基本不等式精讲+对勾函数暴力讲解

第2讲 基本不等式精讲+对勾函数暴力讲解
【学习目标】
1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用对勾函数的性质求特定函数的最值
3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
【要点梳理】
要点1 对勾函数()0,0b
y ax a b x
=+>>的图像与性质 （1） 定义域：()
(),00,-∞+∞；
（2） 值域：()
,2,ab ⎡-∞-+∞⎣
； （3） 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，
且函数图像关于原点呈中心对称；
（4） 图像在一、三象限，当0x >时，b
y ax x
=+
≥x =
等号），即()f x 在x =
0x <
时，()f x 在x =-；
（5） 单调性：增区间⎫+∞⎪⎪⎭，,⎛-∞ ⎝，减区间是⎛ ⎝，⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
要点2 基本不等式 基本不等式：ab ≤
a ＋
b 2
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 要点3 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )．
(4)a 2＋b 22≥⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 要点4 利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 2
4.(简记：和定积最大) 【经典例题】 题型1 基本公式套用
例1 【★】已知a ，b ，
0c >，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值为________．
例2 【★•2019秋•徐汇区校级期中】设0x >，0y >，下列不等式中等号能成立的有（ ）． ①114x y
x y ⎛⎫⎛
⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②()114x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭；24；④4x y ++；
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
例3 【★•2019秋•历下区校级月考】设,a b +∈R ，则下列各式中不一定成立的是（ ）． A ．2a b ab + B ．2b a
a b
+
C 22
2ab
D ．
2ab ab a b
+
例4 【★•2019秋•迎泽区校级月考】已知实数1x >，则9
1
x x +-的最小值为（ ）
． A ．4
B ．6
C ．7
D ．10
例5 【★★】设a ，0b >，5a b +=+________．
例6 【★★•2019秋•梅河口市校级期末】已知a ，b 为正数，2247a b +=，则大值为（ ）．
A B C ．D ．2
题型2 对勾函数
例1【★★•2019秋•淮安期末】函数2
2(1)1
y x x x =+>-的最小值是( ) A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
例2【★★•2020春•龙华区校级月考】若1x >，则1
411
x x ++-的最小值等于( ) A ．6
B ．9
C ．4
D ．1
例3【★★•2019春•河北月考】若1x <，则247
1
x x x -+-的( )
A ．最小值为2
B ．最大值为2
C ．最小值为6-
D ．最大值为6-
例4【★★•2019春•东湖区校级月考】函数2
4(0)1x x y x x ++=>+的最小值是( )
A ．3
B ．4
C ．10
3
D ．6
例5【★★•2019秋•常熟市期中】若2x >，则函数4
2
y x x =+-的最小值为( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
题型3 “1”的代换
例1．【★★•2020•韶关二模】已知0x >，0y >，且12
1x y
+=，则2x y +的最小值是( ) A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
例2．【★★•2020•辽阳二模】已知0a >，0b >，32a b ab +=，则23a b +的最小值为(
)
A ．20
B ．24
C ．25
D ．28
例3．【★★•2020春•九龙坡区校级期中】若x ，y R +∈，且31
5x y
+=，则34x y +的最小值是( )
A ．5
B ．
24
5
C D ．
195
例4．【★★•2020春•昌吉市期中】若0a >，0b >，23a b +=，则36
a b
+的最小值为( ) A ．5 B ．6
C ．8
D ．9
题型4 x ，y ，xy 型
例1【★★•2019春•江岸区校级期末】已知223a b ab ++=，0a >，0b >，则2a b +的取值范围是( )
A ．(0,3)
B ．[33)
C ．[2，)+∞
D ．[2，3)
例2【★★•2020春•浙江期中】已知0x >，0y >，3236x y xy ++=，则3x y +的最小值为 ．
例3【★★•2020春•定海区校级月考】已知实数a ，b 满足1a >，0b >且2220a b ab +--=，那么2a b +的最小值是 ．
例4【★★•2020•红桥区模拟】已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是 ． 例5【★★•2020•河西区二模】已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为
例6【★★•2020•锡山区校级模拟】已知01a <<，01b <<，且44430ab a b --+=，则12
a b
+的最小值是 ．
题型5 2x ，2y ，xy 型
例1【★★•2020•浙江模拟】对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345
a b c
-+的最小值为( ) A ．12
-
B ．
12
C ．2-
D ．2
例2【★★•2019秋•聊城期末】若实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是(
)
A ．6
B ．4
C D ．
23
例3【★★•2020春•浙江期中】若正数x ，y 满足2249330x y xy ++=，则xy 的最大值是(
) A ．
43
B ．53
C ．2
D ．
54
例4【★★•2020•南通模拟】（2020•南通模拟）已知实数x ，y 满足22210x xy y ---=，则22
2522x y
x xy y +++的最大值为 ．
【课后练习】
1．【★2020春•福州期中】以下结论，正确的是（ ） A ．y ＝x +≥4 B ．e x +
＞2
C ．x （1﹣x ）≤（）2＝
D ．sin x +
（0＜x ＜π）的最小值是2
2．【★★2020•湖北模拟】直线2ax +by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）过函数图象的
对称中心，则的最小值为（ ） A ．9
B ．4
C ．8
D ．10
3．【★★2020•滨海新区模拟】已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则的最小值为
（ ） A ．13
B ．11
C ．10
D ．9
4．【★★2020•河东区一模】已知实数a 、b ，ab ＞0，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．6。