北邮运筹学ch3-1 运输问题

北京邮电大学 运筹学
§3.1 运输问题的数学模型 Mathematical Model of T P
Ch3 Transportation Problem
2020/1/28
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需求假设（The Requirements Assumption）： 每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应 量都必须配送到目的地。与之相类似，每一个目的 地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由出 发地满足，即
如何制定一个运输方案，使总的运输费用最小。这样的问题称为运 输问题。
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运输问题的特征 Characteristics of Transportation Problems
钢铁厂
矿山
B1
A1
3
A2
5
A3
4
需要量
5
表3－1
B2
B3
2
6
3
8
1
2
7 8 北京邮电大学 运筹学
运价表（元/吨）
B4
产量
3
10
2
8
9
5
3
23
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x12 x22

x13 x14 x23 x24
10 8
x31 x32 x33 x34 5
x11 x21 x31 5

x12 x13

x22 x23

x32 x33

7 8
x14 x24 x34 3
运量应大于或等于零（非负要求），即 xij 0, i =1, 2, 3; j北=京1邮, 电2大, 3学, 运4筹学
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【解】 设 xi j (i=1,2,3；j=1,2,3,)为第i台机床加工第j种零件的数量，
则此问题的数学模型为
min Z 5x11 2x12 3x13 6x21 4x22 x23 7x31 3x32 4x33
设xij ( i =1,2,3；j =1,2,3,4)为i个产粮地运往第j个需求地的运量，这 样得到下列运输问题的数学模型：
Min z = 3x11+ 2x12+ 6x13+ 3x14+ 5x21+ 3x22+ 8x23+ 2x24 + 4x31+ x32+ 2x33+ 9x34

x11 x21
每一个出发地都有一定的供应量（supply）配送到 目的地，每一个目的地都有需要从一定的需求量（ demand），接收从出发地发出的产品。 需求假设（The Requirements Assumption） 可行解特性（The Feasible Solutions Property） 成本假设（The Cost Assumption） 整数解性质（Integer Solutions Property）
(i=1,2,3)个零件，第j种零件的需要量为bj (j=1,2,3)，第i台机床加
工第j种零件需要的时间为cij ，如表3－2所示。问如何安排生产
任务使总的加工时间最少？
表3－2
零件
机床
B1
B2
B3
生产任务
A1
5
2
3
50
A2
6
4
1
60
A3
7
3
4
40
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需要量
70
30
50
150
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运输问题是一种特殊的线性规划问题,用一种特殊的 方法(表上作业法)求解更为简单
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运输问题
人们在从事生产活动中，不可避免地要进行物资调运工作。如某时 期内将生产基地的煤、钢铁、粮食等各类物资，分别运到需要这些 物资的地区，根据各地的生产量和需要量及各地之间的运输费用，
运筹学
Operations Research
Chapter 3 运输问题
Transportation Problem
1.运输模型 Mathematical Model of Transportation Problems 2.基变量与闭回路Basis Variable and Closed path 3.表上作业法 Transportation Simplex Method 4.运输问题的变体Variants of Transportation Problems
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成本假设（The Cost Assumption）： 从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成 本和所配送的数量成线性比例关系，因此这个成本 就等于配送的单位成本乘以所配送的数量
整数解性质（Integer Solutions Property）： 只要它的供应量和需求量都是整数，任何有可行 解的运输问题必然有所有决策变量都是整数的最 优解。因此，没有必要加上所有变量都是整数的 约束条件
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【例1】现有A1，A2，A3三个产粮区，可供应 粮食分别为10，8， 5（万吨），现将粮食运往B1，B2，B3，B4四价（10万元/ 万吨）如表3－1所示，问如何安排一个运输计划，使总的运输 费用最少。
x11 x12 x13 50 x21 x22 x23 60
xx1311

x32 x21

x33 x31

40 70
x12 x22 x32 30
x13 x23 x33 50 xij 0,i 1,2,3；j 1,2,3
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运输问题的数学模型
设有m个产地（记作A1，A2，A3,…,Am），生产某种物资，
其产量分别为a1,a2，…，am；有n个销地（记作B1，
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有些问题表面上与运输问题没有多大关系，但经过转换，也 可以建立与运输问题形式相同的数学模型
看一个例子：
【例2】 有三台机床加工三种零件，计划第i台的生产任务为a i
B2，…，Bn），其需要量分别为b1,b2，…，bn；且产销平
m
n
衡，即 ai bj 。从第i个产地到j 个销地的单位运价为
i1
j 1
cij ，在满足各地需要的前提下，求总运输费用最小的调运
方案。 设xij(i=1,2,…，m；j=1,2,…,n)为第i个产地到第j个
销地的运量，则数学模型为：
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mn
min z
cij xij
i1 j1
n
xij ai i 1,, m
j 1
m
xij b j
j 1,, n
i 1
xij 0, i 1,, m; j 1,, n
北京邮电大基学变运量筹学与闭回路 Exit
总供应量＝ 总需求量
可行解特性（The Feasible Solutions Property）： 当且仅当供应量的总和等于需求量的总和时，运输问 题才有可行解
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