六章平稳时间序列
数学建模(平稳时间序列分析)
平
计
稳
算
非
样
白
本
噪
相
声
关
序
系
列
数
模型 识别
参数 估计
模
序
N
模型
Y型
列
检验
优
预
化
测
计算样本相关系数
样本自相关系数 样本偏自相关系数
nk
(xt x)( xtk x)
ˆk t1 n
(xt x)2
t 1
ˆkk
Dˆ k Dˆ
ˆk
模型识别
基本原则
拖尾 q阶截尾
均值
Ext
1 1
0 p
协方差
(k
)
2
GiGik
i0
自相关系数
(k) (k) (0)
G jG jk
j0
G
2 j
j0
ARMA模型的相关性
自相关系数拖尾 偏自相关系数拖尾
例2.7:考察ARMA模型的相关性
拟合模型ARMA(1,1): xt 0.5xt1 t 0.8t 并直观地考察该模型自相关系数和偏自 相关系数的性质。
例2.5— (1)xt 0.8xt1 t
自相关系数按复指数单调收敛到零
例2.5:— (2)xt 0.8xt1 t
例2.5:— (3)xt xt1 0.5xt2 t
自相关系数呈现出“伪周期”性
例2.5:— (4)xt xt1 0.5xt2 t
Exs t 0,s t
特别当0 0 时，称为中心化 AR( p)模型
平稳时间序列预测法概述
平稳时间序列预测法概述平稳时间序列预测法是一种常用的时间序列分析方法，用于对平稳时间序列数据进行预测和建模。
这种方法基于时间序列的统计特性和历史模式，通过对过去时间点的观察和分析，来推断未来的趋势和模式。
平稳时间序列是指在统计意义下具有相同的均值、方差和自协方差的时间序列。
平稳时间序列的特点是其统计特性不会随时间而变化，即没有趋势、季节性和周期性。
由于平稳时间序列没有这些变化，因此通过对其进行建模和预测会更容易和准确。
平稳时间序列预测法通常分为两种主要方法：直观法和数学统计法。
直观法是一种基于观察和直觉的预测方法。
它主要是通过对时间序列的图形和趋势进行分析和观察，来预测未来的值。
直观法的优点是简单易懂，适用于简单的时间序列预测问题。
然而，直观法的缺点是主观性较强，可能受到个人经验和认知的影响。
数学统计法是一种基于数学模型和统计方法的预测方法。
它通过对时间序列数据进行分析和建模，来预测未来的趋势和模式。
常用的数学统计方法包括平均法、指数平滑法、自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。
平均法是最简单的数学统计方法之一，它通过计算时间序列的平均值来预测未来的值。
指数平滑法是一种以指数加权平均值为基础的预测方法，适用于序列有较强的趋势性时。
ARMA 模型是一种常用的时间序列模型，它对序列的自相关性和移动平均性进行建模，用于预测未来的值。
SARIMA模型是对ARMA模型进行扩展，考虑了序列的季节性变化，适用于有季节性趋势的时间序列。
平稳时间序列预测法的主要目的是为了预测未来的值，以便辅助决策和规划。
它在经济学、金融学、管理学等领域都有广泛的应用，例如股票预测、销售预测、经济增长预测等。
需要注意的是，平稳时间序列预测法仅适用于平稳时间序列。
对于非平稳时间序列，需要先进行平稳性检验和转换，然后再进行预测建模。
此外，时间序列预测还需要考虑模型的选择和参数的确定，以及模型的评估和验证等问题。
平稳时间序列模型
（1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它
的平稳的随机过程或模型； （2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通 过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳 的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。
（六） 中国GDPP的 ARMA(p,q)模型
ARMA(1,1) ARMA(2,2)
ARIMA(8,2,7)非对称
p阶自回归模型,简记为AR(p)：
xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t
0 且 1 1 2 p , Var( x ) t
（二）向量自回归模型定义 VAR（Vector AutoRegression，向量自回归）
•1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。 •VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归 模型。
q 阶移动平均模型，
xt t 1 t 1 2 t 2 q t q q 0 2 E ( t ) 0，Var ( t ) , E ( t s ) 0, s t
特别当
0
时，称为中心化
MA(q) 模型
二、自回归模型
（一） AR模型的定义 1阶自回归模型,记为AR(1)： xt=0+1xt-1+t (1) E(t)=0,Var(t)=2, E(ts)=0, st 若序列是弱平稳的,则 E(xt)=, Var(xt)=0, Cov(xt, xt-k)=k 由(1)可得 E(xt)=0+1E(xt-1) 0 因此
计量经济学-第6章⑴时间序列的平稳性及其检验.ppt
⒉经典回归模型与数据的平稳性
• 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。
• 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致 性”要求——被破怀。
• 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变 量
