人教版高中数学必修五课时作业5：3.3.2 简单的线性规划问题

3．3.2 简单的线性规划问题
一、基础达标
1．若点(x, y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为() A．－6 B．－2 C．0 D．2
答案 A
解析画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，
把z＝2x－y变形为y＝2x－z，
则直线经过点A时z取得最小值；
所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A. 2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，
x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )
A ．9 B.157 C ．1 D.7
15
答案 A
解析 画出可行域如图：
当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －y －3＝0，
x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9.
3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，
y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )
A ．－7
B ．－4
C ．1
D ．2 答案 A
解析 由z ＝y －2x ，得y ＝2x ＋z ，作出可行域如图， 平移直线y ＝2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝2x ＋z 经过点D 时，直线y ＝2x ＋z 的截距最小，
此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2＝0y －3＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝5
y ＝3，即D (5,3)．
将D 点坐标代入z ＝y －2x ，得z ＝3－2×5＝－7，故选A. 4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，
x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分
别为________． 答案 3，－11
解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.
5．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 答案 [3,8]
解析 作出不等式组
⎩⎪⎨
⎪⎧
－1≤x ＋y ≤4
2≤x －y ≤3
表示的可行域，如图中阴影部分所示． 在可行域内平移直线2x －3y ＝0，
当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值，z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.
所以z ∈[3,8]．
6．已知x ，y 满足约束⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，
x ≥1，
z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．
解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5,2)时，z max ＝2×5－2＝8.
当l 移动到l 2，即过点C (1,4.4)时， z min ＝2×1－4.4＝－2.4.
7．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．若公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，并计算此时的最大利润？
解 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件x ，y 满足的
约束条件为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤12，
2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，
x ≤8，y ≤7，x ∈N *
，y ∈N *
，
目标函数z ＝450x ＋350y .作出约束条件所示的平面区域
(图略)，然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z ＝450×7＋350×5＝4 900.
该公司派用甲型车7辆，乙型车5辆时，利润最大为4 900元． 二、能力提升
8．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y ≤3，
y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )
A.14
B.1
2 C ．1 D ．2 答案 B
解析 先根据约束条件画出可行域，设z ＝2x ＋y ， 则y ＝－2x ＋z ，将最大值转化为y 轴上的截距， 当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z 最小，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，2x ＋y ＝1，得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝－1，所以B (1，－1)． 将B 点坐标代入直线y ＝a (x －3)得，a ＝1
2
，故选B.
9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧
0≤x ≤
2，
y ≤2，
x ≤2y
给定．若M (x ，y )为D
上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →
的最大值为________．
答案 4 解析
由线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤2，
y ≤2，x ≤2y
画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →
＝2x ＋y ，将其化为y
＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4. 10．在线性约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，
3x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．
解 如图作出线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y ≥12，
x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12
下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点
A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点
B (9,1)，x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点
C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z .即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.
11．预算用2 000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为
⎩⎪⎨⎪⎧
50x ＋20y ≤2 000，
y ≥x ，y ≤1.5x ，
x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *
.
由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2 000，
y ＝x ，解得⎩⎨⎧
x ＝200
7
，
y ＝2007，
所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫
2007，2007.
由⎩⎪⎨⎪⎧
50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝25，y ＝752
.所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫25，75
2. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007、B ⎝
⎛⎭⎫25，752、
O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．
由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝
⎛⎭⎫25，75
2，但注意到x ∈N *，y ∈N *，
故取⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝25，y ＝37.
故买桌子25张，椅子37把是最好的选择． 三、探究与创新
12．某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大．最大收益是多少万元？
解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤300，
500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤300，
5x ＋2y ≤900，
x ≥0，y ≥0.
目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .作出可行域如图所示： 作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.
平移直线l ，由图可知当l 过点M 时，目标函数z 取得最大值．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900.
得M (100,200)．
故z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)．
答 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．。