勾股定理之折叠问题、等面积法(北师版)(含答案)
北师大版八年级上册第一章勾股定理复习(教案)
举例：针对勾股定理证明的难点，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
-使用直观的图形和动画演示面积法的证明过程，让学生看到面积转化的直观效果。
-分步骤讲解证明过程，强调每一步的逻辑关系和数学意义。
-组织学生进行小组讨论，鼓励他们用自己的语言解释证明过程，加深理解。
其次，在新课讲授环节，我注重理论与实践相结合，通过具体的案例分析和实验操作，帮助学生加深对勾股定理的理解。这种教学方法取得了较好的效果，但我也注意到部分学生在理解证明过程时仍存在困难。因此，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，针对不同水平的学生进行有针对性的辅导。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生积极参与到课堂中，提高了他们的动手能力和团队协作能力。但同时，我也发现部分小组在讨论过程中存在时间分配不均的问题。为了提高课堂效率，我需要在今后的教学中加强对小组讨论的引导和监督，确保每个学生都能充分参与到讨论中来。
-对于勾股数的性质，教师可以设计一些探索性的活动，如让学生尝试找出一定范围内所有的勾股数，通过实践活动发现勾股数的规律。
-在解决实际问题时，教师应引导学生如何从问题中抽象出数学模型，如何将现实问题转化为数学问题，并通过示例来演示解题步骤。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”比如，测量一块三角形的草地面积。这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾勾股定理的奥秘。
-勾股定理的应用：学会将勾股定理应用于解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度或判断一组数是否为勾股数。
第1章勾股定理第2课时 勾股定理的简单应用PPT课件(北师大版)
13．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5 和11，则b的面积为( C)
A．4 B．6 C．16 D．55
14．如图，隔湖有两点A，B，从与BA方向成直角的BC方向 上的点C，测得CA＝50米，CB＝40米，求：
(1)A，B两点间的距离； (2)点B到直线AC的距离．
解：作BD⊥AC于点D.(1)由勾股定理得AB＝30米 (2)由面积 法： 12 AB×BC＝ 12 AC×BD，得BD＝24(米)．答：A，B两点间的距离 是30米，B点到直线AC的距离是24米
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米
9．如图所示是一段楼梯，高BC＝3 cm，斜边AB是5 m，如果 在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯( C )
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
10．如图，一个透明的圆柱形状的玻璃杯，由内部测得其底面 半径为3 cm，高为8 cm，今有一支12 cm的吸管任意斜放于杯中， 若不考虑吸管的粗细，吸管露出杯口长度最少为____cm2.
17．为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图的 AB所在的直线上建一图书阅览室．该社区有两所学校，所在 的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B.已知AB ＝25 km，CA＝15 km，DB＝10 km.试问：阅览室E建在距点A 多少千米处，才能使它到C，D两所学校的距离相等．
11．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请你帮他计算 阳光透过的最大面积．
解：在直角三角形中，由勾股定理可得，直角三角形的斜边长 为5 m，所以长方形塑料薄膜的面积是5×20＝100(m2)即阳光 透过的最大面积是100 m2
北师大版数学八年级上册《勾股定理的验证及应用》课件
+ ，
四边形 = △ + △ = + ( − ) ，
所以 + =
所以 + = .
+ (
− ) .
例2 如图,在铁路 附近有两个村庄 ， ，它们到铁路的距离分
所以 ∠ + ∠ = ∘ .所以 ∠ = ∘ .
因为 梯形 = △ + △ + △ ,
所以 (
+ )( + ) =
整理得 + = .
+ + .
变式 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，“面积法”是常用的方
该树 的一棵大树上，大树高 ，且巢离树顶部 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 / ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = ， = − = ， = .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = − = ， = .
在 △ 中，
= + = + = () .
5. 如图，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度.
同学们发现系在旗杆顶端的绳子拉直垂到了地面且还多 .
同学们把绳子的末端拉开 后，发现绳子末端刚好接触地
别是 和 ,作 ⊥ , ⊥ ,垂足分别为 ， ，
且 = .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使 站到 ，
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题
cbaD CA B第一章 勾股定理学问点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长发觉32+42及52的关系，52+122和132的关系，对于随意的直角三角形也有这特性质吗？直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2）1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。
学问点二：验证勾股定理学问点三：勾股定理证明（等面积法）例1。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：ACBD例2。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：学问点四：勾股定理简洁应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c (2) 已知：b=5，c=13，求a学问点五：勾股定理逆定理假设三角形的三边长为c b a ,,，满意222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 及22a b +，并验证是否相等。
若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。
若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。
1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 学问点六：勾股数bbba（1）满意222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的一样的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不行能的是（ ）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,151.若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7学问点七：确定最短路途1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm,有一只甲虫从A 动身，沿外表爬到C '，最近间隔 是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .学问点八：逆定理推断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形态是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定．2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对学问点九：勾股定理应用题1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道好玩的问题，这个问题的意思是：有一个水ABCD A 'B 'C 'D 'ABC5米3米池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，假设把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,安排在楼梯外表铺地毯,地毯的长度至少须要________米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两局部各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发觉旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发觉下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大一样的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满意(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为 （ ）A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，程度间隔 AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2a +2b +2c 的值是 （ ）A 、6B 、8C 、10D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43 C 、0.2，0.3，0.4 D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 动身向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 动身向东南方向航行，分开港口2小时后，则两船相距（ ）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ．400225AB812255.在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝．6.△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD= ，S△ABC = 。
北师大版八年级数学上勾股定理
初中数学试卷勾股定理一 探索勾股定理（一） 勾股定理知识链接（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a 2+b 2=c 2 的变形有：a 2=c 2-b 2，b 2=c 2-a 2及c 2=a 2+b 2．（4）由于a 2+b 2=c 2＞a 2，所以c ＞a ，同理c ＞b ，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 同步练习1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，且AB=4，BD=5，则点D 到BC 的距离是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．（2014•乐山）如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ．则BD 的长为（ ）A ．532B ．543C ．554D ．5533．（2013•黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）A．5 B．7 C．5 D．5或74．（2013•六合区一模）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．75．（2014•增城市一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，（1）求AB的长；（2）求CD的长．6．（2014•金华模拟）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠B=90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于．7．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm8．（2014•徐汇区二模）如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若BD=5，BO=4，则AO 的长为．9．（2014•香坊区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC．若CD=3，BC+AB=16，则△ABC 的面积为（）A．16 B．18 C．24 D．3210．（2014•南充）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A ′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′=x，则x的取值范围是．11．（2014•房山区一模）阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为5、10、13，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：（1）图1中△ABC的面积为______；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．2、29的格点△DEF；①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为13、5②计算△DEF的面积为______．（3）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．若PQ=22，PR=13，QR=17，则六边形AQRDEF的面积为______．（二）勾股定理证明知识链接（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．同步练习1．用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（）A．c2=a2+b2 B．c2=a2+2ab+b2 C．c2=a2-2ab+b2 D．c2=（a+b）2．2．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A． B． C． D．3．（2014•满洲里市模拟）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么（a+b）2的值为（）A．49 B．25 C．13 D．14．（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90 B．100 C．110 D．1215、（2011•温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是______．6．由8个相同的直角三角形（图中带阴影的三角形）与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果最大的正方形的面积是25，最小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么222a3-333b3=______．7．利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为____ __，该定理的结论其数学表达式是 ____ __．8．如图，网格中的图案是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证某个著名结论的方法：（1）请你画出直角梯形EDBC绕EC中点O顺时针方向旋转180°的图案，你会得到一个美丽的图案．（阴影部分不要涂错）．（2）若网格中每个小正方形边长为单位1，旋转后A、B、D的对应点为A′、B′、D′，求四边形ACA′E 的面积？（3）根据旋转前后形成的这个美丽图案，你能说出这个著名的结论吗？若能，请你写出这个结论．9．（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；（3）请利用（1）中的公式和图2证明勾股定理．10．.如图，已知正方形ABCD和CEFG，连接DE，以DE为边作正方形EDHI，试用该图形证明勾股定理：CD2+CE2=DE2．（三）等腰直角三角形知识链接（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，两腰相等，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=2+1，所以r ：R=1：2+1． 同步练习1．如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，BD 是角平分线，DE ⊥BC ，垂足为点E ．若CD=25，则AD 的长是（ ）A ．225B ．22C ．25 D ．52．在△ABC 中，BC ：AC ：AB=1：1：2，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．如图，等腰直角三角形ABC 中，AC=BC ＞3，点M 在AC 上，点N 在CB 的延长线上，MN 交AB 于点O ，且AM=BN=3，则S △AMO 与S △BNO 的差是（ ）A ．9B ．4.5C ．0D ．因为AC 、BC 的长度未知，所以无法确定4．（2011•万州区模拟）如图，△ACD 和△AEB 都是等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°，下列五个结论：①EC=BD ；②EC ⊥BD ；③S 四边形EBCD = 21EC •BD ；④S △ADE =S △ABC ；⑤△EBF ∽△DCF ；其中正确的有（ ）A ．①②④⑤B ．①②③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤5．如图，已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，则第2015个等腰直角三角形的斜边长是____ __．6．如图，在等腰直角△ACB 中，∠ACB=90°，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且∠DOE=90°，DE 交OC 于点P ．有下列结论：①∠DEO=45°；②△AOD ≌△COE ；③S 四边形CDOE = 21S △ABC ；④OD 2=OP •OC ． 其中正确的结论序号为____ __．（把你认为正确的都写上）7．如图，a ∥b ，点A 在直线a 上，点C 在直线b 上，∠BAC=90°，AB=AC ，若∠1=20°，则∠2的度数为____ __．8．（2014•徐州模拟）如图，在△ABC 中，∠A=90°，∠C=45°，AB=6cm ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，DE ⊥BC ，垂足为E ，则DC+DE= ____ _cm ．9．（2014•温州五校一模）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，点E在BC边上，且CE=CD，连结AE、BD、DE．①求证：△ACE≌△BCD；②若∠CAE=25°，求∠BDE的度数．二能得到直角三角形吗（一）勾股定理的逆定理知识链接（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．同步练习1．（2012•广西）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（）A．② B．①② C．①③ D．②③2．