• 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求： (1)X与随机扰动项 不相关∶Cov(X,)=0
Xt=Xt-1+t
这里， t是一个白噪声。
容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)
为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的 初值为X0，则易知
X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 ……
Xt=X0+1+2+…+t 由于X0为常数，t是一个白噪声，因此Var(Xt)=t2 即Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序 列。
Xt= 1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k 该随机过程平稳性条件将在第二节中介绍。
三、平稳性检验的图示判断
• 给出一个随机时间序列，首先可通过该 序列的时间路径图来粗略地判断它是否 是平稳的。
• 一个平稳的时间序列在图形上往往表现 出一种围绕其均值不断波动的过程；
• 而非平稳序列则往往表现出在不同的时 间段具有不同的均值（如持续上升或持 续下降）。
不难验证:1)||>1时，该随机过程生成的时间序列是 发散的，表现为持续上升(>1)或持续下降(<-1)， 因此是非平稳的；
2)=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。
第二节中将证明:只有当-1<<1时，该随机过程 才是平稳的。
• 1阶自回归过程AR(1)又是如下k阶自回归AR(K)过 程的特例：
平稳时间序列模型的建立概述
平稳时间序列模型的建立概述平稳时间序列模型是一种常用的时间序列分析方法，用于描述和预测时间序列数据的变化模式。
该模型假设时间序列数据的统计特性在时间上保持不变，即均值和方差不随时间发生明显的变化。
以下是平稳时间序列模型的建立概述。
第一步是数据的预处理。
在建立平稳时间序列模型之前，需要对原始时间序列数据进行一些预处理，包括去除趋势、季节性和周期性等。
去趋势可以采用差分方法，即对时间序列数据进行一阶差分，得到的差分序列不再具有明显的趋势性。
去除季节性和周期性可以使用季节性差分或移动平均方法。
第二步是对预处理后的序列进行统计特性分析。
这包括计算序列的均值、方差、自相关函数和偏自相关函数等统计指标。
通过分析这些指标，可以了解序列的平稳性、周期性和相关性等统计特性。
第三步是根据统计分析结果选择适合的时间序列模型。
常用的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。
选择模型的原则是使模型具有较好的拟合效果并具有良好的预测性能。
第四步是模型参数的估计与诊断。
对于选定的时间序列模型，需要估计模型的参数。
这可以通过最大似然估计或最小二乘估计等方法进行。
估计得到模型参数之后，需要对模型进行诊断检验，判断模型是否合理。
常用的诊断方法包括残差平稳性检验、残差序列的白噪声检验和残差的自相关函数和偏自相关函数检验等。
第五步是模型预测与评估。
通过已建立的平稳时间序列模型，可以对未来的序列数据进行预测。
预测的准确性可以通过计算预测误差和拟合优度等指标进行评估。
若模型的预测效果较好，则可应用该模型进行实际预测。
总之，平稳时间序列模型的建立过程包括数据的预处理、统计特性分析、模型选择、参数估计与诊断以及模型预测与评估等步骤。
通过这些步骤的实施，可以建立一个合理且具有较好预测效果的平稳时间序列模型。
平稳时间序列模型的建立概述（续）第一步是数据的预处理。
平稳时间序列模型概述
平稳时间序列模型概述平稳时间序列模型是一种常见的时间序列分析方法，用于对事物在一定时间范围内的变化进行建模和预测。
平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差在任意时刻都保持不变，即不受时间的影响。
平稳时间序列模型有许多不同的形式，其中最常见的是自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARMA）。
ARMA模型由自回归（AR）部分和移动平均（MA）部分组成，描述了时间序列的自相关和滞后误差，可以用来预测未来的观测值。
SARMA模型在ARMA模型的基础上加入了季节性因素，适用于存在明显季节性变化的时间序列。
ARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项。
SARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} + \gammaX_{t-m} + \phi_1\gamma X_{t-m-1} + \dots + \phi_p\gammaX_{t-m-p} + \epsilon_t \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项，\( \gamma \)是季节性系数，\( X_{t-m},\dots, X_{t-m-p} \)是过去的季节性观测值。
计量经济学第6章时间序列分析
则一个时间序列是“弱平稳的”，通常情况下，我们所 说的平稳性指的就是弱平稳。
三、五种经典的时间序列类型
1.白噪声（ White noise）
白噪声通常用εt表示，是一个纯粹的随机过程，满足： （1）E(εt) = 0 , 对所有t成立； （2）V ar(εt) = σ2，对所有t成立； （3）Cov (εt, εt+k) = 0，对所有t和k≠0成立。
而与α、β无关。
2. ADF检验
