吉林省长春十一中高三数学下学期期初考试 文【会员独享】

长春市十一高中2011-2012学年度高三下学期期初考试
数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）巳知全集U R =，集合{}
{}
lg 0,21x
A x x
B x =≤=≤,则()U
C A B ⋃=（ ）
(A).(,1)-∞ (B). (,1]-∞ (C).(1,)+∞ (D). φ （2） 计算0
13sin 43cos 13cos 43sin -的结果等于（ ）
(A)．
21 (B)．33 (C)．22 (D)．2
3 （3） 函数3x y =2
1
()
2
x --的零点所在的区间是（ ）
（A ）.(1,0)- （B ）.(0,1) （C ）.)2,1( （D ）.(2,3) （4） 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2
1
1=
a ，204=S ，则=6S （ ） (A)．16 (B)．24 (C)．36 (D)．48
（5）已知命题:(,0),23x x p x ∃∈-∞<；命题:q x ∀∈R ,32
()6f x x x =-+的极大值为
6．则下面选项中真命题是（ ）
（A ）.（⌝p ）(∧⌝q ） （B ）.（⌝p ）(∨⌝q ） （C ）.p ∨（⌝q ） （D ）.p ∧q （6）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,
n a n >=，且1212n a a -=，则当1n ≥时，
2123221log log log n a a a -+++=（ ）
（A ）.12n + （B ）.2(1)2
n + （C ）.2n （D ）.2
n
（7）在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D 是侧面BB 1C 1C 的中心,则AD
与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )
(A).300 (B).450 (C).600 (D).900
（8）给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两 个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不 垂直．其中为真命题的是（ ）
(A). ①和② (B). ②和③ (C) .③和④ (D). ②和④
（9）已知向量a (sin ,2),(1,cos )b θθ=-=，且a ⊥b ，其中(0,
)2
π
θ∈，则sin cos θθ+等
于（ ）
（10）已知抛物线)0(22>=p px y 的准线与圆07622=--+x y x 相切,则p 的值为
( )
(A).
2
1
(B).1 (C).2 (D).4 （11）函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-)2(),1(log )
2(,22
3
1x x x e x ，则不等式f （x ）＞2的解集为（ ） (A). (2,4)- (B).（4-，-2 ）∪（1-，2 ） (C).（1，2）∪（10，+∞） (D).（10，+∞）
（12）已知双曲线22221x y a b
-=，过右焦点且倾斜角为0
45的直线与双曲线右支有两个交点，
则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
(A). )2,1(
(B).
(C).
(D). 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)已知数列{}n a 中，11=a ，n
n
n a a a 211+=
+，则6a = ．
（14）在直角坐标系xOy 中，设集合Ω{}
10,10),(≤≤≤≤=y x y x ，在区域Ω内任取一点P （y x ,），则满足1≤+y x 的概率等于 ． （15）函数x x x f 2sin 22)4
2sin()(--
=π
的最小正周期是 .
(16) 某人站在60米高的楼顶A 处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C 的仰角为300
，塔
底B 的俯角为150
，已知楼底部D 和电视塔的底部B 在同一水平面上，则电视塔的高 为 米．
三，解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 （17）（本小题满分12分） 已知函数1)4
2sin(2)(++
=
π
x x f ．
（1） 若把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右
平移
6
π
，得到函数()y g x =的图象，写出()g x 的函数解析式； （2） 若(4,sin ),(3,cos ),(0,)2
a b π
ααα==∈且a 与b 共线，求()()f g αα-的值．
(18)（本小题满分12分）
已知矩形ABCD
的边长5
AB =一块三角板∆PBD 的
边02,30PD PBD =∠=，且0
90BPD ∠=，如图． （1）要使三角板∆PBD 能与平面ABCD 垂直放置，
求,PA PC 的长；
（2）求四棱锥P ABCD -的体积． (19)(本小题满分12分)
在数列{}n a 中，11=a ，p p a a n n (1+=+为常数，)*
∈N n ，且1a ，2a ，5a 成公比不为1
的等比数列．
（1）求p 的值； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较n S 与)(8622*
∈+-N n n n 的
大小，并说明理由． （20）（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>过点(3,1)A ，左、右焦点分别为12,F F
，离心率为
3
，经过1F 的直线l 与圆心在x 轴上且经过点
A 的圆C 恰好相切于点(0,2)
B ． （1）求椭圆E 及圆
C 的方程；
（2） 在直线l 上是否存在一点P ，使PAB ∆为以PB 为底边的等腰三角形？若存在，求点P 的坐标，否则说明理由． （21）（本小题满分12分） 设x x x
a
x f ln )(+=
，3)(23--=x x x g ． （1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程；
（2）如果存在1x ，[]2,02∈x ，使得M x g x g ≥-)()(21成立，求满足上述条件的最大整数M ； （3）当1≥a 时，证明对于任意的s ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,2
1t 都有
)()(t g s f ≥成立．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果
多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径 ，AC 是⊙O 的一条弦 ，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，且DE 交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若
53=AB AC ，求DF
AF
的值. （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，
曲线C 1 : x 1t c o s s i n
y t α
α=+⎧⎨
=⎩（t 为参数），曲线2:1C ρ=． （Ⅰ）写出C 1与C 2的普通方程；
（Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线． （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()+2+3
f x x a x =
- （Ⅰ）当1a =时，求函数()y f x =的最小值，并指出取得最小值时x 的值； （Ⅱ）若1a ≥，讨论关于x 的方程()f x =a 的解的个数．
长春市十一高中2011—2012学年度高三下学期期初考试
数学（文科）试题 参考答案与评分标准
一、 选择题
（1）C （2）A （3）C （4）D （5）B （6）C （7）C （8）D （9）D （10）C （11）C （12）A 二、填空题 （13）
111 （14）2
1
（15）π （16）120+403。

