2019届江西省抚州市临川区第一中学高三全真模拟(最后一模)数学(文)试题(解析版)

2019届江西省抚州市临川区第一中学高三全真模拟（最后一模）
数学（文）试题
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：解二次不等式得集合M，解分式不等式得集合N，再根据交集定义求结果.
详解：因为，所以
因为，所以
因此，
选C.
点睛：集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
2. 在复平面内，复数的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据分母实数化得z代数形式，再根据虚部定义得结果.
详解：因为，所以,
因此复数的虚部为，
选B.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部
为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
3. “为假命题”是“为真命题”的（）
A. 充分必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】试题分析：是假命题，等价于和都是假命题，为真命题等价于是假命题，因此“
是假命题”是“为真命题”的充分不必要条件．故选A．... ... ... ... ... ... ... ... ...
考点：充分必要条件．
4. 已知，则的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】分析：根据函数奇偶性舍去B,D；再根据函数值舍去C.
详解：因为，所以舍去B,D；
因为，所以舍去C.
因此选A.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
5. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】分析：根据分母1，3，5，…,13规律得；由得.
详解：因为分母1，3，5，…，13,所以;
因为，所以
因此选C.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
6. 已知双曲线的离心率为，且双曲线与抛物线的准线交于、，，则双曲线的实轴长（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：先求抛物线准线方程，再根据求交点坐标，代入双曲线方程得a，求得结果.
详解：因为抛物线，所以准线方程为，
因为，所以,
因为双曲线的离心率为，所以
因此双曲线的实轴长为，
选D.
点睛:抛物线的焦点为，准线为；抛物线的焦点为，准线为.
7. 已知、是圆：上的两个动点，，，若是线段的中点，则
的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得,所以
，选A.
8. 已知函数的周期为，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，所以，选B.
9. 如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，该几何体的直观图为四棱锥，平面平面，
，故选A．
点睛：三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
10. 已知、、三地在同一水平面内，地在地正东方向处，地在地正北方向处，某测绘队
员在、之间的直线公路上任选一点作为测绘点，用测绘仪进行测绘，地为一磁场，距离其不超过
的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：如图,当点设在线段上测绘结果不准确,由于,因此,由于
,所以,因此测绘时得到不准确数据的概率为,所以测绘
时得到准确数据的概率为,应选A.
考点：几何概型的计算公式．
【易错点晴】本题将解三角形和概率有机地结合在一起,重点考查的是几何概型的计算公式和求解方法.解
答时充分借助题设中提供的有效信息,以点为圆心半径为画圆,记交点为,从而将问题转化为求线
段的长的问题.由于,点到的距离为,运用勾股定理求出了
.然后依据题设求出得到准确数据的概率为.
视频
11. 已知定点，，是圆：上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中
垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（）
A. 直线
B. 圆
C. 椭圆
D. 双曲线
【答案】D
【解析】分析：根据三角形中位线性质以及中垂线性质得,再根据双曲线定义得结果.
详解：因为N为中点，O为中点，所以
因为P在线段的中垂线上，所以
因此，即点的轨迹是双曲线，
选D.
点睛：求轨迹方程，一般有以下方法，一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.
12. 已知、是函数图象上的两个不同的点，且在、两点处的切线互相垂
直，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：先根据导数几何意义得关系，再根据函数性质确定的取值范围.
详解：由题意得，而
因为、两点处的切线互相垂直，所以,
当且仅当是取等号,
选D.
点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若向量，，则的坐标是__________．
【答案】.
【解析】分析：根据向量减法得结果.
详解：因为，，所以
点睛：向量平行：，向量垂直：，向量加减：
14. 若，满足约束条件，则的最小值为__________．
【答案】.
【解析】分析：先作可行域，再根据目标函数表示可行域内点到坐标原点距离的平方，结合图形确定最小值取法.
详解：作可行域，则的最小值为O到直线x-2y+1=0距离的平方，即为
.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行
域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
15. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，的面积为，则的最小值为__________．
【答案】.
