湖南省株洲市中考数学模拟试题二(含解析)

湖南省株洲市2015届中考数学模拟试题二
一、选择题
1．的平方根是（）
A．B． C． D．
2．计算a2•4a2的结果是（）
A．5a2B．4a2C．4a3D．4a4
3．在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示：金额/元 5 6 7 10
人数 2 3 2 1
这8名同学捐款的平均金额为（）
A．3.5元B．6元C．6.5元D．7元
4．当实数x的取值使得有意义时，函数y=4x+1中y的取值范围是（）
A．y≥﹣7 B．y≥9 C．y＞9 D．y≤9
5．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（）
A．B．C．D．
6．如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（）
A．55° B．60° C．65° D．70°
7．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（）
A．B．C．D．
8．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数
的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为（）
A．1 B．﹣3 C．4 D．1或﹣3
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．比较大小：3（填写“＜”或“＞”）．
10．分解因式：﹣9= ．
11．大量事实证明，环境污染治理刻不容缓，全球每秒钟约有142000吨污水排入江河湖海，把142000吨用科学记数法表示为吨．
12．一次函数y=2x﹣3的图象不经过第象限．
13．某数学活动小组的20名同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位开始，每位同学一次
报自己的顺序数的倒数加1，第一同学报（+1），第二位同学报（+1），第三位同学报（+1），…这样得到的20个数的积为．
14．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为cm．
15．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为．
16．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值．
三、解答题（本大题共8小题，共52分，应写出必要的解答说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：|﹣2|﹣（﹣3）0+（﹣1）2015．
18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=2，b=﹣1．
19．如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30m，点C与点A在同一水平线上，A、B、P、C在同一平面内．
（1）求居民楼AB的高度；
（2）求C、A之间的距离．
（精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
20．在学校大课间活动中，小英、小丽和小敏在操场上画出A、B两个区域，一起玩投沙包游戏，沙包落在A区域所得分值与落在B区域所得分值不同，当每个各投沙包四次时，其落点和四次总分如图所示．
（1）请求出A区域和B区域每个沙包落点的分值分别是多少？
（2）求小敏的得分．
21．我市某中学艺术节期间，向学校学生征集书画作品．九年级美术李老师从全年级14个班中随机抽取了A、B、C、D 4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）李老师采取的调查方式是（填“普查”或“抽样调查”），李老师所调查的4个班征集到作品共件，其中B班征集到作品，请把图2补充完整．
（2）如果全年级参展作品中有4件获得一等奖，其中有2名作者是男生，2名作者是女生．现在要抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
22．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的点，且AP=AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若AC=3，求PD的长．
23．在矩形ABCD中，AB=3米，BC=4米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点同时移动的时间为t秒（0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，PQ∥AB；
（2）设四边形ABQP的面积为y，当t为何值时，y的值最小？并求出这个最小值．
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．
2015年湖南省株洲市中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．的平方根是（）
A．B． C． D．
【考点】平方根．
【分析】根据平方根的定义求出即可．
【解答】解：的平方根为=，
故选C．
【点评】本题考查了对平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，注意：a（a≥0）的平方根为±．
2．计算a2•4a2的结果是（）
A．5a2B．4a2C．4a3D．4a4
【考点】单项式乘单项式．
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式计算即可．
【解答】解：a2•4a2=4a4，
故选：D．
【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则：把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式是解题的关键．
3．在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示：金额/元 5 6 7 10
人数 2 3 2 1
这8名同学捐款的平均金额为（）
A．3.5元B．6元C．6.5元D．7元
【考点】加权平均数．
【专题】压轴题．
【分析】根据加权平均数的计算公式用捐款的总钱数除以8即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
（5×2+6×3+7×2+10×1）÷8=6.5（元）；
故选C．
【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键，属于基础题．
4．当实数x的取值使得有意义时，函数y=4x+1中y的取值范围是（）
A．y≥﹣7 B．y≥9 C．y＞9 D．y≤9
【考点】函数值；二次根式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】易得x的取值范围，代入所给函数可得y的取值范围．
【解答】解：由题意得x﹣2≥0，
解得x≥2，
∴4x+1≥9，
即y≥9．
故选B．
【点评】考查函数值的取值的求法；根据二次根式被开方数为非负数得到x的取值是解决本题的关键．
5．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（）
