勾股定理之折叠问题、等面积法(北师版)(含答案)
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试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
如图，点C到AB的距离即为斜边AB上高CD的长度
∵∠C=90°，AC=9，BC=12
由勾股定理可得：
∴由等积公式可得：
故选B．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
A.3 B.5
C. D.
答案：C
解题思路：
1．解答过程：
对于此类求解面积的问题，关键找到对应图形的底和高．此题中阴影部分应以DE为底，过点G往底边AD上做高，求出底和高即可．设出底DE，表达AE，在Rt△AGE中使用勾股定理可求可求AE，进而求得DE，借助等积公式可算得高，进而求解面积．
2．标准过程：
故答案选C．
3．易错点：
答非所问，没有明确目标，考虑问题的思维链条较长，在求出DE或AE长度后忘记本题求解的是面积，易错选A或B；计算三角形面积过程中底乘高除以2，忘记除2，易错选D．
4．视频推荐：
如果此题有问题，建议观看：2013~2014八年级上册数学预习课北师版→初中数学勾股定理预习课→第二讲“勾股定理之折叠问题、等面积法”．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
3.如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC= ,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为( )
A. B.4
C. D.
答案：D
解题思路：
在矩形ABCD中，AD=BC=
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
BD= =
由折叠，得A′G=AG，A′D=AD，
解题思路：
在长方形ABCD中，CD=AB=8，AD=BC=10
由折叠，得AF=AD=10，EF=DE
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
BF= =6
∴CF=4
设DE=x，则EF=x，CE=8-x
在Rt△CEF中，由勾股定理，得
CE2+CF2=EF2
即(8-x)2+42= x2
解之，得x=5
即DE=5
故答案选B．
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,两直角边AC=5,BC=12,在三角形内有一点P,它到各边的距离相等,则这个距离是( )
A.1 B.2
C.3 D.无法确定
答案：B
解题思路：
如图，
连接AP，BP，CP
由勾股定理得：
∵在△ABC内有一点P，点P到各边的距离都相等，设这个距离为h
∴由三角形面积公式得：
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2+BC2=AC2
设AB=x，则
x2+42=(x+2)2
解之，得x=3
即AB=3
故答案选C．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
2.如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8,BC=10,则DE=( )
A.6 B.5
C.4 D.3
答案：B
A.5 B.6
C.10 D.20
答案：C
解题思路：
由折叠的性质知：EC＝BC＝AD，∠E＝∠B＝∠D
∵∠DFA＝∠EFC
∴△EFC≌△DFA
∴DF=EF，AF=CF
设FC=x，则DF=8-x
在Rt△ADF中，DF2+AD2=AF2，即(8-x)2+42=x2
解得：xபைடு நூலகம்5，即CF=5
∴折叠后重合部分的面积=
故选C．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
5.如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,使其对角顶点A与C重合,若长方形的长BC为8,宽AB为4,则折叠后重合部分的面积是( )
A. B.10
C.15 D.20
答案：B
解题思路：
如图，由折叠，得
∠1=∠2，AF=CF
在长方形ABCD中，AD∥BC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴AE=AF
设AF=x，则CF=x
∴BF=8-x
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
即
∴x=5
∴S△AEF= =10
故选B．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
6.如图所示,在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将上面的矩形纸片折叠,使点C与点A重合,折痕为EF,点D的对应点为点G,连接DG,则图中阴影部分的面积为( )
∴A′B=4
设AG=x，则A′G=x，BG=6-x
在Rt△A′BG中，由勾股定理，得
A′G2+A′B2=BG2
即x2+42=(6-x)2
解之，得x=
即AG=
故答案选D．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
4.如图所示,将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠.点B落在E点,AE交DC于F点,已知AB=8cm,BC=4cm.则折叠后重合部分的面积为( )
勾股定理之折叠问题、等面积法（北师版）
试卷简介:本套试卷主要考查在折叠的背景下学生对勾股定理的应用以及利用等面积解决问题的思想。在考查学生勾股定理的同时检验学生对于折叠问题处理思路的掌握情况，另外为后期几何的模块封装做好铺垫，“看到什么想什么”，看到多个垂直存在，想到利用等面积法来解决问题。
一、单选题(共10道，每道10分)
∴5×12=5h+12h+13h
∴h=2
故选B．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
9.一个等腰三角形腰长为5cm,底边长为6cm,在底边上有任意一点,它到两腰长的距离分别为a,b,已知a,b的和为定值,则这个定值是( )
A.4cm B.
C. D.
答案：C
解题思路：
如图，
在等腰△ABC中，D为底边上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=a，DF=b，连接AD
设梯形腰上的高为h
底边上的高= cm
根据等面积可得：腰上的高 cm
∴ cm
故选C．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
10.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=16cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )
1.如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=4,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF= .则AB的长为( )