【解析】试题分析：由题设和正弦定理可得,因的面积为即
则,故应填.
考点：正弦定理余弦定理基本不等式的综合运用．
【易错点晴】本题考查是正弦定理余弦定理及三角形面积公式和三角变换等有关知识的综合运用.解答时充
分借助题设条件,先由求出,再运用三角形的面积公式可得,即
并然后运用余弦定理和基本不等式可得
,最终求得的最小值为.解答过程充分体现了正弦定理的边角转换和余弦定理的构建立方程的数学思想及运用.
16. 定义一：对于一个函数，若存在两条距离为的直线和，使得时，
恒成立，则称函数在内有一个宽度为的通道.定义二：若一个函数对于任意
给定的正数，都存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道，则称在正无穷处有永
恒通道.下列函数①；②；③；④；⑤.其中在正无穷处有永恒通道的函数序号是__________．
【答案】②③⑤.
【解析】试题分析：①，随着的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数，使
得函数在内有一个宽度为的通道，故在正无穷处无永恒通道；②，随着的
增大，函数值趋近于，对于任意给定的正数，都存在一个实数，使得函数在内有一个
宽度为的通道，故在正无穷处有永恒通道；③，随着的增大，函数值也在增大，有两
条渐近线，对于任意给定的正数，都存在一个实数，使得函数在内有一个宽度
为的通道，故在正无穷处有永恒通道；④，随着的增大，函数值也在增大，无渐近线，故
不存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为ɛ的通道，故在正无穷处无永恒通道；
⑤
，随着的增大，函数值趋近于，趋近于轴，对于任意给定的正数，都存在一个实数，
使得函数在内有一个宽度为的通道，故在正无穷处有永恒通道．故答案为：②③⑤. 考点：函数恒成立问题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题
17. 已知函数的图象经过三点，，，且在区间
内有唯一的最值，且为最小值.
（1）求出函数的解析式；
（2）在中，，，分别是、、的对边，若且，，求的值.
【答案】(1).
(2).
【解析】试题分析：（1）借助题设建立方程求解；（2）借助题设条件和余弦定理求解．
试题解析：（1）由题意可得函数的周期，
∴，又由题意当时，，
∴，
结合可解得，
再由题意当时，，∴，∴，
∴．
（2）∵，∴．
∵，
∴由余弦定理得：，
则．
考点：三角函数的图象和余弦定理等有关知识及运用．
18. 某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯式水价计量办法，具体如下：第一阶梯，每
户居民月用水量不超过吨，价格为元/吨；第二阶梯，每户居民月用水量超过吨，超过部分的价格为
元/吨.为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了户居民的月用水量（单位：吨），将数
据按照，，…，（全市居民月用水量均不超过吨）分成组，制成了如图1所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中字母的值，并求该组的频率；
（2）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数的值（保留两位小数）；
（3）如图2是该市居民张某年月份的月用水量（元）与月份的散点图，其拟合的线性回归方程
是.若张某年月份水费总支出为元，试估计张某月份的用水吨数.
【答案】(1);.
(2).
(3).
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据个矩形面积和为可得结果；（Ⅱ）利用左右面积都是列方程可得结果；（Ⅲ）根据前六个月平均用水量，利用回归方程估算出前六个月平均费用，总费用减去前六个月的费用和即可得结果.
试题解析：（Ⅰ）∵
∴
第四组的频率为：
（Ⅱ）因为
所以8.15
（Ⅲ）∵，且
∴
所以张某7月份的用水费为
设张某7月份的用水吨数吨， ∵
∴
，
.
则张某7月份的用水吨数吨.
19. 已知四棱台的上下底面分别是边长为和的正方形，
且
底面
，点
为
的中点.
（1）求证：平面；
（2）在
边上找一点，使
平面
，并求三棱锥
的体积.
【答案】(1)证明见解析.
(2)
.
【解析】分析：(1) 取中点，由平几相似得
，再由
底面
得
，又
是
正方形，有
，因此平面
，即得
，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2) 在
边上取一点，使
，由平几知识得四边形
是平行四边形，即有
平面
. 设
，由（1）得
为高，最后根据锥体体积公式求结果.