（2012•连云港一模）如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（）A．6 B．7 C．8 D．93．（2014•江西模拟）下列各三角形中，面积为无理数的是（）A． B． C． D．4．下列能构成直角三角形三边长的是（）A．1，1，2 B．5，8，10 C．5，12，13 D．6，7，85．（2012•松北区二模）如图△ABC中，AB=5，AC=3，中线AD=2，则BC长为____ _．6．在直角三角形中，满足条件的三边长可以是____ _（写出一组即可）．7．三角形的三边a ，b ，c 满足（a+b ）2=c 2+2ab ，则这个三角形是____ _三角形．8．（2014•萧山区模拟）如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，∠BCD=135°，且AB=3cm ，BC=7cm ，CD=25cm ，点M 从点A 出发沿折线A-B-C-D 运动到点D ，且在AB 上运动的速度为21cm/s ，在BC 上运动的速度为1cm/s ，在CD 上运动的速度为2cm/s ，连接AM 、DM ，当点M 运动时间为____ _（s ）时，△ADM 是直角三角形．9．（2014•高安市模拟）如图，方格纸中的每个正方形的边长均为1，点A 、B 在小正方形的顶点上，在图中画△ABC （点C 在小正方形的顶点上），使△ABC 为直角三角形（要求画两个且不全等）10．（2014•顺义区一模）在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，设c 为最长边．当a 2+b 2=c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2+b 2≠c 2时，利用代数式a 2+b 2和c 2的大小关系，可以判断△ABC 的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC 为______三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC 为______三角形．（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a 2+b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2+b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a=2，b=4时，最长边c 在什么范围内取值时，△ABC 是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？（二）勾股数三勾股定理应用（一）勾股定理的应用知识链接（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．同步练习1．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？（）A．100 B．180 C．220 D．2602．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC长20米，BC长16米，则A点和B点之间的距离为（）米．4A．25 B．12 C．13 D．33．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A．5米 B．3米 C．（5+1）米 D．3米4．（2014•和平区一模）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点，当它靠在另一侧墙时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°．点D到地面的垂直距离DE=32m，则点B到地面的垂直距离BC为___ ．5．（2013•池州一模）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为___ ．6．（2014•西湖区一模）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，开始时B到墙C的距离为0.7米，若梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离相等，则下滑的距离是___米．7．（2014•三门县一模）如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm、4cm、12cm，插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm至5cm间（包括3cm与5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度L的范围是__ _．8．（2014•西宁）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．9．（2014•广东一模）如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．10．（2013•本溪）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：2=1.41，3=1.73）（二）平面展开----最短路径问题 知识链接（1）平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．同步练习1．如图，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母线BC 上一点，且PC=32BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（ ）A ．(4+)cm B ．5cm C ．35cm D ．7cm2．如图，若圆柱的底面周长是30cm ，高是40cm ，从圆柱底部A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B 处做装饰，则这条丝线的最小长度是（ ）A ．80cmB ．70cmC ．60cmD ．50cm3．如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m ，高为3m ．如果要求彩带从柱子底端的A 处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B 处（线段AB 与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（ ）A ． 45m B ．3m C ．4m D ．5m4．如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为（ ） A ．12cm B ． 97cm C ．15cm D ． 21cm5．（2014•博山区模拟）如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）A．3 B．2+2 C．10D．46．（2013•荆州模拟）如图所示，有一圆柱形油罐，现要以油罐底部的一点A环绕油罐建梯子（图中虚线），并且要正好建到A点正上方的油罐顶部的B点，已知油罐高AB=5米，底面的周长是的12米，则梯子最短长度为___ 米．7．（2013•盐城模拟）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为___ cm．8．（2014•西湖区一模）如图，是一个无盖玻璃容器的三视图，其中俯视图是一个正六边形，A、B两点均在容器顶部，现有一只小甲虫在容器外A点正下方距离顶部5cm处，要爬到容器内B点正下方距离底部5cm 处，则这只小甲虫最短爬行的距离是___ cm．-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------9．（2013•贵阳模拟）请阅读下列材料：问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）（1）设路线1的长度为L1，则L12=______．设路线2的长度为L2，则L22=______．所以选择路线______（填1或2）较短．（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：L12=______．路线2：L22=______．所以选择路线______（填1或2）较短．（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．信达。
勾股定理之等面积法(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：回顾直角三角形性质：边：①直角三角形斜边长______任意一条直角边长；②勾股定理：直角三角形两直角边的___________________.角：直角三角形两锐角____________.问题2：直角的思考角度：当出现垂直时，如果与角度有关，考虑直角三角形两锐角__________；如果与边长有关，考虑___________；如果有多个直角出现，考虑_______________.勾股定理之等面积法（北师版）一、单选题(共1道，每道20分)1.如图所示，等边△ABC内一点P到三边距离分别为，，，且，其中，，，则△ABC的边BC上的高为( )A.6B.3C.4D.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等面积法二、填空题(共4道，每道20分)2.如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=15，△ABC内一点P到三边的距离PD=PE=PF，则PD的长为____.答案：3解题思路：试题难度：知识点：等面积法3.已知等腰三角形底边上的高为4，周长为16，则这个三角形面积为____．答案：12解题思路：试题难度：知识点：等面积法4.如图，已知四边形ABCD中，∠A=90°，AB=16，BC=25，CD=15，AD=12，则四边形ABCD 的面积是____.答案：246解题思路：试题难度：知识点：割补法求面积5.如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为____m2．答案：96解题思路：试题难度：知识点：割补法求面积。
勾股定理单元测试(北师版)(含答案)
勾股定理单元测试（北师版）试卷简介:本套试卷主要检测学生对于勾股定理以及逆定理的理解及其应用，题目主要围绕勾股定理的内容以及在实际生活中的应用，考查学生能否在实际问题中构建直角三角形，利用直角三角形的性质解决问题。
一、单选题(共12道，每道7分)1.一架长为12.5米的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距墙底端3.5米,如果梯子的顶端沿墙下滑2米,那么梯足将滑动( )A.4米B.8米C.2米D.6米答案：A解题思路：如图，AB=A′B′=12.5，BC=3.5，AA′=2在Rt△ABC中，由勾股定理，得∴A′C=10在Rt△A′B′C中，由勾股定理，得∴B′C-BC=4（米）即梯足将滑动4米.故选A试题难度：三颗星知识点：勾股定理2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：根据题意画出相应的图形，如图所示在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：，过点C作CD⊥AB于点D，∵，∴则点C到AB的距离是．故选A试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法3.如图,在一块四边形ABCD空地中植草皮,测得AB=3m,BC=4m,DA=13m,CD=12m, 且∠ABC=90°.若每平方米草皮需要200元,则需要投入( )元.A.16800B.7200C.5100D.14400答案：B解题思路：如图，连接AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得=5在△ACD中，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°36×200=7200（元）∴共需要投入7200元.故选B试题难度：三颗星知识点：勾股定理逆定理4.一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下,倒下部分与地面成30°夹角,这棵大树在折断前的高度为( )A.10米B.15米C.25米D.30米答案：B解题思路：如图，在Rt△ABC中，AC=5，∠ABC=30°∴AB=10∴这棵大树在折断前的高度为AC+AB=15(米)故选B试题难度：三颗星知识点：勾股定理5.如图,在长方形纸片ABCD中,AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )A.3B.4C.5D.6答案：D解题思路：∵四边形ABCD是长方形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是由△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，∠EFA=90°∴CE=8-3=5，在Rt△CEF中，由勾股定理，得，设AB=x，在Rt△ABC中，由勾股定理，得，即解得x=6，故选D试题难度：三颗星知识点：勾股定理折叠问题6.如图,圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是母线BC上一点, 且PC=BC.一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是( )A. B.5cmC. D.7cm答案：B解题思路：将圆柱沿过点A的母线展开，如图所示，AC=3cm，BC=6cm，.在Rt△ACP中，由勾股定理，得试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题7.在△ABC中,AB=25,AC=17,高AD=15,则△ABC的周长为( )A.70B.8或20C.54或70D.12或28答案：C解题思路：①△ABC为锐角三角形时，如图，在Rt△ABD中，由勾股定理，得在Rt△ACD中，由勾股定理，得∴BC=28此时△ABC的周长为70②△ABC为钝角三角形时，如图，在Rt△ABD中，由勾股定理，得在Rt△ACD中，由勾股定理，得∴BC=12此时△ABC的周长为54综上，答案选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理8.如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )A.12≤a≤13B.12≤a≤15C.5≤a≤12D.5≤a≤13答案：A解题思路：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：，即a的取值范围是12≤a≤13故选A试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用9.如图,在直线上依次摆放着七个正方形.已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放置的四个正方形的面积分别为,,,,则( )A.3B.4C.5D.6答案：B解题思路：如图，∵图中的四边形为正方形∴∠ABD=90°，AB=DB∴∠ABC+∠DBE=90°∵∠ABC+∠CAB=90°∴∠CAB=∠DBE∵在△ABC和△BDE中∴△ABC≌△BDE（AAS）∴AC=BE∵∴∵∴同理可得∴故选B试题难度：三颗星知识点：勾股定理弦图应用10.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为,那么的值是( )A.13B.19C.25D.169答案：C解题思路：=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+(13-1)=25故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理弦图应用11.如图,BD,BE是直角三角形ABC斜边AC上的中线与高线.已知AB=4,BC=3,则AD:DE:EC等于( )A.5:3:4B.25:9:16C.25:7:18D.3:2:1答案：C解题思路：在Rt△ABC中，AB=4，BC=3∴∵BD是斜边AC的中线∴∵BE是AC上的高∴在Rt△BDE中，，由勾股定理得，∴∴AD:DE:EC=25:7:18故选C试题难度：三颗星知识点：等积公式12.如图,在正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正确的结论有( )个.A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：①正确．∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正确．，设BG=FG=x，则CG=6-x．在Rt△ECG中，由勾股定理，得，∴BG=GC=3；③正确．∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．∵∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，∴，∴，∴④错误，正确的结论有3个故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理折叠问题二、填空题(共2道，每道8分)13.如图,折叠一个矩形纸片，沿着AE折叠后，点D恰好落在BC边的一点F上，已知AB=8cm，BC=10cm，则____．答案：6解题思路：由折叠的性质知：AF=AD=BC=10在Rt△ABF中，由勾股定理得：设CE＝x，则EF＝8-x在Rt△CEF中，由勾股定理得：即：可得：x＝3∴试题难度：知识点：勾股定理之折叠问题14.某工厂大门形状如图所示，其上部分为半圆，工厂门口的道路为双行道．要想使宽为1.2米，高为2.8米的卡车安全通过，那么此大门的宽至少应增加____米．答案：1解题思路：假设卡车恰好通过时，如图所示，图形中，AB＝2.8-2.3=0.5，OA＝1.2，AB⊥OA在Rt△OBA中，由勾股定理得：∴大门的宽度至少应该为2.6m 2.6-1.6=1 m即：至少需要增加1m试题难度：知识点：拱桥问题。
北师版数学八上第一章勾股定理知识点和常考题型 答案版
