ，则CN ＝_____________________________.
解析：由题意可得，DC ⊥平面ABC ，所以DC ⊥CB .若MN ⊥平面BDE ，则MN ⊥BD .又因为∠MDN ＝∠CDB ，所以△DMN ∽△DCB ，所以DN DB ＝DM DC ，故DN 26＝6
4
，解得DN ＝3，所以CN ＝CD －DN ＝
1. 答案：1
14．(2018·武汉市模拟)棱长均相等的四面体ABCD 的外接球半径为1，则该四面体的棱长为________．
解析：将棱长均相等的四面体ABCD 补成正方体，设正方体的棱长为a ，则正四面体ABCD 的棱长为2a ，正方体的体对角线长为3a ，由3a ＝2⇒a ＝233，则2a ＝26
3.
答案：26
3。