详解： （1）取中点，连结
，，
在，∴平面.
∵面，
面，∴，∵
是正方形，∴，
又平面，平面，，
∴平面
，∵
平面
，∴
.
∵，，，
∴
，∴，∵，∴
，
∴，
∵平面，平面
，
，
∴平面
.
（2）在边上取一点，使
，
∵为梯形的中位线，，
，
∴，，又∵
，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，又
平面，
平面
，
∴平面.
∵平面
，
平面
，
∴，
∵，
，∴
，
设，则
.∴
.
∴
.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
20. 已知
的直角顶点在轴上，点
，为斜边
的中点，且
平行于轴.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为.以为直径的圆交轴于、，记此圆的圆心
为，
，求的最大值.
【答案】(1).
(2).
【解析】分析：(1) 设点的坐标为，表示点D,A 坐标，再根据 列方程解得点的轨迹方程；
(2)设直线
的方程为
，与抛物线方程联立，根据韦达定理以及中点坐标公式得圆心坐标，解得
半径，再根据垂径定理得，最后根据函数值域得
最小值，即的最大值.
详解：（1）设点的坐标为
，则
的中点的坐标为
，点的坐标为
.
，
，
由
，得
，即
，
经检验，当点运动至原点时，与重合，不合题意舍去.
所以，轨迹的方程为.
（2）依题意，可知直线不与轴重合，设直线
的方程为
，点、的坐标分别为
、
，
圆心的坐标为.
由，可得
，∴，
.
∴
，∴.
∴圆的半径
.
过圆心作
于点，则.
在中， ，
当，即垂直于轴时，取得最小值为，取得最大值为，
所以，的最大值为.
点睛：求轨迹方程，一般有以下方法，一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.
21. 已知函数，都在处取得最小值.
（1）求的值；
（2）设函数
，
的极值点之和落在区间
，，求的值.
【答案】(1).
(2).
【解析】分析：(1)先求，再求，列式可得导函数变化规律，确定单调性，得到最小值取法，
即得，再根据在处取得最小值得a，最后求的值；(2)求导数，再求导函数的导数，根据导函数单调性以及零点存在定理得确定零点个数及其范围，最后确定极值点之和范围，进而得到k的值.
详解：（1），令得，则，的变化情况如下表：
∴当时，函数取得最小值，∴，；
当时，函数是增函数，在没有最小值，当时，，
当且仅当，即，有最小值，
∴.
（2），，设，
∵，∴当时，即单调递减，
当时，即单调递增，
由（1）得，∴时，，单调递增.
时，，单调递减，∴在有唯一极大值点；
∵，，在单调递增，
∴在存在唯一实数，使得，
∴时，，单调递减，时，，单调递增，
∴函数在有唯一极小值点；
∵，∴，，
∵，，
∴存在自然数，使得函数的所有极值点之和.
点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略
(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
(2)已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论.
(3)已知极值求参数.若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的参数方程；
（2）在曲线上任取一点，过点作轴，轴的垂直，垂足分别为，，求矩形的面积的最大值.
【答案】(1).
(2).
【解析】分析：（1）先根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再写出
圆的参数方程，（2）根据题意得，再根据同角三角函数关系得，
，最后根据二次函数性质求最值.
详解：（1）由得，所以，即，
故曲线的参数方程（为参数）；
（2）由（1）可设点的坐标为，，则矩形的面积为
.
令，，
，故当时，.
点睛：利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭
圆参数方程：，圆参数方程：，直线参数方程：
23. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）若，求函数的最小值；
（2）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.
【答案】(1)3.
(2).
【解析】分析：（1）根据绝对值三角不等式得的最小值3；（2）根据绝对值三角不等式得的最小值
为，再解不等式得结果.
详解：（1）当时，知，当，即时取等号，∴的最小值是.
（2）∵，当时取等号，
∴若关于的不等式的解集不是空集，只需，解得，即实数的取值范围是. 点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c ＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.。