《勾股定理》【知识网络】【要点梳理】1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=） 2.拼图法验证勾股定理3.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ； （2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形； 若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形． 4.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1.5、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【常考题型】类型一、面积问题1．如图，∠ACB ＝90°，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1，S 2，S 3，且S 1＝1，S 2＝3，则S 3为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9解析．如图，∠ACB ＝90°，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1，S 2，S 3，且S 1＝1，S 2＝3，则S 3为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9【分析】先设Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ，再分别用a 、b 、c 表示S 1、S 2、S 3的值，由勾股定理即可得出S 3的值．【解答】解：设Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ， ∴S 1＝a 2＝1，S 2＝b 2＝3，S 3＝c 2，∵△ABC是直角三角形，∴a2+b2＝c2，即S1+S2＝S3，∴S3＝S1+S2＝1+3＝4，故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理的应用及正方形的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．2、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积．【答案与解析】解：连接AC，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC2=25，又∵CD=12，AD=13，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•CD=×3×4+×5×12=36．故四边形ABCD的面积是36．3、在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．【答案与解析】解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x，则CD=14﹣x，由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，故152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S△ABC=BC•AD=×14×12=84．4.（2014春•防城区期末）如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？【答案】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．5．如图，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位．（1）在方格纸上，请你以线段AB为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法；（2）请你在图上画出一个面积为5个单位的正方形．解析．如图，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位．（1）在方格纸上，请你以线段AB为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法；（2）请你在图上画出一个面积为5个单位的正方形．【分析】（1）根据正方形的定义画出图形即可．（2）可以利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）正方形ABCD如图所示．根据网格和勾股定理可知：AB2＝22+62＝40（个单位），∴正方形ABCD的面积为40个单位；（2）面积为5个单位的正方形如图所示．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．类型二、判断形状1.如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．【答案与解析】解：∵△BEF 是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1， ∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，∵由勾股定理得：BE2=AB2+AE2=42+22=20，EF2=DE2+DF2=22+12=5，BF2=BC2+CF2=42+32=25， ∴BE2+EF2=BF2， ∴∠BEF=90°，即△BEF 是直角三角形．2、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔAB C 的形状.【答案与解析】解：由222506810a b c a b c +++=++，得 ： 2226981610250a a b b c c -++-++-+= ∴ 222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=∵222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，， ∴ 3,4, 5.a b c === ∵ 222345+=, ∴ 222a b c +=.由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.类型三、最短路径问题1.【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ， 即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+= ．∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．2、如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC ＝400米，BD ＝200米，CD ＝800米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB ，交CD 于点E ，利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决． 【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB 交CD 于点E ，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ． ∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=． ∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）A ．6B ．8C ．9D ．15【解答】解：将台阶展开，如图， 因为AC ＝3×3+1×3＝12，BC ＝9， 所以AB 2＝AC 2+BC 2＝225， 所以AB ＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15． 答：蚂蚁爬行的最短线路为15． 故选：D ．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．4．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（）cm．A．9 B．10 C．18 D．20解析．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（）cm．A．9 B．10 C．18 D．20【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于EG的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝15cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝12cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝＝9cm，∴则该圆柱底面周长为18cm．故选：C．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．5．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是25cm．【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB＝；∵25＜5，∴蚂蚁爬行的最短距离是25．故答案为：25【点评】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．类型4：折叠问题1．如图所示，把长方形AOBC放在直角坐标系xOy中，使OB、OA分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为（2，1），将△ABC沿AB翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，AD 交x轴于点E，则点D的坐标为．【解答】解：如图，过点D作DH⊥OB于H，∵四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（2，1），∴OA＝BC＝1，AC＝OB＝2，∵将△ABC沿AB翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，∴AD＝AC＝2，BD＝BC＝1，在△AOE和△BDE中，，∴△AOE≌△BDE（AAS），∴AE＝BE，OE＝ED，设AE＝BE＝x，则OE＝2﹣x，∵OA2+OE2＝AE2，∴12+（2﹣x）2＝x2，解得x＝，∴BE＝，DE＝OE＝，∵S△DEB＝×DE×BD＝×BE×DH，∴DH＝，∴BH＝＝＝，∴OH＝，∴点D（，﹣），故答案为：（，﹣）．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求DH的长是本题的关键．2．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC边上的一个动点，把△ADE沿AE 折叠，当点D的对应点D′刚好落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为或．【分析】过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，由矩形有两条对称轴可知要分两种情况考虑，根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系，在直角△EMD′与△AND′中，利用勾股定理可得出关于DM长度的一元二次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，如图1所示．设DE＝a，则D′E＝a．∵矩形ABCD有两条对称轴，∴分两种情况考虑：①当DM＝CM时，AN＝DM＝CD＝AB＝4，AD＝AD′＝5，由勾股定理可知：ND′＝＝3，∴MD′＝MN﹣ND′＝AD﹣ND′＝2，EM＝DM﹣DE＝4﹣a，∵ED′2＝EM2+MD′2，即a2＝（4﹣a）2+4，解得：a＝；②当MD′＝ND′时，MD′＝ND′＝MN＝AD＝，由勾股定理可知：AN＝＝，∴EM＝DM﹣DE＝AN﹣DE＝﹣a，∵ED′2＝EM2+MD′2，即，解得：a＝．综上知：DE＝或．故答案为：或．【点评】本题考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于DM长度的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题型题目时，结合勾股定理列出方程是关键．类型5：实际应用1．古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深尺．【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB′的长为10尺，则B′C＝5尺，设出AB＝AB′＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的水深．【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，∵B′E＝10尺，∴B′C＝5尺，在Rt△AB′C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即水深12尺，故答案为：12．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．2．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE，请用a，b，c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：S梯形ABCD＝a（a+b），S△EBC＝b（a﹣b），S四边形AECD＝c2，则它们满足的关系式为a（a+b）＝b（a﹣b）+c2，经化简，可得到勾股定理．（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）知识运用：（1）如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C，D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为41千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图3中作出P点的位置并求出AP的距离．（3）知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式+的最小值20（0＜x＜16）．【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．知识运用：（1）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC＝AE，CE＝AB，从而得到DE＝AD﹣AE＝24﹣16＝8千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离．（2）连接CD，作CD的垂直平分线角AB于P，P即为所求；设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，分别在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通过PC＝PD建立方程，解方程即可．（3）知识应用：根据轴对称﹣最短路线的求法即可求出【解答】解：小试牛刀：S梯形ABCD＝a（a+b），S△EBC＝b（a﹣b），S四边形AECD＝c2，它们满足的关系式为：a（a+b）＝b（a﹣b）+c2，故答案为：a（a+b），b（a﹣b），c2，a（a+b）＝b（a﹣b）+c2．知识运用：（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴BC＝AE，CE＝AB，∴DE＝AD﹣AE＝25﹣16＝9千米，∴CD＝＝＝41（千米），∴两个村庄相距41千米．故答案为：41．（2）如图2②所示：设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，在Rt△ADP中，DP2＝AP2+AD2＝x2+242，在Rt△BPC中，CP2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162，∵PC＝PD，∴x2+242＝（40﹣x）2+162，解得x＝16，即AP＝16千米．知识迁移：如图3，先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作EF⊥AD与E，即：DF就是代数式+的最小值．代数式+的几何意义是线段AB上一点到点D，C的距离之和，而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点，从而构造出了以AB为一条直角边，AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值，∴代数式+的最小值为：＝＝＝20．故答案为：20．【点评】此题是四边形是三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称﹣最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．3．随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．【分析】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：能通过；理由：由题意得，运输车从中间过更容易通过储藏室，能通过的最大高度为EF的长度，如图，设点O为半圆的圆心，点P为运输车的外边沿，则OP＝0.8m，OE＝1m，∠OPE＝90°，在Rt△OPE中，由勾股定理得，EP2＝OE2﹣OP2＝1﹣0.82＝0.36，∴EP＝0.6（m），∴EF＝0.6+1.8＝2.4（m），∵2.4＞2.3，∴运输车通过储藏室的门．【点评】本题考查了勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．类型6：勾股定理的验证1．如图①是一个边长为a+b的正方形，李明将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a﹣b）2+2ab＝a2+b2C．（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【分析】用代数式分别表示图①、图②的阴影部分面积即可得出答案．【解答】解：如图①，S阴影＝S大正方形﹣S小正方形＝（a+b）2﹣（a2+b2），图②菱形的对角线的长分别为2a，2b，因此S阴影＝S菱形＝×2a×2b＝2ab，所以有（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab，故选：C．【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示阴影部分的面积是得出答案的关键．2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．。
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (20)
一、选择题1.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是( )A．5，12，13B．5，6，7C．1，4，9D．5，11，122.如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是( )A．30cm2B．30πcm2C．60πcm2D．120cm23.中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图 2 由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为( )A．9B．6C．5D．924.如图，A，B两点在直线l的两侧，点A到直线l的距离AC=2，点B到直线l的距离BD=1，且CD=3，P为直线CD上的动点，则∣PA−PB∣的最大值是( )A．2B．√2C．√10D．35.如图，△ABD≌△EBC，AB=12，BC=5，则下列结论中：① CD⊥AE；② AD⊥CE；③ CDAE =513；④ ∠EAD=∠ECD．正确的是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6.在锐角等腰△ABC中，AB=AC，sinA=45，则cosC的值是( )A．12B．2C．2√55D．√557.在Rt△ABC中，∠C=90∘，ACAB =23，则cosB的值为( )A．23B．35C．3√55D．√538.如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm(π=3)，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约( )A．10cm B．12cm C．19cm D．20cm9.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )A．20B．25C．30D．3210.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm，点D从点A出发以每秒1cm的速度向点C运动，当点D运动到线段AB的中垂线与线段AC的交点处时，运动时间是( )A．252秒B．254秒C．132秒D．72秒二、填空题11.在一张边长为8，宽为6的矩形纸片上剪下一个腰长为5的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积是．12.已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边．（1）若b=0.3，c=0.5，则a=；（2）若a=40，b=9，则c=；（3）若a=6，c=10，则b=；（4）若c=25，b=15，则a=．13.已知Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，直线m经过点C，分别过点A，B作直线m的垂线，垂足分别为点E，F，若AE=3，AC=5，则线段EF的长为．14.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=∠D=60∘，AB=4，AD=2√3，点P为CD边上一动点，若∠APB=45∘，则DP的长为．15.如图1是一种广场三联漫步机，其侧面示意图，如图2所示，其中AB=AC=120 cm，BC=80 cm，AD=30 cm，∠DAC=90∘．（1）A到地面的高度是cm．（2）点D到地面的高度是cm．16.在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1+S2−S3−S4=．