在DF检验中，实际上是假定了时间序列是由具有白噪声 随机误差项的一阶自回归过程AR(1)（见教材式6.3.2）生成的。 但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成 的，或者随机误差项并非是白噪声的，为了保证DF检验中随 机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，
第六章 时间序列分析
6.1 时间序列分析的基本概念 6.2 平稳性检验 6.3 ARIMA模型 6.4 协整与误差修正模型 6.5* 向量自回归（VAR）模型
第一节 时间序列分析的基本概念
一、时间序列与随机过程
随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为{X t ，t T }
的两个模型分别进行检验，可以得到同样的结论。
第三节 ARIMA模型
ARIMA 模 型 （ autoregressive integrated moving average model ），又称为 Box-Jenkins 模型，简称为 BJ 模 型。它是单变量时间序列在同方差情况下进行线性建模的 最常用的方法。 ARIMA 模型实质上是差分运算与 ARMA 模型 的组合，它不同于经济计量模型的两个主要特点是：第一， 这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的 变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化；第二，明 确考虑时间序列的非平稳性，如果时间序列非平稳，建立 模型之前应先通过差分把它变换成平稳的时间序列，再考 虑建模问题。
平稳时间序列分析
0
varX t
(1
2 1
2 q
)
2
1
cov( X t , X t1 )
(1
1 2
2 3
q
1
q
)
2
q 1
cov( X t ,
X t q1 )
( q1
1
q
)
2
q
cov( X t , X tq )
q
2
当滞后期不小于q时，Xt旳自协方差系数为0。
所以:有限阶移动平均模型总是平稳旳。
3、ARMA(p,q)模型旳平稳性
• 有时，虽然能估计出一种较为满意旳因果关系回归方程， 但因为对某些解释变量将来值旳预测本身就非常困难，甚 至比预测被解释变量旳将来值更困难，这时因果关系旳回 归模型及其预测技术就不合用了。
在这些情况下，我们采用另一条预测途径：经过时间 序列旳历史数据，得出有关其过去行为旳有关结论，进而 对时间序列将来行为进行推断。
0
2 X
2
12
在稳定条件下，该方差是一非负旳常数，从而有 ||<1。
而AR(1)旳特征方程
(z) 1 z 0
旳根为
z=1/
AR(1)稳定，即 || <1，意味着特征根不小于1。
例 AR(2)模型旳平稳性。 对AR(2)模型
X t 1 X t1 2 X t2 t
方程两边同乘以Xt，再取期望得：
所使用旳工具主要是时间序列旳自有关函数 （autocorrelation function，ACF）及偏自有关函 数（partial autocorrelation function， PACF ）。
1、AR(p)过程
(1)自有关函数ACF 1阶自回归模型AR(1)
第六章 平稳时间序列预测
第六章平稳时间序列预测第一节平稳时间序列预测概念第二节最小均方误预测第三节条件期望预测第四节适时修正预测第五节指数平滑预测与ARMA模型第一节平稳时间序列预测的概念). (ˆ,,,)0(}{,,,}{ ,1l x ltlxtxxxtxttlttttt为预测值记的预测向前期步长为为原点的以这种预测称为进行预测以后的观察值对时刻用序列以前的观察值为及在时刻且零均值平稳序列设当前时刻为> +-第二节最小均方误预测(正交投影预测)一、最小均方误差预测概念二、平稳ARMA模型最小均方误预测的推导一、最小均方误差预测概念.)2(min )](ˆ[)](ˆ[:,)1(:)(ˆ)(ˆ:,)0(,,,,)(ˆ221值的函数预测值是过去时间序列即预测误差的方差最小足如下两条件准则步最小均方误预测要满所谓其预测误差记为进行的预测对的条件下为已知设=-=-=>+++-l x x E l e E l l x x l el x x x l x t l t t t l t t l t t t t （若预测函数是线性的，则称线性最小均方误预测）二、平稳ARMA 模型最小均方误预测的推导∑∑∞=-++--++-++--+++--∞=--++++=++++++=+=+++=====011110111111002211001:1:)()()(:)()(:j jt j l t l l t l t t l t l t l l t l t l t t t t j j t j t t t tt a G a G a G a G a G a G a G a G a G x l t G a G a G a G a G a B G a B B x a B x B ARMA代入上式得将下标其中如下此模型写成其传递形式模型如下设有平稳θφθφ由于预测只能建立在到t 时刻为止的可用信息的基础上，因此，根据最小均方误预测的第二个准则，以及平稳可逆序列可以表示成传递函数形式的论断，可以将预测值表示成能够估计的项a t ，a t-1，……，的加权和的形式：)(ˆl xt+++==-+-+∞=-+∑2*21*1*0*)(ˆt l t l t l j j t j l t a G a G a G a G l x .""