2019-2020学年江苏省无锡市九年级(上)期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年江苏省无锡市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（4分）已知O 的半径为4cm ，点P 在O 上，则OP 的长为( ) A ．1cm B ．2cm
C ．4cm
D ．8cm
2．（4分）若37a b =，则
b a
a
-等于( ) A ．
3
4
B ．
4
3
C ．
73
D ．
37
3．（4分）二次函数223y x x =-+图象的对称轴是( ) A ．直线1x =
B ．直线1x =-
C ．直线2x =
D ．直线2x =-
4．（4分）如图，在O 中，点M 是AB 的中点，连结MO 并延长，交O 于点N ，连结BN ，若140AOB ∠=︒，则N ∠的度数为( )
A ．70︒
B ．40︒
C ．35︒
D ．20︒
5．（4分）在一个不透明的口袋里装有2个白球，3个黑球和3个红球，它们除颜色外其余都相同，现随机从袋里摸出1个球，则摸出白球的概率是( ) A ．
1
2
B ．38
C ．13
D ．
14
6．（4分）如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，2OA OB OC ===，则这朵三叶花的面积为( )
A ．33π-
B ．36π-
C ．63π-
D ．66π-
7．（4分）已知点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC >，则下列结
论正确的是( ) A ．2AB AC BC =
B ．2B
C AC BC =
C ．512AC BC -=
D ．51
2
BC AC -= 8．（4分）如图，AB 是半圆的直径，点C 是弧AB 的中点，点E 是弧AC 的中点，连结EB 、CA 交于点F ，则
EF
BF
的值为( )
A ．
14
B ．
22
4
- C ．212
-
D ．
21
2
- 9．（4分）如图，已知抛物线2y x bx c =++与直线y x =交于(1,1)和(3,3)两点，现有以下结论：①240b c ->； ②360b c ++=； ③当22
x bx c x
++>
时，2x >； ④当13x <<时，2(1)0x b x c +-+<， 其中正确的序号是( )
A ．①②④
B ．②③④
C ．②④
D ．③④
10．（4分）若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：(1,0)P 、(2,2)Q -都是“整点”．抛物线221(0)y mx mx m m =-+->与x 轴交于A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有6个整点，则m 的取值范围是( ) A ．
11
84
m
B ．
11
94
m
< C ．
11
92m < D ．11
94
m <<
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11．（5分）已知线段c 是线段a 、b 的比例中项，且4a =，9b =，则线段c 的长度为 ．
12．（5分）小颖在二次函数2245y x x =++的图象上找到三点1(1,)y -，1(2，2)y ，1
(32
-，
3)y ，则你认为1y ，2y ，3y 的大小关系应为 ．
13．（5分）如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC 长为30m ，CD 长为205m ，斜坡AB 的坡比为1:3，斜坡CD 的坡比为1:2，则坝底的宽AD 为 m ．
14．（5分）如图，O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为(5,0)，顶点D 在O 上运动，则正方形面积最大时，正方形与O 重叠部分的面积是 ．
15．（5分）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，E 是BC 上的一动点（不与点B 、C 重合）．连接AE ，过点D 作DF AE ⊥，垂足为F ，则线段BF 长的最小值为 ．
16．（5分）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分BCD ∠交AB 于点E ，交BD 于点F ，且60ABC ∠=︒，2AB BC =，连接OE ．下列结论：①EO AC ⊥；②4AOD OCF S S ∆∆=；③:21:7AC BD =；④2FB OF DF =．其中正确的结论有 （填写所有
正确结论的序号）
三、解答题（共8小题，满分80分）
17．（8分）如图，直线123////l l l ，直线AC 依次交1l 、2l 、3l 于A 、B 、C 三点，直线DF
依次交1l 、2l 、3l 于D 、E 、F 三点，若
4
7
AB AC =，2DE =，求EF 的长．
18．（8分）下表给出了代数式2x bx c -++与x 的一些对应值：
x
⋯ 2- 1- 0 1 2 3 ⋯ 2x bx c -++ ⋯
5
n
c
2
3-
10-
⋯