17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=10，AC=8，点D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点Aʹ处，当AʹE⊥AB时，那么AʹA的长为．三、解答题18.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=16，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．(1) 当t=3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；(2) 当△ABP为等腰三角形时，求t的值；(3) 过点D做DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE=CD？19.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90∘，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．20.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（不需要写画法）(1) 在图1中，画一个正方形，使它的面积是10．(2) 在图2中，画一个三角形ABC，使它的三边长分别为：AB=√2，BC=2√2，AC=√10，并计算AC边上的高为．（直接写出结果）21.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，点D为AC边中点，求cos∠DBC，sin∠ABD的值．22.如图，已知△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90∘，点D在线段AC上．(1) 求∠DCE的度数；(2) 当点D在线段AC上运动时（D不与A重合），请写出一个反映DA，DC，DB之间关系的等式，并加以证明．⏜为半圆，C是BE⏜上一动点，连接CA，CB，已知23.如图，点E在弦AB所对的优弧上，且BEAB=4cm，设B，C两点间的距离为x cm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A，C 两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1) 按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm00.78 1.76 2.85 3.98 4.95 4.47y2/cm4 4.69 5.26 5.96 5.94 4.47(2) 在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1)，(x,y2)，并画出函数y1，y2的图象．(3) 解决问题：①连接BE，则BE的长约为cm．②当以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形时，BC的长度约为cm．24.如图，四边形ABCD中，∠ADC=90∘，AD=4cm，CD=3cm，AB=13cm，BC=12cm，求这个四边形的面积？25.小霞和爸爸，妈妈到人民公园玩，回家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区图（横轴和纵轴均为小正方形的边所在的直线，每个小正方形边长为1个单位长度）．(1) 若小霞建立的平面直角坐标系中，游乐园D的坐标为(2,−1)，请你在图中画出这个平面直角坐标系．(2) 根据（1）中建立的平面直角坐标系，写出景点A，B的坐标．A，B；(3) 在图中，位于原点西北方向的是哪个景区？并求出表示该景区的点到原点的距离．答案一、选择题1. 【答案】A【知识点】勾股逆定理2. 【答案】C【解析】∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．∴BC=√82+62=10(cm)，∴这个圆锥漏斗的侧面积是：πrl=π×6×10=60π(cm2)．【知识点】勾股定理、圆锥的计算3. 【答案】B【知识点】勾股定理4. 【答案】C【解析】作点B于直线I的对称点Bʹ，连ABʹ并延长交直线I于P．则BʹD=BD=1．∵AB∥BʹD，∴PDPC =BʹDAC．即PDPD+3=12，解得PD=3，PC=3+3=6，∴PA=√PC2+AC2=√62+22=2√10，PBʹ=√PD2+BʹD2=√32+12=√10，∴∣PA−PB∣的最大值=2√10−√10=√10．【知识点】勾股定理5. 【答案】B【解析】延长CD交AE于点F，∵△ABD≌△EBC∴∠ABD=∠EBC=90∘，BD=BC，AB=EB，∴∠EDF=∠BDC=∠BCD=45∘，∠AEB=∠EAB=45∘，∴∠EFD=180∘−45∘−45∘=90∘，∴CD⊥AE，故①正确；延长AD交CE于点M，∵△ABD≌△EBC，∴∠BAD=∠BEC，∵∠BEC+∠BCE=180∘−∠EBC=180∘−90∘=90∘，∴∠BAD+∠BCE=90∘，∴∠AMC=90∘，即：AD⊥CE，故②正确；∵在等腰Rt△BCD中，BC2+BD2=CD2，∴CD=√BC2+BD2=√52+52=5√2．同理：AE=√AB2+EB2=√122+122=12√2．∴CDAE =512，故③错误；∵在等腰Rt△ABE中，∠EAD+∠BAD=45∘，又∵∠BEC+∠ECD=∠BDC=45∘，∠BAD=∠BEC，∴∠EAD=∠ECD，故④正确．【知识点】勾股定理、全等形的概念及性质6. 【答案】D【解析】如图，过B作BD⊥AC于D，∵sinA=BDAB =45，设BD=4k，AB=5k，∴AD=√AB2−BD2=3k，∵AB=AC=5k，∴.CD=2k，∴BC=√BD2+CD2=2√5k，∴cosC=CDBC =2√5k=√55．【知识点】等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的概念、勾股定理7. 【答案】D【解析】设AC=2x，∵ACAB =23，∴AB=3x，由勾股定理得，BC=√AB2−AC2=√(3x)2−(2x)2=√5x,则cos=BCAB =√53．【知识点】余弦、勾股定理8. 【答案】A【知识点】平面展开-最短路径问题9. 【答案】B【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√152+202=25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√102+252=5√29；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB=√AC2+BC2=√302+52=5√37；∵25<5√29<5√37，∴蚂蚁爬行的最短距离是25．【知识点】勾股定理的实际应用10. 【答案】B【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=√AC2+BC2=10cm∵EDʹ是AB的中垂线，∴BE=5，连接BDʹ，∴BDʹ=ADʹ，在Rt△CBDʹ中，BDʹ2=CDʹ2+BC2，即ADʹ2=62+(8−ADʹ)2，解得：ADʹ=254，∴当点D运动到线段AB的中垂线上时，运动时间为254秒．【知识点】勾股定理二、填空题11. 【答案】252或5√6或10【解析】分三种情况计算：（1）当AE=AF=5时，如图：∴S△AEF=12AE⋅AF=12×5×5=252．（2）当AE=EF=5时，如图：则BE=6−5=1，BF=√EF2−BE2=√52−12=2√6，∴S△AEF=12⋅AE⋅BF=52×2√6=5√6．（3）当AE=EF=5时，如图：则DE=8−5=3，DF=√EF2−DE2=√52−32=4，∴S△AEF=12AE⋅DF=12×5×4=10．【知识点】勾股定理12. 【答案】0.4；41；8；20【知识点】勾股定理13. 【答案】1或7【解析】分两种情况：①如图1所示：∵∠ACB=90∘，∴∠1+∠2=90∘，∵BF⊥m，∴∠BFC=90∘，∴∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，∵AE⊥m，∴∠AEC=90∘，∴CE=√AC2−AE2=√52−32=4，在△BCF和△CAE中，{∠3=∠1,∠BFC=∠AEC=90∘, BC=AC,∴△BCF≌△CAE(AAS)，∴CF=AE=3，∴EF=CE−CF=4−3=1．②如图2所示：∵△ACB=90∘，∴∠1+∠2=90∘，∵BF⊥m，∴∠BFC=90∘，∴∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，∵AE⊥m，∴∠AEC=90∘，∴CE=√AC2−AE2=√52−32=4，在△BCF和△CAE中，{∠3=∠1,∠BFC=∠AEC=90∘, BC=AC,∴△BCF≌△CAE(AAS)，∴CF=AE=3，∴EF=CE+CF=4+3=7．综上所述：线段EF的长为：1或7．故答案为：1或7．【知识点】勾股定理14. 【答案】2+√3−√7或2+√3+√7【解析】如图，作AH⊥CD于H，以AB为底边向下作等腰直角△AOB，以O为圆心OA为半径作⊙O交CD于P1，P2，连接AP1，BP1，AP2，BP2，OP1，OP2，作OE⊥AB于E交CD于F．则∠AP1B=∠AP2B=45∘，OE=AE=EB=OP1=OP2=2√2，在Rt△ADH中，∵AD=2√3，∠D=60∘，AD=√3，AH=EF=3，OF=EF−OE=1，∴DH=12∴FP1=FP2=√22−12√(2√2)2−12=√7，∵DF=DH+FH=√3+2，∴DP1=2+√3−√7，DP2=2+√3+√7．【知识点】等腰直角三角形、勾股定理15. 【答案】80√2；(10+80√2)【解析】（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DH⊥AF，垂足为H，∵AF⊥BC，垂足为F，∴BF=FC=12BC=40 cm，根据勾股定理，得AF=√AB2−BF2=√1202−402=80√2(cm)．（2）∵∠DHA=∠DAC=∠AFC=90∘，∴∠DAH+∠FAC=90∘，∠C+∠FAC=90∘，∴∠DAH=∠C，∴△DAH∽△ACF，∴AHFC =ADAC，∴AH40=30120，∴AH=10 cm，∴HF=(10+80√2)cm．【知识点】相似三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质16. 【答案】−2【解析】由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S3+S4=3，故S1+S2−S3−S4=(S1+S2)−(S3+S4)=1−3=−2，故答案为−2．【知识点】勾股定理17. 【答案】285√2或45√2【知识点】勾股定理之折叠问题三、解答题18. 【答案】(1) 根据题意，得BP=2t，PC=16−2t=16−2×3=10，AC=8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP=√AC2+PC2=√164=2√41．答：AP的长为2√41．(2) 在Rt△ABC中，AC=8，BC=16，根据勾股定理，得AB=√64+256=√320=8√5若BA=BP，则2t=8√5，解得t=4√5；若AB=AP，则BP=32，2t=32，解得t=16；若PA=PB，则(2t)2=(16−2t)2+82，解得t=5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4√5，16，5．(3) 若P在C点的左侧，CP=16−2t，AP=20−2t，(20−2t)2=(16−2t)2+82，解得：t=5；若P在C点的右侧，CP=2t−16，AP=2t−12，(2t−12)2=(2t−16)2+82，解得：t=11．答：当t为5或11时，能使DE=CD．【知识点】几何问题、勾股定理19. 【答案】∵AC+AB=10，∴AB=10−AC．在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+32=(10−AC)2，解得AC=4.55．【知识点】勾股定理的实际应用20. 【答案】(1) 画一个正方形，它的面积为10，如图所示．(2) △ABC如图所示；2√105【解析】(2) ∵AB=√2，BC=2√2，AC=√10，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90∘，设AC边上的高为ℎ，∴S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅ℎ，∴√2×2√2=√10 h，∴AC边上的高为2√105．【知识点】勾股逆定理、勾股定理21. 【答案】如图，作DE⊥AB于E，∵∠C=90∘，AC=BC，∴∠A=45∘．设AE=DE=1，则AD=√2，∵D为AC中点，∴CD=√2，AC=BC=2√2，∴BD=√DC2+BC2=√(√2)2+(2√2)2=√10．∴cos∠DBC=BCBD =√2√10=25√5．∴sin∠ABD=DEBD =√10=√1010．【知识点】特殊角的三角函数值、勾股定理22. 【答案】(1) ∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=BC，∠ABC=90∘，∠A=∠ACB=45∘，同理可得：DB=BE，∠DBE=90∘，∠BDE=∠BED=45∘，∴∠ABD=∠CBE．在△ABD与△CBE中，{AB=AC,∠ABD=∠CBE, AD=CE,∴△ABD≌△CBE．∴∠A=∠BCE=45∘，∴∠DCE=∠ACB＋∠BCE=90∘．(2) 2BD2=DA2+DC2．证明如下：∵△BDE是等腰直角三角形，∴DE=√2BD．∵△ABD≌△CBE，∴AD=CE，∴DE2=DC2+CE2=AD2+CD2，故2BD2=AD2＋CD2．【知识点】等腰直角三角形、全等三角形的性质与判定、勾股定理23. 【答案】(1) 由表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值知：BC=3cm时，CD=2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC=4，CD，AC随着BC 的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，如图所示：∵CD⊥AB，∴BD=√BC2−CD2≈0.9367(cm)，得出AD=AB+BD=4.9367(cm)，∴AC=√CD2+AD2=√2.852+4.93672≈5.70(cm)．补充完成如下表：x/cm0123456y1/cm00.78 1.76 2.85 3.98 4.95 4.47y2/cm4 4.69 5.26 5.70 5.96 5.94 4.47(2) 描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1)，(x,y2)，并画出函数为y1，y2的图象．如图所示：(3) ① 6② 6或4.47【解析】(3) ① ∵BC=6cm时，CD=AC=4.47cm，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径．∴BE=BC=6cm．②以A，B，C为顶点组成的三角形是直角三角形时，分两种情况：当∠CAB=90∘时，AC=CD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC=6cm；当∠CBA=90∘时，BC=AD，由圆的对称性与∠CAB=90∘时对称，AC=6cm，由图象可得：BC=4.47cm．综上所述：BC的长度约为6cm或4.47cm．【知识点】图像法、勾股定理24. 【答案】连接AC．∵AD=4cm，CD=3cm，∠ADC=90∘，∴AC=√CD2+AD2=√32+42=5(cm)，CD⋅AD=6(cm2)．∴S△ACD=12在△ABC中，∵52+122=132，即AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，即∠ACB=90∘，AC⋅BC=30(cm2)．∴S△ABC=12=S△ABC−S△ACD=30−6=24(cm2)．∴S四边形ABCD答：四边形ABCD的面积为24cm2．【知识点】勾股逆定理25. 【答案】(1) 如图1所示：(2) (0,5)；(3,4)(3) ∵图的方向为上北下南，左西右东，∴位于原点西北方向的是湖心亭，连接OC，作CH⊥OA于H，如图2所示：则∠OHC=90∘，在Rt△OHC中，CH=3，HO=3∴CO=√CH2+OH2−√32+32=3√2，∴湖心亭景区的点到原点的距离为：3√2．【解析】(2) 由（1）建立的平面直角坐标系，则A点的坐标为：(0,5)，B点的坐标为：(3,4)，故答案为：(0,5)，(3,4)．【知识点】建立坐标系，描述物体的位置、勾股定理、由点的位置写出它的坐标。
北师大版八年级(上)数学《勾股定理》专题复习(含答案)
例1. (1)如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件 平面示意图，根据图中的尺寸(单位： mm ),计算两圆孔中心A 和B 的距离为(2)如图2,直线I 上有二个正方形a, b, 的面积分别为5和11,则b 的面积为( C . 16D . 55点评：以上两例都是勾股定理的直接运用,当已知直角三角形的两边，求第第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析:勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一 起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和简单的解答题典例剖析分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可.解：(1)由已知得：AC=150-60=90, BC=180-60=120,由勾股定理得:AB 2=902+1202=22500,所以 AB=150 (mm )(2)由勾股定理得：b=a+c=5+11=16,故选C .60]15060c)图2三边时，往往要借助于勾股定理来解决.例2.如图3,正方形网格的每一个小正方形的边长都是1,试求Z AE2A2 Z A4E2C4 Z A4E5C4 的度数.、图3解：连A3E2. Q A3A2A]A2, A2E2A2E2,A3A2E2 AA2E2 90o,Rt △ A3A2E2如Rt △ A1A2E2(SAS).5 A-I E2A3 E2 A2由勾股定理，得：C4E5 22 12 ,5 C3E2 , A4E5 、42 12 ,17 A3E2 ,2Q A4C4AC B 2 , △ A4C4E5◎△ A3C3E2 (SSS).A3 E2C3A4 E5C4A1E2 A2A4E2C4 A4 E5C4 A3E2C4 A4 E2C4 A3E2C3 A2E2C4 •由图可知△ E2C2C4为等腰直角三角形. A2E2C4 45o.即A,E2A2A4E2C4 A4E5C4 45° .点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：(1)任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得.(2)利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如45°、90°、135°, 便一目了然.以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力.专练一：〔、△ ABC 中，/ A :/ B:/ C=2 : 1: 1, a，b，c分别是/ A、/ B、/ C 的对边，则下列各等式中成立的是( )(A) a2b2c2; (B) a22b2; (C) c22a2; (D) b22a22、若直角三角形的三边长分别为2, 4, X，则x的可能值有( )(A) 1 个；(B) 2 个；(C) 3个；(D) 4 个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为( )(A) 10.5 米; ( B) 7.5 米; (C) 12 米; (D) 8 米4、下列说法中正确的有( )(1)如果/ A+ / B+Z C=3: 4: 5,则厶ABC是直角三角形；(2) 如果/ A+Z B= Z C,那么△ ABC是直角三角形；(3)如果三角形三边之比为6: 8:10,则ABC是直角三角形；(4)如果三边长分别是n21,2n,n21(n 1)，则ABC是直角三角形。
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理素养拓展+中考真题课件
ห้องสมุดไป่ตู้
1.[利用转化思想求面积]在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放的三个正方形的面积分别是1,2,3,正
放的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=
.