*达到最小的意义下确定可以在预测误差的方差系数权式中jl G +由上得以t 为原点，向前l 步的预测误差为：∑∞=-+++--+++-++++=-=0*11110)()(ˆ)(j jt jl j l t l l t l t t l t t a GG a G a G a G l xx l e 由于at 是白噪声，故有：⎩⎨⎧=≠=+002j j o a Ea ajt t σ∑∑∞=++-=+-+==-02*212222)())(())(ˆ(::j j l jl al j jat t lt G GGl e E l x x E σσ预测误差的方差为所以.,:*上式达到最小值时当很容易看出j l jl G G++=因此可得x t+l 的最小均方误预测为：+++=-+-+2211)(ˆt l t l t l t a G a G a G l x预测误差为：1110)(ˆ)(+--++++++=-=t l l t l t t l t t a G G a G l xx l e 误差方差为：∑-=++++=12222222)1())((l GG G G l e E σσ由上推导可知，（1）最小均方误预测误差的方差和预测步长l有关，而和预测的时间原点无关。
平稳时间序列模型
作业一：时间时间序列模型主要包括自回归模型（Auto Regressive Model ）简称AR 模型，移动平均模型（Moving Average Model ）简称MA 模型，自回归移动平均模型（Auto Regressive Moving Average Model ）简称ARMA 模型。
下面的t X 为零均值（即中心化处理的）平稳序列。
（1）一般自回归模型AR(n ) 假设时间序列t X 仅与n t t t X X X ---,,,21 有线性关系，而在n t t t X X X ---,,,21 已知条件下，t X 与),2,1( ++=-n n j X j t 无关，ta 是一个独立于n t t t X X X ---,,,21 的白噪声序列，),0(~2a t N a σ。
t n t n t t t a X X X X ++++=---ϕϕϕ 2211上式还可以表示为n t n t t t t X X X X a -------=ϕϕϕ 2211特点，)(AR n 系统的响应t X 具有n 阶动态性。
)(AR n 模型通过把t X 中的依赖于n t t t X X X ---,,,21 的部分消除掉之后，使得具有n 阶动态性的序列t X 转化为独立的序列t a 。
因此，拟合)(AR n 模型的过程也就是使相关序列独立化的过程。
)(AR n 系统的特征是系统在t 时刻的响应t X 仅与其以前时刻的响应n t t t X X X ---,,,21 有关，而与其以前时刻进入系统的扰动无关。
（2）移动平均模型)(MA m如果一个系统在t 时刻的响应t X ，与其以前时刻 ,2,1--t t 的响应 ,,21--t t X X 无关，而与其以前时刻m t t t ---,,2,1 进入系统的扰动m t t t a a a ---,,,21 存在着一定的相关关系，那么，这一类系统为)(MA m 系统。
《平稳时间序列》课件
通过分析股票市场的波动数据，平稳时间序列方法可以帮助预测未 来市场的波动情况，有助于投资者制定风险管理策略。
行业趋势
通过对不同行业股票数据的平稳时间序列分析，可以预测未来行业 的发展趋势，有助于投资者进行行业配置和投资决策。
06
时间序列分析软件介绍
EViews软件介绍
适用范围
EViews是专门用于时间序列分析的软件，广泛应用于经济学、金 融学等领域。
降水预测
通过对历史降水数据的分析，平稳时间序列方法可以帮助 预测未来降水情况，有助于农业生产和灾害防范。
极端天气事件
通过分析极端天气事件的历史数据，平稳时间序列模型可 以预测未来极端天气事件的频率和强度，有助于防范自然 灾害。
股票市场预测
股票价格
利用历史股票价格数据，平稳时间序列模型可以预测未来股票价 格的走势，有助于投资者制定投资策略和风险控制。
列。
Holt's线性指数平滑
02
结合了趋势和季节性因素，适用于具有线性趋势和季节性变化
的时间序列。
Holt-Winters指数平滑
03
适用于具有非线性趋势和季节性变化的时间序列，能更好地捕
捉数据的季节性变化。
季节性自回归积分滑动平均模型(SARIMA)预测
01
SARIMA模型
结合了季节性和非季节性因素，适用于具有季节性和非季节性变化的时
04
平稳时间序列的预测
线性预测
线性回归模型
通过建立自变量与因变量之间的线性关系，预测时间序列的未来 值。
线性趋势模型
适用于具有线性趋势的时间序列，通过拟合线性方程来预测未来 趋势。
简单移动平均模型
对时间序列进行移动平均处理，根据历史数据预测未来值。
六章 平稳时间序列
第六章 平稳时间序列模型时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点，对于制定精确定价和预测决策是至关重要的，近代计量经济学和金融市场的许多研究成果和市场决策理论愈来愈多是建立在时间序列分析的基础上。
Engle 和Grange 因为他们的时间序列模型在经济金融中的广泛应用而获得2003年的诺贝尔经济学奖，就是时间序列分析方法的重要性在世界上被广泛认可的有力证明．近代计量经济和金融市场的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。
传统应用较广的是Box 和Jenkins （1970）提出的ARIMA （自回归求和移动平均）方法；Engle(1982)提出了ARCH 模型（一阶自回归条件异方差），用以研究非线性金融时间序列模型，由此开创了金融时序独树一帜的研究思路和方法。
随着时间序列分析理论和方法的发展，美国学者Schemas 和Lebanon 发现股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象，米尔斯也指出金融时间序列似乎通常可以用随机漫步来很好近似，非线性时间序列模型被广泛应用在金融时间序列分析中。