（1）根据表格中的数据，确定b ，c ，n 的值；
（2）设2y x bx c =-++，直接写出02x 时y 的最大值．
19．（8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．
（1）本次调查的学生共有 人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是 人； （2）“非常了解”的4人有1A ，2A 两名男生，1B ，2B 两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 20．（8分）如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG BC ⊥于点G ，AF DE ⊥于点F ，EAF GAC ∠=∠．
（1）求证：ADE ABC ∆∆∽； （2）若3AD =，5AB =，求
AF
AG
的值．
21．（10分）如图，ABC ∆内接于O ，AB AC =，36BAC ∠=︒，过点A 作//AD BC ，与ABC ∠的平分线交于点D ，BD 与AC 交于点E ，与O 交于点F ． （1）求DAF ∠的度数； （2）求证：2AE EF ED =； （3）求证：AD 是O 的切线．
22．（12分）某商场将每件进价为80元的A 商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件．设该商品每件降价x 元，商场一天可通过A 商品获利润y 元．
（1）求y 与x 之间的函数解析式（不必写出自变量x 的取值范围） （2）A 商品销售单价为多少时，该商场每天通过A 商品所获的利润最大？ 23．（12分）定义：
我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解：
（1）如图1，已知Rt ABC ∆在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D ，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）； （2）如图2，在四边形ABCD 中，80ABC ∠=︒，140ADC ∠=︒，对角线BD 平分ABC ∠． 求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；
（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， 30EFH HFG ∠=∠=︒，连接EG ，若EFG ∆的面积为3，求FH 的长．
24．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，一块含60︒角的三角板作如图摆放，斜边AB 在x 轴上，直角顶点C 在y 轴正半轴上，已知点(1,0)A -．
（1）请直接写出点B 、C 的坐标：B 、C ；并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中90EDF ∠=︒，60)DEF ∠=︒，把顶点E 放在线段AB 上（点E 是不与A 、B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C ．此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于点M ．
①设AE x =，当x 为何值时，OCE OBC ∆∆∽；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P 使PEM ∆是等腰三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）已知O 的半径为4cm ，点P 在O 上，则OP 的长为( ) A ．1cm
B ．2cm
C ．4cm
D ．8cm
解：点P 在O 上， 4OP cm ∴=．
故选：C ． 2．（4分）若37a b =，则
b a
a
-等于( ) A ．3
4
B ．
4
3
C ．
73
D ．
37
解：设
37
a b
k ==， 3a k ∴=，7b k =， ∴
734
33
b a k k a k --==． 故选：B ．
3．（4分）二次函数223y x x =-+图象的对称轴是( ) A ．直线1x =
B ．直线1x =-
C ．直线2x =
D ．直线2x =-
解：已知1a =，2b =-，3c = 由对称轴公式可知，对称轴是12b
x a
=-=． 故选：A ．
4．（4分）如图，在O 中，点M 是AB 的中点，连结MO 并延长，交O 于点N ，连结BN ，若140AOB ∠=︒，则N ∠的度数为( )
A ．70︒
B ．40︒
C ．35︒
D ．20︒
解：点M 是AB 的中点， ∴AM BM =，
140AOB ∠=︒，
1
702
BOM AOB ∴∠=∠=︒， 1
352
N BOM ∴∠=
∠=︒， 故选：C ．
5．（4分）在一个不透明的口袋里装有2个白球，3个黑球和3个红球，它们除颜色外其余都相同，现随机从袋里摸出1个球，则摸出白球的概率是( ) A ．
1
2
B ．38
C ．13
D ．
14