答案
1.4 【解析】
D.6.4
答案
1.A 【解析】
如图,连接CF,根据题意,得CF⊥DE.因为DE∥AB,所以CF⊥AB.因为∠C=90°,AC=6,BC=8,所以
1
1
AB=10,所以S△ABC=2AC·BC=2AB·CF,所以CF=4.8,所以AF2=AC2-CF2=62-4.82=3.62,所以AF=3.6.故选A.
定理的研究中会逐渐体会到数形结合思想、方程思想,同时在用面积法验证勾股定理时会用到转化思想.第1题体现
了转化思想,利用勾股定理将正方形的面积问题转化到直角三角形中解决;第2题通过用类比面积法来验证等式的方
式,创设数学活动,体验图形组合、变换的过程;第3题以最短路径问题为背景,通过探究、对照,说明利用表面展开图
5.[202X陕西西安交大附中期中]我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕
而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底
面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是
如图,容易证明Rt△ACB≌Rt△BDE,所以BC=ED,所以AC2+ED2=AC2+BC2=AB2,所以S1+S2=1.同理
2024-2025学年北师版中学数学八年级上册1.1探索勾股定理(第2课时)教学课件
400 m
500 m
解：由勾股定理，
得BC 2 =AB2 - AC 2 =5002 - 4002 =90 000，
即BC=300 m.汽车10 s行驶300 m，那么它1 h行驶的距离为：
300 × 3 600=10 80（0 m）=10（8 km /h）. 10 答：敌方汽车速度为108 km /h.
15
10
152 x2 102 （25 x)2
C
解得：x 10
D
答：E站应建在距A站10千米处.
你是如何做的？ 与同伴交流.
活动1：小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对 大正方形进行割补的？
D
A C
B
补
你能将所有三角形和正方形的面积用含a,b,c的关系式表 示出来吗？
毕达哥拉斯证法
a+b
大正方形ABCD的面积可以表示为：
____4_×__12_a_b_+_c2__或者__(_a__+__b_)2__
可得等式_4_×__12_a_b_+_c2_=_(_a+_b_)_2 ____
你能用右图验证勾股定理吗？
证明：∵S正方形ABCD =4
1 ×
2
ab+c 2，
又∵S正方形ABCD =（a+b）2，
∴4 × 1 ab+c2 =（a+b）2. 2
∴2ab+c2 =a2 +2ab+b2.
∴a2 +b2 =c2.
当堂检测
1.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线 MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1、 B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最 短距离和．
北师大版八年级(上)第一章勾股定理练习题(分节练习)【带答案解析】
第一章勾股定理分节练习第1节探索勾股定理一、求边长问题. ★★★题型一：已知直角三角形的两边，求第三边.1、【基础题】求出下列两个直角三角形中x和y边的长度.1.1、【基础题】（1）求斜边长为17 cm，一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.（2）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是________.1.2、【综合Ⅰ】已知一个等腰三角形的两腰长为5 cm，底边长6 cm，求这个等腰三角形的面积.1.3、【综合Ⅰ】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米1.4、【综合Ⅰ】强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆折断之前有多高？1.5、【综合Ⅱ】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2 m的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2 m、1 m、0.8m的箱子能放进储藏室吗？题型二：用“勾股定理+ 方程”来求边长.2、【综合Ⅱ】一个直角三角形的斜边为20 cm，且两直角边的长度比为3∶4，求两直角边的长.2.1【综合Ⅱ】如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面，求旗杆AC的高度.2.2、【综合Ⅱ】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问趣，这个问题的意思是：如左下图，有一个边长是10尺的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.3【综合Ⅲ】如右上图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．2.4【提高题】（2011年北京市竞赛题）两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如图所示，重合的顶点记作A ，顶点C 在另一张纸的分隔线上，若BC ＝28，则AB 的长是 ______ ．类型三： “方程 ＋ 等面积” 求直角三角形斜边上的高.3、 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为 （ ）.（A ）6 （B ）8.5 （C ）（D ）二、面积问题. ★ 4、【基础题】求出左下图中A 、B 字母所代表的正方形的面积.4.1、【综合Ⅰ】如右上图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使它们的面积之和等于最大正方形1的面积，尝试给出两种方案. 132013604.2、【综合Ⅰ】如左下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.4.3 、【综合题】如右上图2，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）.（A ）9 （B ）3 （C ） （D ）5、【综合Ⅲ】如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则1S ＋2S ＋3S ＋4S ＝________三、证明问题 6、【综合Ⅲ】1876年，美国总统加菲尔德利用右图验证了勾股定理，你能利用左下图验证勾股定理吗？说一说这个方法和本节的探索方法的联系.7、【提高题】 如右上图，在Rt △ABC 中，∠A ＝ 90，D 为斜边BC 的中点，DE ⊥DF ，求证：222CF BE EF ＋＝.8、【提高题】 如图，AD 是△ABC 的中线，证明：）＋（＝＋22222CD AD AC AB4929第2节 一定是直角三角形吗9、【基础题】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？并求出四边形ABCD 的面积.9.1、【综合Ⅰ】如左下图，6个三角形分别标号，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，请说明理由.9.2、【综合Ⅰ】如右上图，在正方形ABCD 中，4＝AB ，2＝AE ，1＝DF ，图中有几个直角三角形，说明理由. 10、【基础题】下列各组中，不能构成直角三角形三边长度的是 （ ）（A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，34 （D ）9，40，4110.1、【基础题】（1）如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？（2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗？任意正整数倍呢？说说你的理由。
1.1验证勾股定理(第2课时)(教学课件)-2024-2025学年八年级数学上册(北师大版)
段丈量,那么怎样才能得到关于天地的高度呢?"
商高回答说:"数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形的一条
直角边'勾'等于3,另一条直角边'股'等于4的时候,那么它的斜边'弦'就必定是5.
八年级北师大版数学上册
第一章
1.1 探索勾股定理
第二课时
验证勾股定理
勾股定理
学习目标
1.掌握用面积法验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一
些实际问题.（重点）
2.学习勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特
殊到一般的思想.（重点，难点）
情景导入
中国最早的一部数学著作--《周髀算经》的开章,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:
P点，连BP.
则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，
易知P点即为到点A，B距离之和最短的点．
过点A作AE⊥BB′于点E，
则AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)．
由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62，
∴AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km，
故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10km.
A
130
?
C
120
B
C.100米
D.130米
2.如图,太阳能热水器的支架AB
A
长为90 cm,与AB垂直的BC长为
120 cm.太阳能真空管AC有多长?