就数学方法而言，平稳随机序列的统计分析，在理论上的发展比较成熟，从而构成时间序列分析的基础。
因此，本章从基本的平稳时间序列讲起。
第一节 基本概念一、随机过程在概率论和数理统计中，随机变量是分析随机现象的有力工具。
对于一些简单的随机现象，一个随机变量就足够了，如候车人数，某单位一天的总用水量等。
对于一些复杂的随机现象，用一个随机变量来描述就不够了，而需要用若干个随机变量来加以刻画。
例如平面上的随机点，某企业一天的工作情况（产量、次品率、耗电量、出勤人数等）都需要用多个随机变量来刻画。
还有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这一类随机现象不能只用一个或多个随机变量来描述，而必须考察其动态变化过程，随机现象的这种动态变化过程就是随机过程。
例如，某一天电话的呼叫次数ξ，它是一个随机变量。
若考察它随时间t 变动的情况，则需要考察依赖于时间t 的随机变量t ξ，｛t ξ｝就是一个随机过程。
线性平稳时间序列分析
线性平稳时间序列分析线性平稳时间序列分析是统计学中一个重要的研究领域，在经济学、金融学、统计学等领域中具有广泛的应用。
本文将从概念、特征、建模和预测四个方面展开，详细介绍线性平稳时间序列分析的基本内容。
一、概念时间序列是按照时间顺序排列的一组数据观测值的集合，线性平稳时间序列是指其均值、方差和自相关函数在时间上保持不变。
线性平稳时间序列可以用公式表示为：Yt = μ + εt其中，Yt是时间t的观测值，μ是时间序列的均值，εt是时间t的随机波动项。
二、特征线性平稳时间序列具有以下几个重要特征：1. 均值不变性：时间序列的均值在时间上保持不变，即E(Yt) = μ。
2. 方差不变性：时间序列的方差在时间上保持不变，即Var(Yt) = σ^2。
3. 自相关性：时间序列中观测值之间存在相关性，即时间序列的自相关函数具有一定的模式。
4. 白噪声：时间序列中的随机波动项εt是一个均值为零、方差为常数的随机变量。
三、建模线性平稳时间序列的建模是对时间序列数据进行拟合，以寻找其内在的规律和趋势。
常用的线性平稳时间序列模型主要有AR（自回归模型）、MA（移动平均模型）和ARMA（自回归移动平均模型）等。
1. AR模型：自回归模型是基于时间序列在当前时刻与其过去时刻之间存在相关性的假设。
AR模型的阶数p表示过去p个时刻的观测值对当前观测值的影响。
2. MA模型：移动平均模型是基于时间序列在当前时刻与其过去时刻的随机波动项之间存在相关性的假设。
MA模型的阶数q表示过去q个时刻的随机波动项对当前观测值的影响。
3. ARMA模型：自回归移动平均模型是结合了AR模型和MA 模型的特点，既考虑了时间序列观测值的自相关性，又考虑了时间序列随机波动项的相关性。
四、预测线性平稳时间序列的预测是利用已有的时间序列数据预测未来的观测值。
常用的线性平稳时间序列预测模型主要有AR、MA和ARMA等。
1. AR模型：通过对过去p个时刻的观测值进行线性组合，预测当前观测值。
平稳时间序列预测法
试证明：
X t 宽平稳。
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证明：
E Xt E Acosct B sin ct 0 r s,t E Acos ct B sin ct Acos cs B sin cs E[A2 coscs cosct AB cosct sin cs AB sin ct cos cs B2 sin ct sin cs] coscs cos ct sin ct sin cs cos c(t s)
设平稳时间序列 yTt 是一个ARMA(p,q)
过程，则其最小二乘预测为：
yˆTt l E yT 1 yT ,..., y1
AR(p)模型预测
yˆTt l 1 yˆT l 1 ... p yˆT l p l 1,2,...
回总目录 回本章目录
ARMA(p,q)模型预测
p
q
yˆTt l j yˆT l j jˆT l j
7.3 单位根检验和协整检验
一、单位根检验
利用迪基—福勒检验（ Dickey-Fuller Test）和 菲利普斯—佩荣检验（Philips-Perron Test），也可 以测定时间序列的随机性，这是在计量经济学中非 常重要的两种单位根检验方法，与前者不同的是， 后一个检验方法主要应用于一阶自回归模型的残差 不是白噪声，而且存在自相关的情况。
回总目录 回本章目录
解答：
Yule-Walker方程为：
0 1 1 1 1 2 2 2
即：
0.3 0 0.41 1 0.31 0.4 0 2
回总目录 回本章目录
且：
0 0.31 0.4 2 2 1
联合上面三个方程，解出：
0 100 / 63
1 50 / 63
平稳时间序列分析
平稳时间序列分析平稳时间序列分析是一种常用的时间序列分析方法，它旨在研究时间序列在均值和方差上的稳定性，并将其用于预测未来的数据走势。
本文将详细介绍平稳时间序列分析的基本概念、建模方法和预测技术。
首先，让我们来了解什么是时间序列。
时间序列是按照一定的时间间隔收集到的一系列数据点的有序集合，它可以是连续的或离散的。
时间序列分析的目的是通过对过去的数据进行统计分析，揭示出时间序列中的内在规律和趋势，并预测未来的数据走势。
平稳时间序列是指在统计意义上具有稳定性的时间序列，即其均值和方差保持恒定不变。
平稳时间序列具有以下特点：1）均值是常数，不随时间变化；2）方差是常数，不随时间变化；3）协方差只与时间间隔有关，与具体的时间点无关。
为了实现平稳时间序列分析，我们需要进行以下几个步骤：1. 数据准备：收集所需的时间序列数据，并将其整理成适合分析的格式。
通常，我们会绘制时间序列图以直观地查看数据的趋势和模式。
2. 时间序列分解：时间序列通常包含趋势、季节性和随机成分。