解：口袋里装有2个白球，3个黑球和3个红球， ∴口袋里共有8个球， ∴摸出白球的概率是
2184
=； 故选：D ．
6．（4分）如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，2OA OB OC ===，则这朵三叶花的面积为( )
A ．33π-
B ．36π-
C ．63π-
D ．66π-
解：如图所示：弧OA 是M 上满足条件的一段弧，连接AM 、MO ， 由题意知：90AMO ∠=︒，AM OM = 2AO =，2AM ∴=．
211
42
AMO S MA ππ=⨯⨯=扇形． 1
12
AMO S AM MO ∆=
=，
1
12
AO S π∴=-弓形，
1612S π⎛⎫
∴=⨯- ⎪⎝⎭三叶花
36π=-．
故选：B ．
7．（4分）已知点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC >，则下列结论正确的是( ) A ．2AB AC BC =
B ．2B
C AC BC =
C ．512AC BC -=
D ．51
2
BC AC -= 解：点C 是线段AB 的黄金分割点且AC BC >， ∴
51
2
BC AC AC AB -==
，即2AC BC AB =，故A 、B 错误； 51
2
AC AB -=，故C 错误； 51
2
BC AC -=
，故D 正确； 故选：D ．
8．（4分）如图，AB 是半圆的直径，点C 是弧AB 的中点，点E 是弧AC 的中点，连结EB 、CA 交于点F ，则
EF
BF
的值为( )
A ．
14
B ．
22
4
- C ．212
-
D ．
21
2
- 解：连接AE ，BC ，连接OE 交AC 于H ，
点E 是弧AC 的中点， OE AC ∴⊥，
AB 是半O 的直径， BC AC ∴⊥， //OE BC ∴， EHF BCF ∴∆∆∽， ∴
EF EH
BF BC
=
， 设2BC x =，则2OE OB x ==， OH x ∴=，(21)EH x =-， ∴
(21)21
22
EF EH x BF BC x --===
， 故选：D ．
9．（4分）如图，已知抛物线2y x bx c =++与直线y x =交于(1,1)和(3,3)两点，现有以下结论：①240b c ->； ②360b c ++=； ③当22
x bx c x
++>
时，2x >； ④当13x <<时，2(1)0x b x c +-+<， 其中正确的序号是( )
A ．①②④
B ．②③④
C ．②④
D ．③④
解：函数2y x bx c =++与x 轴无交点， 240b ac ∴-<； 240b c ∴-<
故①不正确；
当3x =时，933y b c =++=，
即360b c ++=； 故②正确；
把(1，1)(3，3)代入2y x bx c =++，得抛物线的解析式为233y x x =-+， 当2x =时，2331y x x =-+=，2
1y x
==， 抛物线和双曲线的交点坐标为(2,1) 第一象限内，当2x >时，22x bx c x ++>
； 或第三象限内，当0x <时，22x bx c x ++>； 故③错误；
当13x <<时，二次函数值小于一次函数值， 2x bx c x ∴++<，
2(1)0x b x c ∴+-+<．
故④正确； 故选：C ．
10．（4分）若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：(1,0)P 、(2,2)Q -都是“整点”．抛物线221(0)y mx mx m m =-+->与x 轴交于A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有6个整点，则m 的取值范围是( ) A ．
11
84
m
B ．
11
94
m
< C ．
11
92m < D ．11
94
m <<
解：由已知可得2221(1)1y mx mx m m x =-+-=--， ∴函数的顶点是(1,1)-，
∴点(1,1)-，(1,0)必在抛物线在A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）的
区域内，
又在此区域内有6个整点，
∴必有点(1,0)-，(0,0)，(2,0)，(3,0)， ∴当点(1,0)-在边界上时，1
4
m =
， 当点(2,0)-在边界上时，19
m =
2(1)1y m x =--与x 轴的交点A 的横坐标21A x -<-，
∴
11
94
m
<， 故选：B ．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11．（5分）已知线段c 是线段a 、b 的比例中项，且4a =，9b =，则线段c 的长度为 6 ． 解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 所以249c =⨯，解得6c =±（线段是正数，负值舍去）， 故答案为：6．
12．（5分）小颖在二次函数2245y x x =++的图象上找到三点1(1,)y -，1(2，2)y ，1(32
-，
3)y ，则你认为1y ，2y ，3y 的大小关系应为 123y y y << ．
解：抛物线的对称轴为直线4
122
x =-