三、解答题
（17）解：（1）由题意，可知，
()1)1)
44()1)
12
f x x y x
g x x ππ
π
=++⇒=++⇒=++
………4分
（2）∵a 与b 共线，∴443
tan ,sin ,cos 355
ααα=
==， ………………6分
()()[1)][1)]412
f g ππ
αααα-=+-+
)sin()]4
12
π
π
αα+
-+
=
2950
- ………………………12分
18．解：（1）在∆PBD 中，0
90BPD ∠=，0
2,30PD PBD =∠=
且AB =
则BC =
P 作PO BD ⊥交BD 于O
，可知1PO DO ==，
∴cos BDC ∠=
cos BDA ∠=， …………………………6分
∴PA
=
同理，5
PC =
……………………………8分
（2）∵四棱锥P ABCD -中，高PO =底面矩形边长5AB =
，5
BC =，
代入锥体体积公式得 P ABCD V -=
15
……………………………12分 （19）解：解析（1）∵p a a n n +=+1，∴p p a a n n (1+-+为常数，)*∈N n ∵11=a ，∴数列{}n a 是首项为1，公差为p 的等差数列， ∴p n a n )1(1-+=，p a +=12，p a 415+= ∵1a ，2a ，5a 成公比不为1的等比数列，
∴5122a a a ⋅=，即p p 41)1(2+=+，解得0=p 或2=p ，因为当0=p 时，n n a a =+1，
不合题意，舍去。

∴2=p 。

…………………………6分 （2）由（1）知12-=n a n ，所以)(2
)
121(2*∈=-+=
N n n n n S n
∴)4)(2(862862222--=-+-=-+-n n n n n S n n n ∴当2=n 或者4=n 时，n S n n =+-8622； 当3=n 时，n S n n <+-8622；
当1=n 或者4>n 时，n S n n >+-8622。