我们需要对时间序列进行分解，将其分解为这些组成部分。
常用的分解方法有经典的加性模型和乘性模型。
3. 平稳性检验：对于时间序列分析，我们需要确保数据是平稳的。
平稳性检验的目的是判断时间序列的均值和方差是否是稳定的。
常用的平稳性检验方法有ADF检验、KPSS检验等。
4. 模型建立：如果时间序列被证实是平稳的，我们可以根据数据的模式和趋势选择适当的模型。
常用的模型包括自回归滑动平均模型（ARMA模型）、自回归积分滑动平均模型（ARIMA模型）等。
5. 模型识别与估计：在模型建立的基础上，我们需要对模型进行识别和估计。
模型识别的目的是选择最适合数据的模型阶数，常用的方法有自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的分析。
模型的估计通常使用最大似然估计方法。
6. 模型检验：建立模型后，我们需要对模型进行检验，验证其拟合程度和预测准确度。
常用的模型检验方法有残差分析、DW检验、Ljung-Box检验等。
计量经济学-第6章⑴时间序列的平稳性及其检验精品文档
0.059 3.679 4.216 6.300 7.297 11.332 12.058 15.646 17.153 18.010 22.414 22.481 24.288 25.162 26.036 26.240 26.381
-0.031 0.157 0.264 -0.191 -0.616 -0.229 -0.385 -0.181 -0.521 -0.364 -0.136 -0.451 -0.828 -0.884 -0.406 -0.162 -0.377 -0.236 0.000
（b）
图形表示出：该序列具有相同的均值， 但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速 下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波 动且呈发散趋势。
样本自相关系数显示：r1=0.48，落在 了区间[-0.4497, 0.4497]之外，因此在5% 的显著性水平上拒绝1的真值为0的假设。
该随机游走序列是非平稳的。
• 注意:
确定样本自相关函数rk某一数值是否足够接近 于0是非常有用的，因为它可检验对应的自相关 函数k的真值是否为0的假设。
Bartlett曾证明:如果时间序列由白噪声过程生成， 则对所有的k>0，样本自相关系数近似地服从以0 为均值，1/n 为方差的正态分布，其中n为样本数。
也可检验对所有k>0，自相关系数都为0的联合 假设，这可通过如下QLB统计量进行：
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的 关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关 系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
平稳时间序列建模步骤
平稳时间序列建模步骤
1. 数据预处理：对时间序列数据进行去趋势、去季节性处理，使其变成平稳的时间序列。
2. 模型选择：根据平稳时间序列的性质，选择适合的ARIMA
模型或其他时间序列建模方法，例如ETS模型、VAR模型等。
3. 参数估计：对选定的模型进行参数估计，根据样本数据计算出模型的参数值。
4. 模型检验：对已经拟合好的模型进行检验，判断其是否符合时间序列的特征和假设，可以使用残差分析、模型拟合程度检验等方法。
5. 模型预测：使用已经拟合好的模型进行时间序列的预测，得出未来一段时间内的数据变化趋势，并对预测结果进行评估和优化。
6. 模型应用：将平稳时间序列建模方法应用到实际问题中，例如金融市场预测、经济增长预测、气象预测等领域。
六章 平稳时间序列
第六章 平稳时间序列模型时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点，对于制定精确定价和预测决策是至关重要的，近代计量经济学和金融市场的许多研究成果和市场决策理论愈来愈多是建立在时间序列分析的基础上。
Engle 和Grange 因为他们的时间序列模型在经济金融中的广泛应用而获得2003年的诺贝尔经济学奖，就是时间序列分析方法的重要性在世界上被广泛认可的有力证明．近代计量经济和金融市场的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。
传统应用较广的是Box 和Jenkins （1970）提出的ARIMA （自回归求和移动平均）方法；Engle(1982)提出了ARCH 模型（一阶自回归条件异方差），用以研究非线性金融时间序列模型，由此开创了金融时序独树一帜的研究思路和方法。
随着时间序列分析理论和方法的发展,美国学者Schemas 和Lebanon 发现股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象,米尔斯也指出金融时间序列似乎通常可以用随机漫步来很好近似，非线性时间序列模型被广泛应用在金融时间序列分析中。
就数学方法而言，平稳随机序列的统计分析，在理论上的发展比较成熟，从而构成时间序列分析的基础。
因此，本章从基本的平稳时间序列讲起.第一节 基本概念一、随机过程在概率论和数理统计中,随机变量是分析随机现象的有力工具.对于一些简单的随机现象，一个随机变量就足够了，如候车人数，某单位一天的总用水量等.对于一些复杂的随机现象，用一个随机变量来描述就不够了,而需要用若干个随机变量来加以刻画。
例如平面上的随机点,某企业一天的工作情况(产量、次品率、耗电量、出勤人数等)都需要用多个随机变量来刻画。
