高考数学一轮复习 数列的综合应用课时作业29 文 北师大版

2012届高考数学一轮复习课时作业29数列的综合应用
一、选择题
1．(2010年陕西高考)对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：若{a n }单调递增，不一定能够说明a n ＋1>|a n |一定成立，如a n ：{－n ，－(n －1)，…，－2，－1}显然不满足a n ＋1>|a n |一定成立，但是该数列递增；如果a n ＋1>|a n |>0. 那么无论a n 的值取正，取负，一定能够得到{a n }单调递增，
所以a n ＋1>|a n |是{a n }单调递增的充分不必要条件．选B.
答案：B
2．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2
B ．4
C ．2
D.12 解析：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，
由a 32＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d ，
故q ＝a 3a 1＝
a 1＋2d a 1＝2a 1a 1
＝2. 答案：C
3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝15，S 9＝18，在等比数列{b n }中，b 3＝a 3，b 5＝a 5，则b 7的值为( )
A.23
B.43 C ．2 D ．3 解析：在等差数列{a n }中，由⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1＋10d ＝15，9a 1＋36d ＝18，得a 3＝3，a 5＝2.
于是b 3＝3，b 5＝2，所以b 7＝b 52b 3＝43
. 答案：B
4．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：正方体按从下向上的顺序其棱长构成等比数列，其棱长分别为：2，2，1，
12，12
，…， n 层正方体的表面积为
8＋16[1－12n ]1－12＝40－32(12
)n . 由已知：40－32(12
)n >39， 整理得2n >32，∴n >5.
答案：C
5．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋49
10元(n ∈N *
)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了( )
A ．800天
B ．600天
C ．1000天
D ．1200天 解析：由第n 天的维修保养费为n ＋49
10元(n ∈N *
)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n 的值．
设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为
3.2×104＋＋n ＋4910
n 2n ＝3.2×104n ＋n 20＋9.92
，
当且仅当3.2×104n ＝n 20
时取得最小值，此时n ＝800. 答案：A
6．[2011·湖北卷] 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733
升 解析：设所构成的等差数列{}a n 的首项为a 1，公差为d ，由⎩⎪⎨
⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1322，d ＝766， 所以a 5＝a 1＋4d ＝6766
. 答案： B
二、填空题
7．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *
)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，x n ＝________，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．
解析：∵y ＝x n ＋1，
∴y ′＝(n ＋1)x n
，它在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，它与x 轴交点的横坐标为x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 由a n ＝lg x n ，得a n ＝lg n －lg(n ＋1)，
于是a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg1－lg2＋lg2－lg3＋…＋lg99－lg100＝lg1－lg100＝0－2＝－2.
答案：n
n ＋1 －2
8．[2011·福建卷] 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．
经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．
解析：由已知，有(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项，即
(c －a )2＝(b －c )(b －a )，
把c ＝a ＋x (b －a )代入上式，得
x 2(b －a )2＝[b －a －x (b －a )](b －a )，即x 2(b －a )2＝(1－x )(b －a )2，
∵b >a ，b －a ≠0，
∴x 2＝1－x ，即x 2＋x －1＝0，
解得 x ＝－1±52
， 因为0<x <1，所以最佳乐观系数x 的值等于－1＋52
.
答案： 5－12
9．数列{a n }的前n 项和是S n ，数列{a n }的各项按如下规则排列：
12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16
，… 若存在整数k ，使S k <10，S k ＋1≥10，则a k ＝__________.
解析：∵12＋1＋23＋1＋2＋34＋1＋2＋3＋45＋1＋2＋3＋4＋56＝152<10，且12＋1＋23＋1＋2＋34
＋1＋2＋3＋45＋1＋2＋3＋4＋56＋1＋2＋3＋4＋5＋67＝212>10，可求得a k ＝57
. 答案：57
三、解答题
10．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
(1)以2010年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；
(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(结果保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35.)
解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9， ∴a n ＝a ·0.9n －1.
(2)10年出口总量S 10＝a －0.9101－0.9
＝10a (1－0.910)． ∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，
即a ≤81－0.9
10，∴a ≤12.3. 故2010年最多出口12.3吨．
11．[2011·安徽卷] 在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则
T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，①
T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1.②
①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得
T 2n ＝(t 1t n ＋2)·(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝10
2(n ＋2)， ∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ≥1.
(2)由题意和(1)中计算结果，知
b n ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3)，n ≥1.
另一方面，利用tan1＝tan[(k ＋1)－k ]＝tan k ＋1－tan k 1＋tan k ＋1·tan k
.
得tan(k ＋1)·tan k ＝tan k ＋1－tan k tan1－1.
所以S n ＝∑n k ＝1
b k ＝∑n ＋2 k ＝3tan(k ＋1)·tan k 12．[2011·北京卷] 若数列A n ：a 1，a 2，…，a n (n ≥2)满足|a k ＋1－a k |＝1(k ＝1,2，…，n －1)，则称A n 为E 数列．记S (A n )＝a 1＋a 2＋…＋a n .
(1)写出一个E 数列A 5满足a 1＝a 3＝0；
(2)若a 1＝12，n ＝2000，证明：E 数列A n 是递增数列的充要条件是a n ＝2011；
(3)在a 1＝4的E 数列A n 中，求使得S (A n )＝0成立的n 的最小值．
解：(1)0,1,0,1,0是一个满足条件的E 数列A 5.
(答案不唯一，0，－1,0,1,0；0，±1,0,1,2；0，±1,0，－1，－2；0，±1,0，－1,0都是满足条件的E 数列A 5)
(2)必要性：因为E 数列A n 是递增数列，
所以a k ＋1－a k ＝1(k ＝1,2，…，1999)．
所以A n 是首项为12，公差为1的等差数列．
所以a 2000＝12＋(2000－1)×1＝2011，
充分性：由于a 2000－a 1999≤1.
a 1999－a 1998≤1.
……
a 2－a 1≤1.
所以a 2000－a 1≤1999，即a 2000≤a 1＋1999.
又因为a 1＝12，a 2000＝2011.
所以a 2000＝a 1＋1999.
故a k ＋1－a k ＝1>0(k ＝1,2，…，1999)，即E 数列A n 是递增数列．
综上，结论得证．
(3)对首项为4的E 数列A n ，由于
a 2≥a 1－1＝3，
a 3≥a 2－1≥2，
……
a 8≥a 7－1≥－3，
……
所以a 1＋a 2＋…＋a k >0(k ＝2,3，…，8)．
所以对任意的首项为4的E 数列A n ，若S (A n )＝0，则必有n ≥9.
又a 1＝4的E 数列A 9：4,3,2,1,0，－1，－2，－3，－4满足S (A 9)＝0，
所以n 的最小值是9.。