=-⨯， 而抛物线开口向上，点1(1,)y -在对称轴上，点1(2，2)y 比点1
(32
-，3)y 离对称轴要近，
所以123y y y <<． 故答案为123y y y <<．
13．（5分）如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC 长为30m ，CD 长为5m ，斜坡AB 的坡比为1:3，斜坡CD 的坡比为1:2，则坝底的宽AD 为 130 m ．
解：作BE AD ⊥于E ，CF AD ⊥于F ， 斜坡CD 的坡比为1:2，即
1
2
CF DF =， 2DF CF ∴=，又205CD m =，
20CF m ∴=，40DF m =，
由题意得，四边形BEFC 是矩形， 20BE CF m ∴==，30EF BC m ==，
斜坡AB 的坡比为1:3， ∴
1
3
BE AE =，即360AE BE m ==， 130AD AE EF DF m ∴=++=，
故答案为：130m ．
14．（5分）如图，O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为(5,0)，顶点D 在O 上运动，则正方形面积最大时，正方形与O 重叠部分的面积是
12
π
+ ．
解：如图所示，当点D 运动到(1,0)-时，BD 最长，
此时，正方形面积最大，45CDO ∠=︒， 45CDO ∴∠=︒，
又45FDO ∠=︒， CD ∴经过点F ，
同理可得，AD 经过点E ，
∴正方形与O 重叠部分的面积是DEF ∆的面积与半圆面积的和，
即2111
2111222
ππ⨯⨯+⨯⨯=+， 故答案为：
12
π
+．
15．（5分）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，E 是BC 上的一动点（不与点B 、C 重合）．连接AE ，过点D 作DF AE ⊥，垂足为F ，则线段BF 长的最小值为 2134- ．
解：如图，
AE DF ⊥， 90AFD ∴∠=︒，
∴点F 的运动轨迹是以AD 为直径的O ，连接OB ，OF ．
四边形ABCD 是矩形， 90BAO ∴∠=︒， 6AB =，4AO =，
22213OB AB AO ∴=+=，1
42
FO AD =
=， BF OB OF -，
BF ∴的最小值为2134-，
故答案为2134-．
16．（5分）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分BCD ∠交AB 于点E ，交BD 于点F ，且60ABC ∠=︒，2AB BC =，连接OE ．下列结论：①EO AC ⊥；②4AOD OCF S S ∆∆=；③:21:7AC BD =；④2FB OF DF =．其中正确的结论有 ①③④ （填
写所有正确结论的序号）
解：四边形ABCD 是平行四边形， //CD AB ∴，OD OB =，OA OC =， 180DCB ABC ∴∠+∠=︒， 60ABC ∠=︒， 120DCB ∴∠=︒， EC 平分DCB ∠，
1
602
ECB DCB ∴∠=
∠=︒， 60EBC BCE CEB ∴∠=∠=∠=︒， ECB ∴∆是等边三角形， EB BC ∴=， 2AB BC =，
EA EB EC ∴==， 90ACB ∴∠=︒， OA OC =，EA EB =， //OE BC ∴，
90AOE ACB ∴∠=∠=︒， EO AC ∴⊥，故①正确， //OE BC ， OEF BCF ∴∆∆∽， ∴
1
2
OE OF BC FB ==， 1
3
OF OB ∴=，
3AOD BOC OCF S S S ∆∆∆∴==，故②错误，
设BC BE EC a ===，则2AB a =，3AC a =，2237(
)22
OD OB a a a ==+=， 7BD a ∴=，
:3:721:7AC BD a a ∴==，故③正确，
17
36OF OB a ==，
7
3
BF a ∴=， 22
79
BF a ∴=
，27777()6269OF DF a a a a =+=， 2BF OF DF ∴=，故④正确，
故答案为①③④．
三、解答题（共8小题，满分80分）
17．（8分）如图，直线123////l l l ，直线AC 依次交1l 、2l 、3l 于A 、B 、C 三点，直线DF 依次交1l 、2l 、3l 于D 、E 、F 三点，若
4
7
AB AC =，2DE =，求EF 的长．
解：123////l l l ，直线AC 依次交1l 、2l 、3l 于A 、B 、C 三点，直线DF 依次交1l 、2l 、3l 于D 、E 、F 三点， ∴
AB DE
AC DF
=
， 4
7
AB AC =，2DE =， ∴
42
7DF
=
， 解得： 3.5DF =，
3.52 1.5EF DF DE ∴=-=-=．
18．（8分）下表给出了代数式2x bx c -++与x 的一些对应值：
x
⋯ 2- 1- 0 1 2 3 ⋯ 2x bx c -++ ⋯
5
n
c
2
3-
10-
⋯
（1）根据表格中的数据，确定b ，c ，n 的值；
（2）设2y x bx c =-++，直接写出02x 时y 的最大值． 解：（1）根据表格数据可得42512b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得25b c =-⎧⎨=⎩