还有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这一类随机现象不能只用一个或多个随机变量来描述，而必须考察其动态变化过程，随机现象的这种动态变化过程就是随机过程。
例如，某一天电话的呼叫次数ξ，它是一个随机变量.若考察它随时间t 变动的情况，则需要考察依赖于时间t 的随机变量t ξ，{t ξ｝就是一个随机过程。
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第六章平稳时间序列模型时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点，对于制定精确定价和预测决策是至关重要的，近代计量经济学和金融市场的许多研究成果和市场决策理论愈来愈多是建立在时间序列分析的基础上。
Engle和Grange因为他们的时间序列模型在经济金融中的广泛应用而获得2003年的诺贝尔经济学奖，就是时间序列分析方法的重要性在世界上被广泛认可的有力证明．近代计量经济和金融市场的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。
传统应用较广的是Box和Jenkins（1970）提出的ARIMA（自回归求和移动平均）方法；Engle(1982)提出了ARCH模型（一阶自回归条件异方差），用以研究非线性金融时间序列模型，由此开创了金融时序独树一帜的研究思路和方法。
随着时间序列分析理论和方法的发展，美国学者Schemas和Lebanon发现股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象，米尔斯也指出金融时间序列似乎通常可以用随机漫步来很好近似，非线性时间序列模型被广泛应用在金融时间序列分析中。
就数学方法而言，平稳随机序列的统计分析，在理论上的发展比较成熟，从而构成时间序列分析的基础。
因此，本章从基本的平稳时间序列讲起。
第一节基本概念一、随机过程在概率论和数理统计中，随机变量是分析随机现象的有力工具。
对于一些简单的随机现象，一个随机变量就足够了，如候车人数，某单位一天的总用水量等。
对于一些复杂的随机现象，用一个随机变量来描述就不够了，而需要用若干个随机变量来加以刻画。
例如平面上的随机点，某企业一天的工作情况（产量、次品率、耗电量、出勤人数等）都需要用多个随机变量来刻画。
还有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这一类随机现象不能只用一个或多个随机变量来描述，而必须考察其动态变化过程，随机现象的这种动态变化过程就是随机过程。
例如，某一天电话的呼叫次数 ，它是一个随机变量。
若考察它随时间t 变动的情况，则需要考察依赖于时间t 的随机变量t ξ，｛t ξ｝就是一个随机过程。
又例如，某国某年的GNP 总量，是一个随机变量，但若考查它随时间变化的情形，则｛t GNP ｝就是一个随机过程。
一般地，若对于每一特定的t （t T ∈），t y 为一随机变量，则称这一族随机变量｛t y ｝为一个随机过程。
随机过程的分类一般有两种方法：（1）以参数集T 和t y 的取值的特征来分类；（2）以统计特征或概率特征来分类。
为了简便，我们以参数集和t y 的取值的特征来分类。
以参数集T 的性质，随机过程可分为两大类：T 为可数集合与不可数集合。
以t y 所取的值的特征，随机过程也可以分为两大类：离散状态，即t Y 所取的值是离散的点；连续状态，即t y 所取的值是连续的。
由此可将随机过程分为以下四类：离散参数离散型随机过程；连续参数离散型随机过程；连续参数连续型随机过程；离散参数连续型随机过程。
二、时间序列离散型时间指标集的随机过程通常称为随机型时间序列，简称为时间序列。
经济分析中常用的时间序列数据都是经济变量随机序列的一个实现。
时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法，是统计学的一个分支。
时间序列的特点是：序列中的数据依赖于时间顺序；序列中每个数据的取值具有一定的随机性；序列中前后的数值有一定的相关性--系统的动态规律；序列整体上呈现某种趋势性或周期性。
时间序列的统计特征通常用其分布及数字特征来刻画。
例如期望()t E y ，方差()t Var y 和协方差Cov(,)t s y y 。
研究时间序列具有重要的现实意义，通过对时间序列的分析和研究，认识系统的结构特征（如趋势的类型，周期波动的周期、振幅，等等）；揭示系统的运行规律；进而预测或控制系统的未来行为，或修正和重新设计系统（如改变参数、周期等）按照新的结构运行。
三、时间序列的平稳性与滞后算子所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。
也就是说，生成变量时间序列数据的随机过程的特征不随时间变化而变化。
以平稳时间序列数据作为计量经济模型变量的观测值时，其估计方法、检验过程才可能采用前面几章所介绍的方法。
直观上，一个平稳的时间序列可以看做作一条围绕其均值上下波动的曲线。
从理论上，有两种意义的平稳性，一是严格平稳，另一是弱平稳。
严格平稳是指随机过程｛t y ｝的联合分布函数与时间的位移无关。
设｛t y ｝为一随机过程，n 为任意正整数, h 为任意实数，若联合分布函数满足：()()121,,,1,,1,,,,t tt t h t hnn y y y n y y n F x x F x x ++=则称｛t y ｝为严格平稳过程，它的分布结构不随时间推移而变化。
弱平稳是指随机过程{t y }的期望、方差和协方差不随时间推移而变化。
若｛t y ｝满足以下三条件：()t E y μ=，2()t Var y σ=，Cov(,)()t s y y f t s =-则称｛t y ｝为弱平稳随机过程。
