2019年高考数学仿真押题试卷(九)(含解析)

专题09 高考数学仿真押题试卷（九）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．设全集U R
x…，则)
=，集合，或1}
A．B．C．D．{|2
x>-
x x-
(1)
【解析】解：；
．
【答案】A．
2．已知双曲线的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为()
A．y=B．2
y x
=±D．y=
y x
=±C．3
【解析】解：双曲线的焦距为4，则24
c=，
c=，即2
，
∴
b
∴双曲线C的渐近线方程为y=，
【答案】D．
3．已知向量(3,1)
a=，(3,3)
b=-，则向量b在向量a方向上的投影为()
A．B C．1
-D．1 【解析】解：由投影的定义可知：
向量b在向量a方向上的投影为：，
又，
∴．
【答案】A．
4．条件甲：0
a b
>>，条件乙：11
a b
<，则甲是乙成立的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】解：条件乙：11
a b
<，即为
11
a b
-<⇔0
b a
ab
-
<
若条件甲：0
a b
>>成立则条件乙一定成立；
反之，当条件乙成立不一定有条件甲：0
a b
>>成立
所以甲是乙成立的充分非必要条件
【答案】A．
5．为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：
①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；
②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；
③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；
④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．
其中所有正确结论的编号为()
A．①③B．①④C．②③D．②④
【解析】解：甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；
甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；
从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确． 【答案】C ．
6．若,(,)2
π
αβπ∈，且sin α=，
，则sin (β= )
A B C ．
12
D ．
110
【解析】解：,(,)2
π
αβπ∈，且sin α=，可得
．
，
可得，
可得，
即，，
解得sin β=
． 【答案】B ．
7．函数的零点所在的区间是( ) A ．(1,2)
B ．(1,)e
C ．(,3)e
D ．(3,)+∞
【解析】解：函数在(0,)+∞上连续，
且f （e ）3
10e =-<，f （3）310ln =->，
【答案】C ． 8．二项式6
21()x x
+的展开式中，常数项为( ) A ．64
B ．30
C ．15
D ．1
【解析】解：二项式6
2
1()x x +
的展开式的通项公式为
，
令630r -=，求得2r =， 故展开式中的常数项为2615C =， 【答案】C ．
9．执行如图所示的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
【解析】解：执行如图所示的程序框图，有
0.9P =，1n =，0S =， 满足条件S P <，有1
2
S =，2n =； 满足条件S P <，有11
24
S =
+，3n =； 满足条件S P <，有，4n =；
满足条件S P <，有
，5n =；
不满足条件S P <，退出循环，输出n 的值为5． 【答案】B ．
10．已知椭圆22221x y a b +=左右焦点分别为1F ，2F ，双曲线22
221x y m n -=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满
足12PF PF ⊥，已知椭圆的离心率为13
4
e =，则双曲线的离心率2(e = )
A
B C D
【解析】解：椭圆22221x y a b +=左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆的离心率为13
4
e =，不妨令4a =，3c =，
则b ，
所以椭圆方程为：221167x y +=，双曲线22
221x y m n -=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，
可设(,)0P s t s >，0t >，则：222291167
s t s t ⎧+=⎪⎨+=⎪
⎩，解得249()32t s =，可得2
24932n m =， 双曲线的离心率为：．
【答案】B ． 11．若抛物线
上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为(
) A ．2
B ．18
C ．2或18
D ．4或16
【解析】解：抛物线
上一点到的对称轴的距离6，
∴设该点为P ，则P 的坐标为0(x ，6)±
P 到抛物线的焦点(2