，
2225x bx c x x ∴-++=--+，
当1x =-时，2256x x --+=，即6n =；
（2）根据表中数据得当02x 时，y 的最大值是5．
19．（8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．
（1）本次调查的学生共有 50 人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是 人； （2）“非常了解”的4人有1A ，2A 两名男生，1B ，2B 两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 解：（1）48%50÷=（人)，
1200(140%22%8%)360⨯---=（人)；
故答案为：50，360；
（2）画树状图，共有12种可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个， P ∴（恰好抽到一男一女的）82
123
=
=．
20．（8分）如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG BC ⊥于点G ，AF DE ⊥于点F ，EAF GAC ∠=∠．
（1）求证：ADE ABC ∆∆∽； （2）若3AD =，5AB =，求
AF
AG
的值．
解：（1）
AG BC ⊥，AF DE ⊥，
90AFE AGC ∴∠=∠=︒， EAF GAC ∠=∠， AED ACB ∴∠=∠， EAD BAC ∠=∠，
ADE ABC ∴∆∆∽，
（2）由（1）可知：ADE ABC ∆∆∽， ∴
3
5
AD AE AB AC == 由（1）可知：90AFE AGC ∠=∠=︒， EAF GAC ∴∠=∠， EAF CAG ∴∆∆∽， ∴AF AE
AG AC =
， ∴
3
5
AF AG = 另解：
AG BC ⊥，AF DE ⊥，
ADE ABC ∆∆∽， ∴
3
5
AF AD AG AB == 21．（10分）如图，ABC ∆内接于O ，AB AC =，36BAC ∠=︒，过点A 作//AD BC ，与ABC ∠的平分线交于点D ，BD 与AC 交于点E ，与O 交于点F ． （1）求DAF ∠的度数； （2）求证：2AE EF ED =； （3）求证：AD 是O 的切线．
【解答】（1）解：//AD BC ，
D CBD ∴∠=∠，
AB AC =，36BAC ∠=︒，
1
(180)722
ABC ACB BAC ∴∠=∠=
⨯︒-∠=︒， 72AFB ACB ∴∠=∠=︒，
BD 平分ABC ∠，
11
723622ABD CBD ABC ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，
36D CBD ∴∠=∠=︒，
1801803636108BAD D ABD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 180180367272BAF ABF AFB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 1087236DAF DAB FAB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；
（2）证明：36CBD ∠=︒，FAC CBD ∠=∠， 36FAC D ∴∠=︒=∠，
AED AEF ∠=∠， AEF DEA ∴∆∆∽， ∴
AE ED
EF AE
=
， 2AE EF ED ∴=⨯；
（3）证明：连接OA 、OF ，
36ABF ∠=︒，
272AOF ABF ∴∠=∠=︒， OA OF =，
1
(180)542
OAF OFA AOF ∴∠=∠=
⨯︒-∠=︒， 由（1）知36DAF ∠=︒， 365490DAO ∴∠=︒+︒=︒，
即OA AD ⊥， OA 为半径，
AD ∴是O 的切线．
22．（12分）某商场将每件进价为80元的A 商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件．设该商品每件降
价x 元，商场一天可通过A 商品获利润y 元．
（1）求y 与x 之间的函数解析式（不必写出自变量x 的取值范围）
（2）A 商品销售单价为多少时，该商场每天通过A 商品所获的利润最大？
解：（1）由题意得，商品每件降价x 元时单价为(100)x -元，销售量为(1288)x +件， 则2(1288)(10080)8322560y x x x x =+--=-++，
即y 与x 之间的函数解析式是28322560y x x =-++；
（2）2283225608(2)2592y x x x =-++=--+，
∴当2x =时，y 取得最大值，此时2592y =，
∴销售单价为：100298-=（元)，
答：A 商品销售单价为98元时，该商场每天通过A 商品所获的利润最大．
23．（12分）定义：