解：在Rt△ABC中,由勾股定理,
得
AC2=AB2+BC2，
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末练习题含答案解析 (21)
一、选择题1.在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是( )A．2√2B．√5C．3√5D．√1022.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为( )A．5B．6C．8D．103.已知Rt△ABC中，∠C=90∘，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( )A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm24.下列各组数中，以a，b，c为边长的三角形不是直角三角形的是( )A．a=3，b=4，c=5B．a=5，b=12，c=13，b=2，c=3．C．a=1，b=2，c=√5D．a=325.如图，某吊灯的内部是一个底面直径为40厘米，高为15厘米的圆柱，吊绳AB，CD的长度都为25厘米，AC是灯座底盘的直径，BD是圆柱的上表面直径，若AC=10厘米，则该底盘的圆心O到圆柱的下表面圆心Oʹ的距离为( )A．30厘米B．33厘米C．35厘米D．37厘米6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米7.如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG=GE，AF=3，BF=2，△ADG 的面积为2，则点F到BC的距离为( )A．√55B．2√55C．4√55D．4√338.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是( )A．B．C．D．9.如图，四边形ABCD中，AB=4 cm，BC=3 cm，CD=12 cm，DA=13 cm，且∠ABC=90∘，则四边形ABCD的面积为( )A．6 cm2B．30 cm2C．24 cm2D．36 cm210.折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在边BC的点F处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长为( )A．3B．4C．√3D．5二、填空题11.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△AʹMN，连接AʹC．在MN上存在一动点P．连接AʹP，CP，则△AʹPC周长的最小值是．12.已知Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，直线m经过点C，分别过点A，B作直线m的垂线，垂足分别为点E，F，若AE=3，AC=5，则线段EF的长为．13.等腰直角三角形ABC中，AB=AC，则AB:BC=．14.如图，在四边形ABCD中，AD=2√2，AB=12，BC=13，CD=√17，∠ADC=90∘，那么四边形ABCD的面积=．15.如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则三角形为三角形．16.如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=2BC=2，在AC上截取CD=CB．在AB上截取AP=AD，则AP=．17.Rt△ABC中，∠C=90∘，两直角边分别是a和b，斜边是c，若a=6，b=8，则c=．三、解答题18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，AB=10，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E．求CE的长．19.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=24，AD=BC=50，E是AD上一点，且AE:DE=9:16，判断△BEC的形状，并说明理由．20.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90∘到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．(1) 求高台A比矮台B高多少米？(2) 求旗杆的高度OM；(3) 求玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．21.我们学习了勾股定理后，都知道"勾三、股四、弦五"．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．(1) 请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；(2) 若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．22.在△ABC中，AB=AC=4，点P在BC边上运动：猜想AP2+PB⋅PC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想．23.中国的拱桥始建于东汉中后期，已有一千八百余年的历史，如图，一座拱桥在水面上方部分是AB，拱桥在水面上的跨度AB为8米，拱桥AB与水面的最大距离为3米．(1) 用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；(2) 求拱桥AB所在圆的半径．24.一个直角三角形的两边长分别为3和4，求第三边长．25.阅读材料，回答问题：(1) 中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90∘，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是．(2) 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S△ABC=12ab，S正方形ABDE=c2，S正方形MNPQ=，且=，∴(a+b)2=4×12ab+c2，整理得a2+2ab+b2=2ab+c2，∴．(3) 如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求BE的长．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】方法一：如图，经过P，Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，∴AM=PB，∴PM=AB，∴PM=√32+12=√10，∴AB=√10，故选：D．方法二：如图，EF为剪痕，过点F作FC⊥EM于点G．∵EF将该图形分成了面积相等的两部分，∴EF经过正方形ABCD对角线的交点，∴AF=CN，BF=DN，易证△PME≌△PDN，∴EM=DN，而AF=MG，∴EG=EM+MG=DN+AF=DN+CN=DC=1，在Rt△FGE中，EF=√GF2+EG2=√32+12=√10．【知识点】勾股定理2. 【答案】C【解析】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD∵AB=5，AD=3，∴BD=√AB2−AD2=4，∴BC=2BD=8．【知识点】角平分线的性质、勾股定理3. 【答案】A【解析】∵a+b=14，∴(a+b)2=196，∴2ab =196−(a 2+b 2)=96， ∴12ab =24．【知识点】勾股定理4. 【答案】D【解析】A ．∵32+42=52，∴ 以 a =3，b =4，c =5 为边的三角形是直角三角形； B ．∵52+122=132，∴ 以 a =5，b =12，c =13 为边的三角形是直角三角形； C ．∵12+22=(√5)2，∴ 以 a =1，b =2，c =√5 为边的三角形是直角三角形； D ．∵(32)2+22≠32，∴ 以 a =32，b =2，c =3 为边的三角形不是直角三角形． 【知识点】勾股逆定理5. 【答案】C【知识点】勾股定理的实际应用6. 【答案】C【解析】由题意得 AʹB =AB ． 在 Rt △ACB 中，∵∠ACB =90∘，BC =0.7 米，AC =2.4 米， ∴AB 2=0.72+2.42=6.25． 在 Rt △AʹBD 中，∵∠AʹDB =90∘，AʹD =2 米， ∴BD 2+AʹD 2=AʹB 2， ∴BD 2+22=6.25， ∴BD 2=2.25， ∵BD >0， ∴BD =1.5 米，∴CD =BC +BD =0.7+1.5=2.2（米）． 故选C ．【知识点】勾股定理的实际应用7. 【答案】B【知识点】勾股定理之折叠问题、三角形的面积8. 【答案】C【解析】A、72+242=252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正确；B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；C、72+242=252，152+202=252，故C正确；D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．故选：C．【知识点】勾股逆定理9. 【答案】C【解析】连接AC．∵∠ABC=90∘，AB=4 cm，BC=3 cm，∴AC=5 cm，∵CD=12 cm，DA=13 cm，AC2+CD2=52+122=169=132=DA2，∴△ADC为直角三角形，∴S四边形ABCD=S△ACD−S△ABC=12AC×CD−12AB×BC=12×5×12−12×4×3=30−6=24( cm2).故四边形ABCD的面积为24 cm2．【知识点】勾股逆定理10. 【答案】A【解析】设EC的长为x cm，∴DE=(8−x)cm．∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．∵AD=BC=10cm，∴AF=AD=10cm．又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2，∴82+BF2=102，∴BF=6cm．∴FC=BC−BF=10−6=4cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2，∴42+x 2=(8−x )2，， 即 16+x 2=64−16x +x 2， 化简，得 16x =48． ∴x =3．故 EC 的长为 3 cm ．【知识点】勾股定理之折叠问题二、填空题11. 【答案】 32√17−32+3√5【解析】分两步： ①连接 AP ， 则 AP =APʹ，∴△AʹPC 周长 =AʹP +PC +AʹC =AP +PC +AʹC ， ∵AP +PC >AC ，当 A ，P ，C 三点共线时，AP +PC 有最小值，是 AC 的长， ∴AC 与 MN 的交点就是点 P ， 由勾股定理得：AC =√32+62=3√5， ②连接 CM ， ∵AʹC >CM −AʹM ，∴ 当 M ，Aʹ，C 三点共线时，AʹC 有最小值， 此时，∵M 是 AD 的中点， ∴AM =DM =1.5，∴MC =√62+(32)2=32√17， 由折叠得：AM =AʹM =1.5，∴AʹC =MC −AʹM =3=32√17−1.5，∴△AʹPC 周长的最小值是：32√17−32+3√5．【知识点】勾股定理之折叠问题、勾股定理、三角形的三边关系12. 【答案】 1 或 7【解析】分两种情况：①如图 1 所示： ∵∠ACB =90∘，∴∠1+∠2=90∘，∵BF⊥m，∴∠BFC=90∘，∴∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，∵AE⊥m，∴∠AEC=90∘，∴CE=√AC2−AE2=√52−32=4，在△BCF和△CAE中，{∠3=∠1,∠BFC=∠AEC=90∘, BC=AC,∴△BCF≌△CAE(AAS)，∴CF=AE=3，∴EF=CE−CF=4−3=1．②如图2所示：∵△ACB=90∘，∴∠1+∠2=90∘，∵BF⊥m，∴∠BFC=90∘，∴∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，∵AE⊥m，∴∠AEC=90∘，∴CE=√AC2−AE2=√52−32=4，在△BCF和△CAE中，{∠3=∠1,∠BFC=∠AEC=90∘, BC=AC,∴△BCF≌△CAE(AAS)，∴CF=AE=3，∴EF=CE+CF=4+3=7．综上所述：线段EF的长为：1或7．故答案为：1或7．【知识点】勾股定理13. 【答案】√22【知识点】勾股定理14. 【答案】30+√34【知识点】勾股逆定理15. 【答案】直角【解析】∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2+b2+c2−6a−8b−10c+50=0，即a2−6a+9+b2−8b+16+c2−10c+25=0，∴(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，∴a=3，b=4，c=5，∵a2+b2=c2，∴三角形为直角三角形．【知识点】勾股逆定理16. 【答案】√5−1【解析】在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√5，∵AB=2BC=2，AP=AD，CD=CB，∴CD=1，∴AD=√5−1，∴AP=AD=√5−1．【知识点】勾股定理17. 【答案】10【知识点】勾股定理三、解答题18. 【答案】在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，∴BC =√AB 2−AC 2=√102−62=8，∵DE 垂直平分 AB ，分别交 AB ，BC 于点 D ，E ，∴AE =BE ；设 CE =x ，则 AE =BE =8−x ，在 Rt △ACE 中，∠C =90∘，∴CE 2+AC 2=AE 2，即 x 2+62=(8−x )2，解得 x =74，即 CE =74．【知识点】勾股定理、垂直平分线的性质19. 【答案】 ∵AE:DE =9:16，AD =50，∴AE =18，DE =32，在 Rt △ABE 中，AB =24，AE =18，∴BE =√242+182=30，在 Rt △DEC 中，CD =24，DE =32，∴CE =√242+322=40，∵BE 2+CE 2=BC 2，∴△BEC 是直角三角形．【知识点】勾股逆定理20. 【答案】(1) 10−3=7（米）(2) 如图，作 AE ⊥OM ，BF ⊥OM ，∵∠AOE +∠BOF =∠BOF +∠OBF =90∘，∴∠AOE =∠OBF ．在 △AOE 和 △OBF 中，{∠OEA =∠BFO,∠AOE =∠OBF,AO =OB,∴△AOE ≌△OBF (AAS )，∴OE =BF ，AE =OF ，即 OE +OF =AE +BF =CD =17 m ．∵EF =EM −FM =AC −BD =10−3=7(m )，∴2EO +EF =17，则 2EO =10，所以 OE =5 m ，OF =12 m ，所以 OM =OF +FM =15 m ．(3) 由勾股定理得 OB =OA =ON =13，∴MN =15−13=2(m )．玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度 MN 为 2 米．【知识点】角角边、勾股定理的实际应用21. 【答案】(1) 11，60，61(2) 后两个数表示为n 2−12和n 2+12． ∵n 2+(n 2−12)2=n 2+n 4−2n 2+14=n 4+2n 2+14， (n 2+12)2=n 4+2n 2+14， ∴n 2+(n 2−12)2=(n 2+12)2． ∵n ≥3，且 n 为奇数，∴ 由 n ，n 2−12，n 2+12 三个数组成的数是勾股数． 【解析】(1) 下一个勾为 11，根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一． 所以勾股数为 11，60，61 ．(2) 根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一． 所以后两个数为 n 2−12和n 2+12．【知识点】勾股定理22. 【答案】 AP 2+PB ⋅PC 的值不会随点 P 位置的变化而变化．理由：如图，过点 A 作 AH ⊥BC 于点 H ．AP 2+PB ⋅PC =AH 2+PH 2+(BH −PH )(CH +PH )=AH 2+PH 2+BH 2−PH 2=AH 2+BH 2=AB 2=16, 即 AP 2+PB ⋅PC =16，16 是定值，∴ AP 2+PB ⋅PC 的值不会随点 P 位置的变化而变化．【知识点】勾股定理23. 【答案】(1) 如图所示，点 O 即为所求；(2) 如图，取 AB⏜ 的中点 D ，连接 OD 交 AB 于点 E ，连接 OA ， 则 OD ⊥AB ，且 AE =EB =4，由题意得，DE =3，设圆的半径为r，在Rt△AEO中，AE2+EO2=OA2，即42+(r−3)2=r2，．解得r=256即拱桥AB所在圆的半径为25．6【知识点】垂径定理的应用、勾股定理、作圆24. 【答案】5或√7【知识点】勾股定理25. 【答案】(1) a2+b2=c2；4S△ABC+S正方形ABDE；a2+b2=c2(2) (a+b)2；S正方形MNPQ(3) ∵矩形ABCD折叠后点C与点A重合，∴AE=CE．设AE=x，则BE=8−x．在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+BE2=AE2，即42+(8−x)2=x2，解得x=5，∴BE=8−5=3．【知识点】勾股定理、勾股定理之折叠问题。