p
F ，0)的距离为10
∴由抛物线的定义，得
（1） 点P 是抛物线上的点，
（2）
（1）（2）联解，得2p =，09x =或18p =，01x = 【答案】C ．
12．已知x 、y 满足不等式组004314x x y x y ⎧⎪
-⎨⎪+⎩
…
……，设
的最小值为ω，则函数
的最小正周期为( ) A ．
2
π B ．
2
π C ．
2
π D ．
25
π 【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点(2,1)C --的
距离的平方
由图象知OC 的距离最小， 此时最小值为
，
，
则最小正周期25
T π=， 【答案】D ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知平面向量a ，b 满足||2a =，||3b =，，则||a b +=
【解析】解：由已知得：
，
∴4a b =．
．
14．若关于x 的二项式7(2)a x x +的展开式中一次项的系数是70-，则a = 1
2- ．
【解析】解：展开式的通项公式为，由721r -=，得3r =，
所以一次项的系数为
，得1
2
a =-，
【答案】1
2
-．
15．若()f x 是R 上的奇函数，且，又f （1）1=，f （2）2=，则f （3）f +（4）f
+（5）= 3- ．
【解析】解：()f x 是R 上的奇函数，且；
∴；
；
()f x ∴的周期为5；
又f （1）1=，f （2）2=； f ∴（3）
（2）2=-，f （4）（1）1=-，f （5）；
f ∴（3）f +（4）f +（5）3=-．
【答案】3-．
16．在数学实践活动课中，某同学在如图1所示的边长为4的正方形模板中，利用尺规作出其中的实线图案，其步骤如下：（1）取正方形中心O 及四边中点M ，N ，S ，T ；（2）取线段MN 靠近中心O 的两个八等分点A ，B ；（3）过点B 作MN 的垂线l ；（4）在直线1（位于正方形区域内）上任取点C ，过C 作
1的垂线1l ；（5）作线段AC 的垂直平分线2l ；（6）标记1l 与2l 的交点P ，如图2所示：⋯
⋯不断重复步骤（4）至（6）直到形成图1中的弧线（Ⅰ）．类似方法作出图1中的其它弧线，则图1中实线围成区域面积为
16
3
．
【解析】解析：由作法可知，弧（Ⅰ）为抛物线
弧，则实线围成的区域面积为
．
故填：163
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若s i n A ，sin B ，sin C 成等差数列，
且1
cos 3
C =．
（1）求
b
a
的值； （2）若11c =，求ABC ∆的面积． 【解析】解：（1）由题意可得，
，
∴由正弦定理可得，2b a c =+，
2c b a ∴=-， 1
cos 3
C =
． ∴由余弦定理可得，，整理可得，109a b =，
∴
109
b a =． （2）当11
c =时，由112109b a
a b =-⎧⎨=⎩
，解可得9a =，10b =，
1
cos 3
C =
，
，
．
18．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A ，B 实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗． （1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数．
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A ，B 两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；
（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．
附：下面的临界值表仅供参考．
（参考公式：，其中．)
【解析】解：（1）因为，
解得0.040
a=，
设y为评分的中位数，则前三组的概率和为0.40，前四组的概率和为0.80，知8090
<<，
y
所以，则82.5
y=；
（2）由（1）知，树高为优秀的概率为：，
由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以ξ的分布列为：
所以数学期望为；
（3）填写列联表如下，
计算，
所以有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．
19．如图1，在边长为4的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，点M 在AD 上，且
1
4
AM AD =
．将AED ∆，DCF ∆分别沿DE ，DF 折叠使A ，C 点重合于点P ，如图2所示．
（1）试判断PB 与平面MEF 的位置关系，并给出证明； （2）求二面角M EF D --的余弦值． 【解析】解：（1）//PB 平面MEF ．
证明如下：在图1中，连接BD ，交EF 于N ，交AC 于O ，则，
在图2中，连接BD 交EF 于N ，连接MN ， 在DPB ∆中，有14BN BD =
，1
4
PM PD =，//MN PB ∴． PB ⊂/平面MEF ，MN ⊂平面MEF ，故//PB 平面MEF ；
