山东省泰安市2008届高三上学期期末考试数学(文)试题

山东省泰安市2007-2008学年度第一学期高三期末考试
数学文科
2008.1
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，满分150分钟，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3、考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：
球的表面积公式 球的体积公式
24R S π= 33
4
R V π=
其中R 表示球的半径 其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

1．函数)1ln(-=x y 的定义域是
A ．)2,1(
B ．),1[+∞
C ．),1(+∞
D ．),2()2,1(+∞ 2．已知)2,23(,54)2sin(ππααπ∈=
-，则
α
αα
αcos sin cos sin -+等于 A ．71 B ．7
1
- C ．-7 D ．7
3．已知直线01=++my x 与直线0122
=--y x m 互相垂直，则实数m 为
A ．32
B ．0或2
C ．2
D ．0或32 4．在等比数列{}n a 中，已知641221=∙∙a a a ，则64a a ∙的值为
A ．16
B ．24
C ．48
D ．128 5．在ABC ∆中，已知B C B C cos )sin(2sin +=，那么ABC ∆一定是
A ．等腰直角三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等边三角形
6．设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若αα//,n m ⊥则n m ⊥；②若γβγα⊥⊥,，则βα//；③若αα//,//n m ，则n m //；④若αγββα⊥m ,//,//，则
γ⊥m 。

其中正确命题的个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 7．若奇函数))((R x x f ∈，满足)2()()2(,1)2(f x f x f f +=+=，则)1(f 等于
A ．0
B ．1
C ．2
1
-
D ．21
8．一个几何体的三视图如下所示，则该几何体的表面积是
A ．386+
B ．3712+
C ．3812+
D ．3218+ 9．函数x x y -=)10lg(的图象大致形状是
10．已知平面内有一点P 及一个ABC ∆，若=++，则
A ．点P 在ABC ∆外部
B ．点P 在线段AB 上
C ．点P 在线段BC 上
D ．点P 在线段AC 上 11．若实数y x ,满足关系式y x y x 222
2+=+，则y x u +=的取值范围是
A ．]4,0[
B ．]4,0(
C ．]2,2[-
D ．]4,4(-
12．已知实系数方程01)1(2
=+++++n m x m x 的两个实根分别为1x 、2x ，且1,1021><<x x ，则m
n
的取值范围是
A ．)21,1(--
B ．]21,2(--
C ．)2
1,2(-- D ．)1,2(--
第Ⅱ卷（非选择题题 共90分）
注意事项：
1、第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔答在试卷中（除题目有特殊规定外）。

2、答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

请把答案填在题中横线上。

13．已知直线13+=x y 与曲线n mx x y ++=3
相切于点)4,1(，则_____=m 。

14．设)(x f 定义如下面数表，{}n x 满足50=x ，且对任意自然数n 均有)(01x f x n =+，则2007x 的值为
___________________。

15．已知点)4,1(P 在圆042:2
2
=+-++b y ax y x C ，点P 关于直线03=-+y x 的对称点也在圆C 上，
则__________,==b a 。

16．已知二次函数c bx ax x f ++=2
)(，且不等式0)(<x f 的解集为),3()1,(+∞-∞ ，若)(x f 的最大
值小于2，则a 的取值范围是_______________________。

三、解答题：本大题共6个小题，满分74分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知命题:p 对]1,1[-∈m ，不等式83522+≥--m a a 恒成立；命题:q 不等式022<++ax x 有
解；若p 是真命题，q 是假命题，求a 的取值范围。

18．（本小题满分12分）
已知向量)cos 2,1(),cos ,22sin 3(x x x =+=，设函数x f ∙=)(。

（Ⅱ）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若ABC b A f ∆==,1,4)(的面积为2
3，求a 的值。

19．（本小题满分12分）
如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,1为AC 的中点。

（Ⅰ）求证：//1C B 平面BD A 1； （Ⅱ）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；
（Ⅲ）设E 是1CC 上一点，试确定E 的位置使平面⊥BD A 1平面BDE ，并说明理由。

20．（本小题满分12分）
甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为
)2(22+-n n a 万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a a 1)3
2
(-万元。

（Ⅰ）求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；
（Ⅱ）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年。

21．（本小题满分12分）
已知函数x x x f ln 2
1)(2
-=。

（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若2
33
2)(x x x g +-=，证明当1>x 时，函数)(x f 的图象恒在函数)(x g 图象的上方。

22．（本小题满分14分）
已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 过点)23
,1(，且离心率2
1=e 。

（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点
)0,8
1
(G ，求k 的取值范围。

山东省泰安市2007-2008学年度第一学期高三期末考试
数学试题（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。

二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分。

13．0 14．4 15．1,1=-=b a 16．02<<-a 三、解答题：本题共6个小题，共74分。

17．（本小题满分12分）
解：]3,22[8],1,1[2∈+∴-∈m m ……2分
因为对]1,1[-∈m ,不等式83522+≥--m a a 恒成立，可得3352
≥--a a ……4分
6≥∴a 或1-≤a 。

故命题p 为真命题时，6≥a 或1-≤a 。

……6分 又命题q ：不等式022
<++ax x 有解
082>-=∆∴a
22>∴a 或22-<a ……9分
从而命题q 为假命题时，2222≤≤-a ……10分
所以命题p 为真命题，q 为假命题时，a 的取值范围为122-≤≤-a 。