A. B.
C.3 D.4
答案：C
解题思路：
由折叠，得∠AFE=∠B=90°，AB=AF，BE=EF=
∵BC=AD=4
∴CE=
在Rt△CEF中，由勾股定理，得
CF= =2
如图，过点G作GH⊥AD于点H
由折叠，得∠AGE=∠CDE=90°，AG=CD=AB=4，GE=DE
设DE=x，则GE=x，AE=8-x
在Rt△AGE中，由勾股定理，得
AG2+GE2=AE2
即42+x2=(8-x)2
∴x=3
又∵S△AGE= AG·GE= AE·GH
∴GH=
∴S△DEG= DE·GH=
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
如图，点C到AB的距离即为斜边AB上高CD的长度
∵∠C=90°，AC=9，BC=12
由勾股定理可得：
∴由等积公式可得：
故选B．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
A.3 B.5
C. D.
答案：C
解题思路：
1．解答过程：
对于此类求解面积的问题，关键找到对应图形的底和高．此题中阴影部分应以DE为底，过点G往底边AD上做高，求出底和高即可．设出底DE，表达AE，在Rt△AGE中使用勾股定理可求可求AE，进而求得DE，借助等积公式可算得高，进而求解面积．
2．标准过程：
故答案选C．
3．易错点：
答非所问，没有明确目标，考虑问题的思维链条较长，在求出DE或AE长度后忘记本题求解的是面积，易错选A或B；计算三角形面积过程中底乘高除以2，忘记除2，易错选D．
4．视频推荐：
如果此题有问题，建议观看：2013~2014八年级上册数学预习课北师版→初中数学勾股定理预习课→第二讲“勾股定理之折叠问题、等面积法”．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
3.如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC= ,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为( )
A. B.4
C. D.
答案：D
解题思路：
在矩形ABCD中，AD=BC=
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
BD= =
由折叠，得A′G=AG，A′D=AD，
解题思路：
在长方形ABCD中，CD=AB=8，AD=BC=10
由折叠，得AF=AD=10，EF=DE
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
BF= =6
∴CF=4
设DE=x，则EF=x，CE=8-x
在Rt△CEF中，由勾股定理，得
CE2+CF2=EF2
即(8-x)2+42= x2
解之，得x=5
即DE=5
故答案选B．
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,两直角边AC=5,BC=12,在三角形内有一点P,它到各边的距离相等,则这个距离是( )
A.1 B.2
C.3 D.无法确定
答案：B
解题思路：
如图，
连接AP，BP，CP
由勾股定理得：
∵在△ABC内有一点P，点P到各边的距离都相等，设这个距离为h
∴由三角形面积公式得：
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2+BC2=AC2
设AB=x，则
x2+42=(x+2)2
解之，得x=3
即AB=3
故答案选C．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
2.如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8,BC=10,则DE=( )
A.6 B.5
C.4 D.3
答案：B
A.5 B.6
C.10 D.20
答案：C
解题思路：
由折叠的性质知：EC＝BC＝AD，∠E＝∠B＝∠D
∵∠DFA＝∠EFC
∴△EFC≌△DFA
∴DF=EF，AF=CF
设FC=x，则DF=8-x
在Rt△ADF中，DF2+AD2=AF2，即(8-x)2+42=x2
解得：xபைடு நூலகம்5，即CF=5
∴折叠后重合部分的面积=
故选C．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
5.如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,使其对角顶点A与C重合,若长方形的长BC为8,宽AB为4,则折叠后重合部分的面积是( )
A. B.10
C.15 D.20
答案：B
解题思路：
如图，由折叠，得
∠1=∠2，AF=CF
在长方形ABCD中，AD∥BC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴AE=AF
设AF=x，则CF=x
∴BF=8-x
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
即
∴x=5
∴S△AEF= =10
故选B．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
6.如图所示,在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将上面的矩形纸片折叠,使点C与点A重合,折痕为EF,点D的对应点为点G,连接DG,则图中阴影部分的面积为( )
∴A′B=4
设AG=x，则A′G=x，BG=6-x
在Rt△A′BG中，由勾股定理，得
A′G2+A′B2=BG2
即x2+42=(6-x)2
解之，得x=
即AG=
故答案选D．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
4.如图所示,将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠.点B落在E点,AE交DC于F点,已知AB=8cm,BC=4cm.则折叠后重合部分的面积为( )
勾股定理之折叠问题、等面积法（北师版）
试卷简介:本套试卷主要考查在折叠的背景下学生对勾股定理的应用以及利用等面积解决问题的思想。在考查学生勾股定理的同时检验学生对于折叠问题处理思路的掌握情况，另外为后期几何的模块封装做好铺垫，“看到什么想什么”，看到多个垂直存在，想到利用等面积法来解决问题。
一、单选题(共10道，每道10分)
∴5×12=5h+12h+13h
∴h=2
故选B．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
9.一个等腰三角形腰长为5cm,底边长为6cm,在底边上有任意一点,它到两腰长的距离分别为a,b,已知a,b的和为定值,则这个定值是( )
A.4cm B.
C. D.
答案：C
解题思路：
如图，
在等腰△ABC中，D为底边上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=a，DF=b，连接AD
设梯形腰上的高为h
底边上的高= cm
根据等面积可得：腰上的高 cm
∴ cm
故选C．
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
10.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=16cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )
1.如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=4,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF= .则AB的长为( )
A. B.
C.3 D.4
答案：C
解题思路：
由折叠，得∠AFE=∠B=90°，AB=AF，BE=EF=
∵BC=AD=4
∴CE=
在Rt△CEF中，由勾股定理，得
CF= =2
如图，过点G作GH⊥AD于点H
由折叠，得∠AGE=∠CDE=90°，AG=CD=AB=4，GE=DE
设DE=x，则GE=x，AE=8-x
在Rt△AGE中，由勾股定理，得
AG2+GE2=AE2
即42+x2=(8-x)2
∴x=3
又∵S△AGE= AG·GE= AE·GH
∴GH=
∴S△DEG= DE·GH=