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末练习题含答案解析 (50)
一、选择题1.下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是( )A．a=1，b=2，c=3B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10D．a=3，b=4，c=52.如图1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB−BC匀速运动到点C停止．在动点K运动过程中，线段AK的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中点Q为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是5√5，则图2中a的值为( )A．√30B．5C．7D．3√53.如图，设小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为√13的线段有( )A．2条B．3条C．4条D．5条4.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD等于( )A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm5.长方体敝口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm，6cm和6cm，在罐内E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形ABCD中心的正上方2cm处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少 cm ( )A ． 7√5B ． √233C ． 24D ． √2326. 正方形 ABCD 的边长为 1，其面积记为 S 1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为 S 2，⋯ 按此规律继续下去，则 S 2019 的值为 ( )A ． (12)2019B ． (12)2018C ．(√22)2019 D ．(√22)20187. 如图所示，有一“工”字形的机器零件，它是轴对称图形，图中所有的角都是直角，图中数据单位：cm ，那么 A ，B 两点之间的距离为 ( )A ． 8 cmB ． 8√2 cmC ． 16 cmD ． 16√2 cm8. 如图，小明（视为小黑点）站在一个高为 10 米的高台 A 上，利用旗杆 OM 顶部的绳索，划过 90∘ 到达与高台 A 水平距离为 17 米，高为 3 米的矮台 B ．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度 MN 是 ( )A ． 2 米B ． 2.2 米C ． 2.5 米D ． 2.7 米9. △ABC 是锐角三角形，若 AB =2，∠A =45∘，则 AC 的长可能是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 410.若△ABC的边长a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．锐角三角形二、填空题11.直角三角形的两边为3和4，则该三角形的第三边为．12.如图，将一张长方形纸片ABCD沿AC折起，重叠部分为△ACE，若AB=6，BC=4，则重叠部分△ACE的面积为．13.如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m（容器厚度忽略不计）．14.《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的Cʹ处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是尺．15.在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，点E，F分别为线段BC，DB上的动点，且BE=DF．时，计算AE+AF的值等于；（1）如图①，当BE=52（2）当AE+AF的值取得最小时，请在图② 的网格中，用无刻度的直尺画出线段AE或AF．16.如图，∠BAC=90度，AB=AC，AE⊥AD，且AE=AD，AF平分∠DAE交BC于F，若BD=6，CF=8，则线段AD的长为．17.如图，Rt△ABC，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点Bʹ处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则线段BʹF的长为．三、解答题18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AD，BE，CF分别是三边上的中线．(1) 若AC=1，BC=√2．求证：AD2+CF2=BE2；(2) 是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD，BE，CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为勾股数．）19.如图，车高4m(AC=4m)，货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C=2m，求弯折点B与地面的距离．20.利用勾股定理可以在数轴上画出表示√20的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：(1) 第一步：（计算）尝试满足√20=√a2+b2，使其中a，b都为正整数．你取的正整数a=，b=．(2) 第二步：（画长为√20的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，∠OEF=90∘，则斜边OF的长即为√20．请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）(3) 第三步：（画表示√20的点）在下面的数轴上画出表示√20的点M，并描述第三步的画图步骤：．21.如图，在四边形ABFC中，AC2=AB2+BC2，CD⊥AD，AD2=2AB2−CD2，连接EF．(1) 找出图中所有的直角三角形；(2) 求证：AB=AC．22.如图，一架长为5米的梯子的顶端斜靠在墙上的点A处，梯子的底端落在离墙脚3米的点C处，如果梯子的顶端下滑到了离A点2米的点Aʹ处，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？23.如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．(1) 求梯子顶端与地面的距离OA的长．(2) 若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．24.如图1，在△ABC中，AB=AC，以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，与BC边交于点E．(1) 若∠ACE=18∘，则∠ECD=；(2) 探索：∠ACE与∠ACD有怎样的数量关系？猜想并证明．(3) 如图2，作△ABC的高AF并延长，交BD于点G，交CD延长线于点H，求证：CH2+DH2=2AD2．25.在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．(1) 若a:b=3:4，c=75cm，求a，b；(2) 若a:c=15:17，b=24，求△ABC的面积．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】A．由于a+b=c，故此选项的三条线段不能构成三角形，符合题意；B．由a2+b2=49+576=625=c2，能构成直角三角形，不符合题意；C．由a2+b2=36+64=100=c2，能构成直角三角形，不符合题意；D．由a2+b2=9+16=25=c2，能构成直角三角形，不符合题意．【知识点】勾股逆定理2. 【答案】A【解析】由图象的曲线部分看出直线部分表示K点在AB上，且AB=a，曲线开始AK=a，结束时AK=a，所以AB=AC．当AK⊥BC时，在曲线部分AK最小为5．BC×5=5√5，解得BC=2√5．∴12∴AB=√52+(√5)2=√30．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系、勾股定理3. 【答案】C【解析】∵√22+32=√13，∴√13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，如图所示，AB，CD，BE，DF的长都等于√13．【知识点】勾股定理4. 【答案】B【知识点】勾股定理之折叠问题5. 【答案】B【知识点】平面展开-最短路径问题6. 【答案】B【解析】在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=12=1，S 2=12S 1=12，S 3=12S 2=14，S 4=12S 3=18，⋯，∴S n =(12)n−1，当 n =2019 时，S 2019=(12)2019−1=(12)2018，故选：B ．【知识点】勾股定理、用代数式表示规律7. 【答案】D【解析】作 BC ⊥AC 于点 C ，如图所示．由图可得，BC =5+6+5=16 cm ，AC =20−(20−12)÷2=20−8÷2=20−4=16 cm ， ∴AB =√AC 2+BC 2=√162+162=16√2 cm ， 即 A ，B 两点之间的距离为 16√2 cm ．【知识点】勾股定理的实际应用8. 【答案】A【解析】作 AE ⊥OM 于 E ，BF ⊥OM 于 F ，如图所示： 则 ∠OEA =∠BFO =90∘，因为 ∠AOE +∠BOF =∠BOF +∠OBF =90∘， 所以 ∠AOE =∠OBF ．在 △AOE 和 △OBF 中，{∠OEA =∠BFO,∠AOE =∠OBF,OA =OB,所以 △AOE ≌△OBF (AAS )， 所以 OE =BF ，AE =OF ，所以 OE +OF =AE +BF =CD =17（米）， 因为 EF =EM −FM =AC −BD =10−3=7（米）， 因为 OE +OF =2EO +EF =17 米，所以 2OE =17−7=10（米）， 所以 BF =OE =5 米，OF =12 米，所以 CM =CD −DM =CD −BF =17−5=12（米）， OM =OF +FM =12+3=15（米），由勾股定理得：ON =OA =√AE 2+OE 2=√122+52=13（米）， 所以 MN =OM −OF =15−13=2（米）．【知识点】勾股定理的实际应用9. 【答案】B【解析】如图，过点 C 作 CD ⊥AB 于点 D ． 设 AD =x ，则 BD =2−x ． ∵∠A =45∘，∴∠ACD =45∘，CD =x ， ∴AC 2=2x 2， 在 Rt △BDC 中，BC 2=BD 2+CD 2=(2−x )2+x 2=2x 2−4x +4， ∵△ABC 是锐角三角形， ∴{AB 2+BC 2>AC 2,AC 2+BC 2>AB 2,即 {22+2x 2−4x +4>2x 2,2x 2+2x 2−4x +4>22, 解得 1<x <2，∴2<2x 2<8，2<AC 2<8， ∴√2<AC <2√2．【知识点】勾股定理10. 【答案】B【解析】a2+b2+c2+50=6a+8b+10c变形为(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，解之得：a=3，b=4，c=5，符合勾股定理的逆定理，故选：B．【知识点】勾股逆定理二、填空题11. 【答案】5或√7【解析】设第三边为x，（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：32+42=x2，所以x=5；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：32+x2=42，所以x=√7；所以第三边的长为5或√7．【知识点】勾股定理12. 【答案】263【解析】∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，由折叠的性质可知，∠BAC=∠BʹAC，∵DC∥AB，∴∠BAC=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴EA=EC，在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即42+(6−EC)2=EC2，解得EC=133∴重叠部分的面积=12×133×4=263．【知识点】勾股定理之折叠问题13. 【答案】1.3【解析】因为壁虎在容器外壁，蚊子在容器内壁，所以将容器侧面展开，建立A关于容器口的对称点Aʹ连接AʹB与容器口交于点F，由对称性可知AʹF=AF，所以壁虎捕捉蚊子的最短距离为AʹB的长，在Rt△AʹDB中，AʹB=√AʹD2+BD2=√0.52+1.22=1.3．【知识点】轴对称、勾股定理14. 【答案】12【解析】依题意画出图形，设芦苇长AC=ACʹ=x尺，则水深AB=(x−1)尺，∵CʹE=10尺，∴CʹB=5尺，在Rt△ACʹB中，52+(x−1)2=x2，解得x=13，即芦苇长13尺，水深为12尺．【知识点】勾股定理的实际应用；如图，取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P．15. 【答案】5+√612连接AP，与BC相交，得点E．取格点M，N，连接DM，CN，相交于点G．连接AG，与BD相交，得点F．线段AE，AF即为所求．【知识点】勾股定理16. 【答案】6√5【解析】如图，连接EF，过点A作AG⊥BC于点G，∵AE⊥AD，∴∠DAE=∠DAC+∠2=90∘，又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90∘，∴∠1=∠2，在△ABD和△ACE中{AB=AC,∠1=∠2, AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴BD=CE，∠4=∠B∵∠BAC=90∘，AB=AC，∴∠B=∠3=45∘∴∠4=∠B=45∘，∴∠ECF=∠3+∠4=90∘，∴CE2+CF2=EF2，∴BD2+FC2=EF2，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF，在△DAF和△EAF中{AD=AE,∠DAF=∠EAF, AF=AF,∴△DAF≌△EAF(SAS)．∴DF=EF．∴BD2+FC2=DF2．∴DF2=BD2+FC2=62+82=100，∴DF=10∴BC=BD+DF+FC=6+10+8=24，∵AB=AC，AG⊥BC，∴BG=AG=12BC=12，∴DG=BG−BD=12−6=6，∴AD=√AG2+DG2=6√5．【知识点】勾股定理、边角边17. 【答案】45【知识点】图形成轴对称、勾股定理之折叠问题、等腰直角三角形三、解答题18. 【答案】(1) 如图，连接FD．∵AD ，BE ，CF 分别是三边上的中线，∴CD =12BC =√22，CE =12AC =12，FD =12AC =12， 由勾股定理得 AD 2=AC 2+CD 2=12+(√22)2=32， CF 2=CD 2+FD 2=(√22)2+(12)2=34， BE 2=BC 2+CE 2=(√2)2+(12)2=94，∵32+34=94， ∴AD 2+CF 2=BE 2．