……12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）)cos 2,1(),cos ,22sin 3(x x x =+= ，
x f ∙=∴)(
x x 2cos 222sin 3++= 32cos 2sin 3++=x x
3)6
2sin(2++=π
x ……3分
ππ
==
∴2
2T ……4分 令)z (2
326
22
2∈+
≤+
≤+
k k x k π
ππ
π
π )(3
2
6Z k k x k ∈+≤≤+
∴πππ
π )(x f ∴的单调区间为)](3
2
,6[Z k k k ∈++
πππ
π……6分 （Ⅱ）由4)(=A f 得
43)62sin(2)(=++=π
A A f
2
1
)62sin(=+∴πA
又A 为ABC ∆的内角
6
7626
π
π
π
<
+
<∴
A 6562π
π=
+∴A 3
π=
∴A ……8分
1,2
3
==
∆b S ABC 2
3sin 21=∴A bc 2=∴c ……8分
32
1
12214cos 2222=⨯
⨯⨯-+=-+=∴A bc c b a 3=∴a ……12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图，连接1AB 与B A 1相交于M 。

则M 为B A 1的中点
连结MD ，又D 为AC 的中点
MD C B //1∴
又⊄C B 1平面BD A 1
//1C B ∴平面BD A 1……4分
（Ⅱ）B B AB 1= ∴四边形11A ABB 为正方形
11AB B A ⊥∴
又⊥1AC 面BD A 1
B A A
C 11⊥∴
⊥∴B A 1面11C AB ……6分 111C B B A ⊥∴
又在直棱柱111C B A ABC -中111C B BB ⊥
⊥∴11C B 平面A ABB 1。

……8分
（Ⅲ）当点E 为C C 1的中点时，平面⊥BD A 1平面BDE ……9分
D 、
E 分别为AC 、C C 1的中点
1//AC DE ∴ 1AC 平面BD A 1
⊥∴DE 平面BD A 1
又⊂DE 平面BDE
∴平面⊥BD A 1平面BDE ……12分
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设甲、乙超市第n 年销售额分别为n n b a ,，又设甲超市前n 年总销售额为n S ， 则)2)(2(2
2
≥+-=n n n a S n 。

因1=n 时，a a =1， 当2≥n 时，)1(]2)1()1[(2
)2(2221-=+----+-=-=-n n n n a
n n a S S a n n n ， 故⎩
⎨
⎧≥-==)2()1()
1(n a n n a a n ……3分
又因2,1≥=n a b 时a b b a n n 1
1)3
2
(--=-，……4分
故)()()(123121--++-+-+=n n n b b b b b b b b
a a a a a n n ])32
()32(321[)32()32(321212--++++=++++=
a a n n
])32(23[3
21)32(11-∙-=--=。

……6分 显然1=n 也适合，故)(,])32(23[*
1N n a b n n ∈∙-=-。

……7分
（Ⅱ）当2=n 时，a b a a 35,22==，有222
1
b a >；
3=n 时，a b a a 919,233==，有332
1
b a >；
当4≥n 时，a a n 3≥，而a b n 3<，故乙超市有可能被收购。

……9分
当4≥n 时，令
n n b a >2
1
， 则1
1)3
2(461])32(23[)1(21--∙->-⇒∙->-n n n a a n ， 即1
)3
2(47-∙->n n 。

……10分
又当7≥n 时1)3
2(401
<∙<-n ，
故当*
N n ∈且7≥n 时，必有1)3
2(47-∙->n n 。

即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购。

……12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）x x x f ln 2
1)(2
-=
的定义域为),0(+∞， 又)(x f 求得：x
x x x x f 1
1)('2-=-=……2分
令0)('=x f ，则1=x ……3分
当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：
……5分
故)(x f 的单调递减区间是)1,0(。

单调递增区产是),1(+∞……6分 （Ⅱ）令x x x x g x f x h ln 2
132)()()(2
3--=
-= 则x x x x x x x h 1
212)('232
--=--=
x
x x x )
12)(1(2++-=……8分
0)('1>∴>x h x
)(x h ∴在),1(+∞上单调递增……10分
又06
1)1(>=
h )()(x g x f >∴
∴当1>x 时，)(x f 的图象恒在)(x g 图象的上方。

……12分
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率2
1=
e 。

2
1=∴a c c a 2=∴
22223c c a b =-=∴
∴椭圆方程为13422
22=+c
y c x ……2分 又点)2
3
,1(在椭圆上 13)23(41222=+∴c
c 12=∴c ∴椭圆的方程为13
42
2=+y x ……4分 （Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M 由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1342
2 消去y 并整理得01248)43(2
22=-+++m kmx x k ……6分 ∵直线m kx y +=与椭圆有两个交点 0)124)(43(4)8(222>-+-=∆m k km ，即3422+<k m ……8分 又2
21438k km x x +-=+ MN ∴中点P 的坐标为)433,434(2
2k m k km ++-……10分 设MN 的垂直平分线'l 方程：)8
1(1--=x k y p 在'l 上
)8
1434(143322-+--=+∴k km k k m 即03842=++km k
)34(812+-=∴k k
m ……12分 将上式代入得3464)34(2222+<+k k
k 20
12>∴k
即10
5>k 或105-<k k ∴的取值范围为),105()105,(+∞-
-∞ ……14分。