（2）图2中的三角形PDE 与三角形PDF 分别是图1中的Rt ADE ∆与Rt CDF ∆，
PD PE ∴⊥，PD PF ⊥，
又PE
PE P =，PD ∴⊥平面PEF ，则PD EF ⊥，
又EF BD ⊥，EF ∴⊥平面PBD ， 则MND ∠为二面角M EF D --的平面角．
可知PM PN ⊥，则在Rt MND ∆中，1PM =，PN ．
在MND ∆中，3MD =，DN =
．
∴二面角M EF D --
．
20．已知椭圆
的右焦点为F 0)，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所
得的弦长为2．
（1）求椭圆C 的方程； （2）过椭圆内一点(0,)P t ，斜率为k 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，设直线OM ，(ON O 为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围．
【解析】解：（1）椭圆
的右焦点为F 0)
，则c =
过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2， ∴22221c y a b +=，解得2
b y a
=±， ∴2
22b a
=， 即2b a =，
，
解得2a =，
∴椭圆的方程为22
142
x y +=， （2）设直线l 的方程为y kx t =+． 由22
142x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元可得，
设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则，，
而
， 由12k k k λ+=，得
242k k t λ-=-，
因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242t λ=-．
由题意得点(0,)P t 在椭圆内，故202t <…，即4
022λ-<…，
解得2λ…，
故实数λ的取值范围为[2，)∞
21．已知函数．
（1）若()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，求a 的取值范围；
（2）若0x …，不等式()0f x …恒成立，求a 的取值范围．
【解析】解：（1），
若()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，
则即x a x e -…在R 恒成立，
令()x h x x e =-，则()1x h x e '=-，
令()0h x '…，解得：0x …，
令()0h x '…，解得：0x …，
故()h x 在(,0)-∞递增，在(0,)+∞递减，
故，
故1a -…；
（2）由，得，
令，则，
故()h x 在[0，)+∞递增，且(0)1h a =+，
①当1a -…时，()0f x '…，函数()f x 递增，
由于()0f x …恒成立，则有，即，
故1a -剟
②当1a <-时，则存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0h x =，
当00x x <<时，()0h x <，则()0f x '<，()f x 递减，
当0x x >时，()0h x >，则()0f x '>，()f x 递增，
故
， 又0x 满足
，即00x x a e -=，
故
，则，
即，得004x ln <…， 又00x a x e =-，令()x u x x e =-，则()1x u x e '=-，
可知，当04x ln <…时，()0u x '<，则()u x 递减，
故()44u x ln -…，
此时，满足条件，
综上，a 的范围是[44ln -．
（二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M 的极坐标方程为4cos ρθ=．
（1）求M 的普通方程；
（2）将圆M 平移使其圆心为1(2
N -，0)，设P 是圆N 上的动点，点A 与N 关于原点O 对称，线段PA 的垂直平分线与PN 相交于点Q ，求Q 的轨迹的参数方程．
【解析】解：（1）将原参数方程两端同乘以cos θ，sin θ得：⇒，即
①2+②2得，即M 的普通方程为：，
（2）依题意Q 点坐标为1(2-，0)，A 点坐标为1(2
，0)，且圆的半径2r =． Q 在线段PA 的垂直平分线上，||||PQ AQ ∴=
，
根据椭圆的定义，Q 的轨迹为，以N ，A 为焦点，以2为长轴长的椭圆．即1a =，12
c =，b ∴=，
Q ∴的参数方程为：
[选修4-5：不等式选讲]
23．设0a >，0b >，且a b ab +=．
（1）若不等式恒成立，求实数x 的取值范围．
（2）是否存在实数a ，b ，使得48a b +=？并说明理由．
【解析】解：（1）0a >，0b >，a b +…
，，，4a b ∴+…，即a b +的最小值为4，2a b ==时取得最小值． ∴不等式恒成立等价于，
∴或0224x x x <<⎧⎨-+⎩…或224x x x ⎧⎨+-⎩
……， 解得：13x -剟，
所以实数x 的取值范围是[1-，3]．
（2）联立48a b ab a b +=⎧⎨+=⎩消去b 得，△，无解， 所以不存在实数a ，n 使得48a b +=．。