我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图1，已知Rt ABC ∆在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D ，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，80ABC ∠=︒，140ADC ∠=︒，对角线BD 平分ABC ∠． 求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；
（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， 30EFH HFG ∠=∠=︒，连接EG ，若EFG ∆的面积为23，求FH 的长．
解：
（1）由图1知，5
AB=，25
BC=90
ABC
∠=︒，5
AC=，四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，
①当90
ACD
∠=︒时，ACD ABC
∆∆
∽或ACD CBA
∆∆
∽，
∴
1
2
AC AB
CD BC
==或2
AC BC
CD AB
==，10
CD
∴=或 2.5
CD=
同理：当90
CAD
∠=︒时， 2.5
AD=或10
AD=，（2）证明：80
ABC
∠=︒，BD平分ABC
∠，
40
ABD DBC
∴∠=∠=︒，
140
A ADB
∴∠+∠=︒
140
ADC
∠=︒，
140
BDC ADB
∴∠+∠=︒，
A BDC
∴∠=∠，
ABD DBC
∴∆∆
∽，
BD
∴是四边形ABCD的“相似对角线”；
（3）如图3，
FH是四边形EFGH的“相似对角线”，
EFH
∴∆与HFG
∆相似，
EFH HFG
∠=∠，
FEH FHG
∴∆∆
∽，
∴
FE FH
FH FG
=，
2
FH FE FG
∴=，
过点E作EQ FG
⊥于Q，
3sin 602EQ FE FE ∴=︒=， 1232
FG EQ ⨯=， ∴132322
FG FE ⨯=， 8FG FE ∴=，
28FH FE FG ∴==，
22FH ∴=．
24．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，一块含60︒角的三角板作如图摆放，斜边AB 在x 轴上，直角顶点C 在y 轴正半轴上，已知点(1,0)A -．
（1）请直接写出点B 、C 的坐标：B (3,0) 、C ；并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中90EDF ∠=︒，60)DEF ∠=︒，把顶点E 放在线段AB 上（点E 是不与A 、B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C ．此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于点M ． ①设AE x =，当x 为何值时，OCE OBC ∆∆∽；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P 使PEM ∆是等腰三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）点(1,0)A -，
1OA ∴=，
由图可知，BAC ∠是三角板的60︒角，ABC ∠是30︒角， 所以，tan 60133OC OA =︒==，
cot 30333OB OC =︒==，
所以，点(3,0)B
，C ，
设抛物线解析式为2y ax bx c =++，
则0930a b c a b c c ⎧-+=⎪++=⎨⎪=⎩，
解得a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩
，
所以，抛物线的解析式为2y =；
（2）①OCE OBC ∆∆∽， ∴OE OC OC OB
=，
= 解得1OE =，
所以，112AE OA OE =+=+=， 即2x =时，OCE OBC ∆∆∽；
②存在．理由如下：
抛物线的对称轴为12b x a =-==，
所以，点E 为抛物线的对称轴与x 轴的交点， OA OE =，OC x ⊥轴，60BAC ∠=︒， ACE ∴∆是等边三角形， 60AEC ∴∠=︒，
又60DEF ∠=︒，
60FEB ∴∠=︒，
BAC FEB ∴∠=∠，
//EF AC ∴，
由(1,0)A -
，C 可得直线AC
的解析式为y =， 点(1,0)E ，
∴直线EF
的解析式为y =
联立2y y ⎧=-⎪⎨=++⎪⎩
，
解得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
223x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴点M
的坐标为
，或(3,--（舍去）
，
2EM ==， 分三种情况讨论PEM ∆是等腰三角形， 当PE EM =时，2PE =， 所以，点P 的坐标为(1,2)或(1,2)-， 当PE PM =时，60FEB ∠=︒， 906030PEF ∴∠=︒-︒=︒，
11cos30222PE EM =÷︒=⨯= 所以，点P
的坐标为， 当PM EM =
时，2cos3022PE EM =︒=⨯=， 所以，点P 的坐标为(1
，， 综上所述，抛物线对称轴上存在点(1,2)P 或(1,2)-
或或(1
，，使PEM ∆是等腰三角形．。