……………………………12分
2（20）解：（1）
c a =3
，则22
9a b =， ∴椭圆22
22:19x y E b b
+=，1(,0)F c ，(0,2)B
∴2
:()l y x c c
=
+ ………………………3分
设圆心(,0)M m ，半径r ，则由MA MB =，得1,m r MA ===
∴圆()2
2
:15C x y -+=，又1MB BF ⊥
∴
22
1c m
⨯=--，从而4c =，结合229a b =得2218,2a b == ∴椭圆22
:
1182
x y E += ……………………6分
（2）假设存在一点P ，使PAB ∆为以PB 为底边的等腰三角形，则有PA AB =，
由（1）知2:(4),4l y x =+即1
22
y x =+，设直线l 上的点(2,2)P t t +， ∴PB 中点(,2)2t H t +，又123
AH t k t +=-，12PB k =，
由1PB AH k k =-得2t =
∴所求的点为(4,4)P …………………………12分 21. 解：解：（1）当2=a 时，x x x x f ln 2)(+=，1ln 2
)(2/++-=x x
x f 。

∴2)1(=f ，1)1(/-=f 。

∴)(x f y =在1=x 处的切线方程为3+-=x y 。

………………………3分 （2）存在1x ，[]2,02∈x ，使得M x g x g ≥-)()(21成立。

如下表，对照3)(2
3--=x x x g ，)32(323)(2
/
-=-=x x x x x g 。

x 0 （0，
32
） 3
2 （3
2
，2） 2 )(/x g
0 -
+
8 )(x g
-3
递减
极（最）小值27
85-
递增
1
由上表可知27
85)32()(min -
==g x g ， 1)2()(max ==g x g 。

27
112
)()(max max =
-x g x g 。

∴满足条件的最大整数M=4。

………………………7分 （3）由（2）知，在区间 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,21上，)(x g 的最大值为1)2(=g
∵）当1≥a 时，且⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈2,21x 时，x x x x x x a x f ln 1
ln )(+≥+=，
记x x x x h ln 1)(+=
，01ln 1
)(2/<++-=x x
x h ，0)1(/=h 。

当⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∈1,21x ，01ln 1
)(2/
<++-
=x x
x h ；
当(]2,1∈x ，01ln 1
)(2
/
>++-
=x x x h ； ∴函数x x x x h ln 1)(+=
在区间⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈1,21x 上递减，在区间(]2,1上递增。

∴1)1()(min ==h x h ，即1)(≥x h 。

即当1≥a 时，且⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，1)(≥x f 成立。

∴)2()(g x f ≥∴)()(x g x f ≥。

即当1≥a 时，对于任意的s ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,21t 都有)()(t g s f ≥成立。

……………12分
（22）解：（Ⅰ） 证明：连结OD ，可得ODA OAD DAC ∠=∠=∠
∴OD AE ， 又AE DE ⊥
∴DE OD ⊥，又OD 为半径 ∴DE 是⊙O 的切线 …………………5分 （Ⅱ）过D 作DH ⊥AB 于H 则有∠DOH=∠CAB cos ∠DOH=cos ∠CAB=
3
5
AC AB = 设OD=5x ，则AB=10x ，OH=3x ，DH=4x
∴AH=8x AD 2=80x 2
由△AED ∽△ADB 可得 AD 2
=AE ·AB=AE ·10x
∴AE=8x ……………………………8分
又由△AEF ∽△DOF 可得AF ∶DF= AE ∶OD =85
； ∴
AF DF =8
5
………………………10分 (23)解：（Ⅰ）1C ：tan (1)y x α=-，2C ：2
2
1x y += ……………5分
（Ⅱ）由1C 的普通方程得sin cos sin 0x y ααα--=，设2
(sin ,sin cos )A ααα-
故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：
()21sin 21sin cos 2
x y αααα⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩为参数，P 点轨迹的普通方程为2
211416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
故P 点轨迹是圆心为1
04⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，半径为
1
4
的圆． ……………………………10分 （24） 解：（Ⅰ）∵23(2)(3)5x x x x ++-≥---=
∴min ()5f x =，当且仅当1
2(3),2
x x x -=-+=
时()f x 取最小值 ………4分 （2）213x a x +=--，设()g x =213x x +--，则()g x =2
,222
,2322
,34x x x x x x x x x +⎧-≤-⎪-⎪
+⎪-<≤⎨-⎪
+⎪>⎪-⎩
， 画出其图象可知，当5a >时，原方程有2个解；当5a =时，原方程有1个解； 当15a ≤<时，原方程无解 ……………………………10分。