(2) 设两直角边分别为 a ，b ，∵AD ，BE ，CF 分别是三边上的中线，∴CD =12a ，CE =12b ，FD =12AC =12a ，由勾股定理得 AD 2=AC 2+CD 2=b 2+(12a)2=14a 2+b 2， CF 2=CD 2+FD 2=(12a)2+(12b)2=14a 2+14b 2，BE 2=BC 2+CE 2=a 2+(12b)2=a 2+14b 2， ∵AD 2+CF 2=BE 2，∴14a 2+b 2+14a 2+14b 2=a 2+14b 2，整理得 a 2=2b 2，∴AD =√62b ，CF =√32b ，BE =32b ， ∴CF:AD:BE =1:√2:√3，∵ 没有整数是 √2 和 √3 的倍数，∴ 不存在这样的 Rt △ABC ．【知识点】勾股数、勾股定理19. 【答案】由题意得，AB =A 1B ，∠BCA =90∘，设 BC =x m ，则 AB =A 1B =(4−x ) m ，在 Rt △A 1BC 中，A 1C 2+BC 2=A 1B 2，即：22+x 2=(4−x )2，解得：x =32，答：弯折点B与地面的距离为3米．2【知识点】勾股定理的实际应用20. 【答案】(1) 4；2(2) 如图1：(3) 如图1，在数轴上画出点M．第三步的画图步骤：以原点O为圆心，OF长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点即为点M．【解析】(1) 第一步：a=4，b=2（或a=2，b=4）．【知识点】勾股定理21. 【答案】(1) ∵AC2=AB2+BC2，∴△ABC是直角三角形，AB⊥BC，∵CD⊥AD，AB⊥BC，∴△ADC，△EDC，△EDF，△ABC，△ABE是直角三角形．(2) ∵CD⊥AD，∴△ADC是直角三角形，∴AC2=AD2+DC2，∵AC2=AB2+BC2，AD2=2AB2−CD2，∴AB2+BC2=2AB2−DC2+DC2，即AB2=BC2，∴AB=BC．【知识点】勾股定理、勾股逆定理22. 【答案】由题意得AC=AʹCʹ=5，BC=3，AAʹ=2，Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴AB=√AC2−BC2=√52−32=4，∴AʹB=AB−AAʹ=4−2=2，Rt△AʹBʹCʹ中，AʹB2+BCʹ2=AʹCʹ2，∴BCʹ2=√AʹC2−AʹB2=√52−22=√21，∴CCʹ=BCʹ−BC=√21−3，∴梯子的底端在水平方向滑动了√21−3米．【知识点】勾股定理的实际应用23. 【答案】(1) AO=√52−32=4米．(2) OD=√52−(4−1)2=4米，BD=OD−OB=4−3=1米．【知识点】勾股定理的实际应用24. 【答案】(1) 45∘(2) ∠ACE=∠ACD−45∘；理由如下：由（1）得：∠BAC=180∘−2∠ACE，∴∠DAC=∠BAC−90∘=90∘−2∠ACE，∵AC=AD，∴∠ACD=12(180∘−∠DAC)=12[180∘−(90∘−2∠ACE)]=45∘+∠ACE，∴∠ACE=∠ACD−45∘．(3) 连接BH，如图2所示：由（2）得：∠ECD=45∘，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，∴BH=CH，∴∠HBC=∠BCD=45∘，∴∠BHC=90∘，∴BH2+DH2=BD2．∵△ABD是等腰直角三角形，∴BD2=2AD2，∴CH2+DH2=2AD2．【解析】(1) AB=AC，∴∠ABC=∠ACE=18∘，∴∠BAC=180∘−18∘−18∘=144∘，∵以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，∴∠BAD=90∘，AB=AD，∴∠DAC=144∘−90∘=54∘，∵AB=AC，∴AC=AD，∴∠ACD=12(180∘−54∘)=63∘，∴∠DCE=∠ACD−∠ACE=63∘−18∘=45∘．【知识点】勾股定理、等腰三角形的性质25. 【答案】(1) a=45cm，b=60cm．(2) 540．【知识点】勾股定理。
折叠问题与等面积法 (讲义及答案)
折叠问题与等面积法（讲义）➢ 课前预习1. 请填写“勾股定理”或“勾股定理逆定理”：条件是直角三角形时，考虑______________________； 要证明三角形是直角三角形，考虑______________________．2. 折叠的性质：①折叠是全等变换，折叠前后____________，____________； ②折叠前后对应点所连的线段被对称轴____________．3. 等面积法如图，Rt △ABC 的面积可以表示为_____________，还可以表示为_______________，根据面积的不同表达形式，可以得到a ，b ，c ，h 之间的数量关系为___________________________．b ach DAC4. 做一做：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6，BC =8，点D 在BC 边上，将直角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处．设DE 的长为x ，则CD =__________，BD =_________．（用含x 的代数式表示）DEABC➢ 知识点睛1. 折叠问题处理思路（1）找__________________；（2）____________________； （3）利用_______________列方程． 2. 等面积法当几何图形中出现多个高（垂直、距离）的时候，可以考虑______________解决问题，即利用图形面积的不同表达方式列方程．➢ 精讲精练1. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，点D 在BC 边上，将直角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处，则线段CD 的长为__________．DEABCNMFC B E DA第1题图 第2题图2. 如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长为__________．3. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =9，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为_________．C'A DEBC F4. 如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，若AB =4cm ，BC =5cm ，则EF 的长为________．FCBEDA5. 如图，在△ABC 中，AB =20，AC =12，BC =16，E 为BC 边上一点，把△ABC 沿AE 折叠，使AB 落在直线AC 上，求重叠部分（阴影部分）的面积．6. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B'处，点A 的对应点为A'．若B'C =3，则CN =______，AM =_______．A'B'A DBC M NB CFAE N M D第6题图 第7题图7. 如图，将长为4cm ，宽为2cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN ，则线段AM 的长为__________．8. 若直角三角形两直角边的比为5:12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）A ．60:13B ．5:12C ．12:13D ．60:1699. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，M 为BC 边的中点，若MN ⊥AC 于点N ，则MN =__________．MNCBA10. 若直角三角形两条直角边的长分别为7和24，在这个三角形内有一点P 到各DCBA边的距离都相等，则这个距离是__________．11. 已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，若AC +BC =14cm ，AB =10cm ，则CD =__________．12. 若等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形的面积为__________．13. 如图所示的一块地，已知∠ADC =90°，AD =12m ，CD =9m ，AB =39m ，BC =36m ，求这块地的面积．【参考答案】➢课前预习1.勾股定理，勾股定理逆定理2.①对应边相等，对应角相等②垂直平分3.12ab，12ch，ab ch4.x，8-x➢知识点睛1.（1）折痕（2）表达、转移（3）勾股定理2.利用面积相等➢精讲精练1. 3 cm2. 3 cm3. 64.52 cm5.366.4，27.13cm 88. D9.12 510.311.4.8 cm12.4813.216 m2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3．易错点：
答非所问，没有明确目标，考虑问题的思维链条较长，在求出DE或AE长度后忘记本题求解的是面积，易错选A或B；计算三角形面积过程中底乘高除以2，忘记除2，易错选D．
4．视频推荐：
如果此题有问题，建议观看：2013~2014八年级上册数学预习课北师版→初中数学勾股定理预习课→第二讲“勾股定理之折叠问题、等面积法”．
A.3 B.5
C. D.
答案：C
解题思路：
1．解答过程：
对于此类求解面积的问题，关键找到对应图形的底和高．此题中阴影部分应以DE为底，过点G往底边AD上做高，求出底和高即可．设出底DE，表达AE，在Rt△AGE中使用勾股定理可求可求AE，进而求得DE，借助等积公式可算得高，进而求解面积．
2．标准过程：
A.5 B.6
C.10 D.20
答案：C
解题思路：
由折叠的性质知：EC＝BC＝AD，∠E＝∠B＝∠D
∵∠DFA＝∠EFC
∴△EFC≌△DFA
∴DF=EF，AF=CF
设FC=x，则DF=8-x
在Rt△ADF中，DF2+AD2=AF2，即(8-x)2+42=x2
解得：x=5，即CF=5
∴折叠后重合部分的面积=
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
3.如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC= ,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为( )
A. B.4
C. D.
答案：D
解题思路：
在矩形ABCD中，AD=BC=
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
BD= =
由折叠，得A′G=AG，A′D=AD，
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=1：B
解题思路：
如图，点C到AB的距离即为斜边AB上高CD的长度
∵∠C=90°，AC=9，BC=12
由勾股定理可得：
∴由等积公式可得：
故选B．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
设梯形腰上的高为h
底边上的高= cm
根据等面积可得：腰上的高 cm
∴ cm
故选C．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
10.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=16cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )
∴5×12=5h+12h+13h
∴h=2
故选B．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
9.一个等腰三角形腰长为5cm,底边长为6cm,在底边上有任意一点,它到两腰长的距离分别为a,b,已知a,b的和为定值,则这个定值是( )
A.4cm B.
C. D.
答案：C
解题思路：
如图，
在等腰△ABC中，D为底边上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=a，DF=b，连接AD
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2+BC2=AC2
设AB=x，则
x2+42=(x+2)2
解之，得x=3
即AB=3
故答案选C．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
2.如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8,BC=10,则DE=( )
A.6 B.5
C.4 D.3
答案：B
勾股定理之折叠问题、等面积法（北师版）
试卷简介:本套试卷主要考查在折叠的背景下学生对勾股定理的应用以及利用等面积解决问题的思想。在考查学生勾股定理的同时检验学生对于折叠问题处理思路的掌握情况，另外为后期几何的模块封装做好铺垫，“看到什么想什么”，看到多个垂直存在，想到利用等面积法来解决问题。
一、单选题(共10道，每道10分)
解题思路：
在长方形ABCD中，CD=AB=8，AD=BC=10
由折叠，得AF=AD=10，EF=DE
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
BF= =6
∴CF=4
设DE=x，则EF=x，CE=8-x
在Rt△CEF中，由勾股定理，得
CE2+CF2=EF2
即(8-x)2+42= x2
解之，得x=5
即DE=5
故答案选B．
如图，过点G作GH⊥AD于点H
由折叠，得∠AGE=∠CDE=90°，AG=CD=AB=4，GE=DE
设DE=x，则GE=x，AE=8-x
在Rt△AGE中，由勾股定理，得
AG2+GE2=AE2
即42+x2=(8-x)2
∴x=3
又∵S△AGE= AG·GE= AE·GH
∴GH=
∴S△DEG= DE·GH=
∴A′B=4
设AG=x，则A′G=x，BG=6-x
在Rt△A′BG中，由勾股定理，得
A′G2+A′B2=BG2
即x2+42=(6-x)2
解之，得x=
即AG=
故答案选D．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
4.如图所示,将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠.点B落在E点,AE交DC于F点,已知AB=8cm,BC=4cm.则折叠后重合部分的面积为( )
1.如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=4,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF= .则AB的长为( )
A. B.
C.3 D.4
答案：C
解题思路：
由折叠，得∠AFE=∠B=90°，AB=AF，BE=EF=
∵BC=AD=4
∴CE=
在Rt△CEF中，由勾股定理，得
CF= =2
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,两直角边AC=5,BC=12,在三角形内有一点P,它到各边的距离相等,则这个距离是( )
A.1 B.2
C.3 D.无法确定
答案：B
解题思路：
如图，
连接AP，BP，CP
由勾股定理得：
∵在△ABC内有一点P，点P到各边的距离都相等，设这个距离为h
∴由三角形面积公式得：
故选C．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
5.如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,使其对角顶点A与C重合,若长方形的长BC为8,宽AB为4,则折叠后重合部分的面积是( )
A. B.10
C.15 D.20
答案：B
解题思路：
如图，由折叠，得
∠1=∠2，AF=CF
在长方形ABCD中，AD∥BC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴AE=AF
设AF=x，则CF=x
∴BF=8-x
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
即
∴x=5
∴S△AEF= =10
故选B．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
6.如图所示,在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将上面的矩形纸片折叠,使点C与点A重合,折痕为EF,点D的对应点为点G,连接DG,则图中阴影部分的面积为( )