在以后的讨论中，关于平稳性的概念通常是指弱平稳，弱平稳通常也被称作宽平稳。
需要注意的是严平稳和弱平稳之间的关系：只有具有有限二阶矩的严平稳过程，才是弱平稳过程；弱平稳过程只限定一阶矩和二阶矩，即它并没有规定分布函数的性质，所以弱平稳并不一定属于严平稳。
由于时间序列分析中经常用到白噪声过程，所以有必要对它介绍一下。
对于一个随机过程{,}t y t T ∈，如果()0t E y =；2()t Var y σ=<∞；(,)0t s Cov y y =，t s ≠，则称{,}t y t T ∈为白噪声过程。
白噪声是平稳的随机过程，因其均值为零，方差不变，随机变量之间非相关。
显然上述白噪声是二阶宽平稳随机过程。
如果{}t y 同时还服从正态分布，则它就是一个严平稳的随机过程。
白噪声源于物理学与电学，原指音频和电信号在一定频带中的一种强度不变的干扰声。
下图是由噪声过程产生的时间序列。
-3-2-1012320406080100120140160180200white noise-4-2024204060140160DJ PY图1 由白噪声过程产生的时间序列 图2 日元对美元汇率的收益率序列在时间序列分析中，我们经常要用到滞后算子L ，它的定义为1-=t t y Ly这个滞后算子L 是把一个时间序列转换成另一新的时间序列的映射。
如果应用两次滞后算子，我们有21)(--==t t t y Ly Ly L记两个滞后算子的乘积为2L ，有22-=t t y y L 。
规定t t y y L =0，即它是一个恒等映射。
滞后算子L 的逆算子1-L 满足11+-=t t y y L 。
一般地，对于任意的整数，我们有k t t k y y L -=滞后算子L 对于数量乘法和加法满足交换律和分配律，即对于任意的常数β和时间序列+∞-∞=t t y }{，+∞-∞=t t x }{，+∞-∞=t t w }{，我们有 t t Ly y L ββ=)( t t t t Lw Lx w x L +=+)(这样如果t t Lx bL a y )(+=，那么有212)(--+=+=t t t t bx ax x bL aL y另一个例子是22112122212121)()1()1)(1(--++-=+--=--t t t t x x x x L L L x L L λλλλλλλλλλ像)(2bL aL +这样的表达式我们称之为滞后算子多项式。
第二节 移动平均（MA ）过程在金融收益率序列的建模中有一类简单模型是滑动平均模型(Moving-Average Model, 缩写为MA 模型)，它可以看作是白噪声序列的简单推广。
一．一阶移动平均过程()1MA如果{}t u 满足白噪声过程，定义过程1t t t y u u μθ-=++其中μ和θ为常数，这个序列称为一阶移动平均过程()1MA 。
期望为 ()()()1t t t E y E u E u μθμ-=++= 方差为 ()()()222211t t t E y E u u μθθσ--=+=+一阶自协方差为 ()()()21112cov ,t t t t t t y y E u u u u θθθσ----=++= 高阶自协方差为 ()()()11cov ,0t t j t t t j t j y y E u u u u θθ-----=++= （1j >） 上述均值和协方差都不是时间的函数，因此不管θ为何，()1MA 过程都是协方差平稳的。
而一阶自相关系数 ()2122211θσθρθθσ==++ （） 高阶自相关系数均为0。
此时自相关函数在1阶处截尾。
[例1] 10.8t t t y u u -=+，此时120.80.51 1.64θρθ==≅+ 110.8t t t x u u -=+, 此时1221/0.80.511(1/0.8)θρθ==≅++这时MA(1)序列}{t x 与}{t y 具有相同的相关系数，那么选择哪一个模型更为合适呢对于MA(1)过程，还有几点值得注意：(1) 正的θ值得到正的自相关系数，一个大的t y 后面通常是一个比平均值大的t y ；(2) 负的正的θ值得到负的自相关系数，一个大的t y 后面通常是一个比平均值小的t y ；(3) 自相关系数的取值区间[]11,1ρ∈-，并且对于每一个()10.5,0.5ρ∈-，都有θ和1/θ与之对应；(4)某些金融时间序列可能是零均值，这时就应当是把这个常数均值μ从模型中移除，使得MA(1)模型变为1t t t y u u θ-=+。
二．q 阶移动平均过程()MA q ：q 阶滑动平均过程的表达式为：1122...t t t t q t q y u u u u μθθθ---=+++++其中{}t u 为白噪声过程，()12,,...,q θθθ为任何实数。
其均值、方差、自协方差和自相关函数分别为：()t E y μ=()()()201122222212... 1...t t t t q t q qVar y E u u u u γθθθθθθσ---==++++=++++ （）()()()()111121122cov , ......... 1,2,..., 0 j t t j t t q t q t j t j q t j q j j j q q j y y E u u u u u u j q j qγθθθθθθθθθθθσ--------++-==++++++⎧++++=⎪=⎨>⎪⎩（）即自协方差函数在q 阶处截尾。
由(12)式立即可得q 阶移动平均过程的自相关函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=++++++++=-++q k q k q kq q k k k k 0,,2,1 1222212211 θθθθθθθθθθρ (13)式告诉我们，当移动平均过程的阶为q 时，间隔期大于q 的自相关函数值为零。