A．B．C．D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】主视图是从几何体的正面看，主视图是三角形的一定是一个锥体，是长方形的一定是柱体，由此分析可得答案．
【解答】解：主视图是三角形的一定是一个锥体，只有B是锥体．
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何体的三视图，主要考查同学们的空间想象能力．
6．如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【考点】三角形内角和定理；对顶角、邻补角；平行线的性质．
【分析】设∠2的对顶角为∠5，∠1在l2上的同位角为∠4，结合已知条件可推出∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，即可得出∠3的度数．
【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，
∴∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，
∴∠3=65°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质和对顶角的性质，关键在于根据已知条件找到有关相等的角．
7．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】网格型．
【分析】先过点A向BC引垂线，构造出直角三角形，再利用三角函数的定义解答即可．
【解答】解：过点A向BC引垂线，与BC的延长线交于点D．
在Rt△ABD中，AD=2，BD=4，
∴AB==2，
sin∠ABC==．
故选C．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是先构造出直角三角形，再根据三角函数的定义解答．8．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数
的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为（）
A．1 B．﹣3 C．4 D．1或﹣3
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质．
【专题】压轴题；函数思想．
【分析】设C（x，y）．根据矩形的性质、点A的坐标分别求出B（﹣2，y）、D（x，﹣2）；根据“矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点”及直线AB的几何意义求得xy=4①，又点C在反比例函数
的图象上，所以将点C的坐标代入其中求得xy=k2+2k+1②；联立①②解关于k的一元二
次方程即可．
【解答】解：设C（x，y）．
∵四边形ABCD是矩形，点A的坐标为（﹣2，﹣2），
∴B（﹣2，y）、D（x，﹣2）；
∵矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，
∴设直线BD的函数关系式为：y=kx，
∵B（﹣2，y）、D（x，﹣2），
∴k=，k=，
∴=，即xy=4；①
又∵点C在反比例函数的图象上，
∴xy=k2+2k+1，②
由①②，得
k2+2k﹣3=0，即（k﹣1）（k+3）=0，
∴k=1或k=﹣3，
故选D．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质．解答此题的难点是根据C （x，y）求得B、D两点的坐标，然后根据三角形相似列出方程=，即xy=4．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．比较大小：＜3（填写“＜”或“＞”）．
【考点】实数大小比较．
【分析】首先把两个数分别平方，然后比较平方的结果即可比较大小．
【解答】解：∵7＜9，
∴＜3．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
实数大小比较法则：
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
（2）两个负数，绝对值大的反而小．
10．分解因式：﹣9= （+3）（﹣3）．
【考点】因式分解-运用公式法．
【专题】计算题．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=（+3）（﹣3），
故答案为：（ +3）（﹣3）
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
11．大量事实证明，环境污染治理刻不容缓，全球每秒钟约有142000吨污水排入江河湖海，把142000吨用科学记数法表示为 1.42×105吨．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解；142000=1.42×105，
故答案为：1.42×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．一次函数y=2x﹣3的图象不经过第二象限．
【考点】一次函数的性质．
【专题】探究型．
【分析】先根据一次函数的性质判断出此函数图象所经过的象限，再进行解答即可．
【解答】解：∵一次函数y=2x﹣3中，k=2＞0，
∴此函数图象经过一、三象限，
∵b=﹣3＜0，
∴此函数图象与y轴负半轴相交，
∴此一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故答案为：二．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过一、三象限，当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
13．某数学活动小组的20名同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位开始，每位同学一次
报自己的顺序数的倒数加1，第一同学报（+1），第二位同学报（+1），第三位同学报（+1），…这样得到的20个数的积为21 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】根据已知得出数字变化规律，即可得出这样20个数据，进而得出这样20个数的积分子与分母正好能约分，最后剩下21，即可得出答案．
【解答】解：∵第一同学报（+1），第二位同学报（+1），第三位同学报（+1），…
∴这样20个数据分别为：（ +1）=2，（ +1）=，（ +1）=…（+1）=，（ +1）=，
故这样得到的20个数的积为：2×××…××=21，
故答案为：21．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出20个数据，进而得出20个数的积是解题关键．
14．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为 3 cm．
【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边的倍．已知边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，说明⊙O的半径为，即OC=，又∠ACB=60°，
故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．
【解答】解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
且△ABC为等边三角形，边长为4，
故高为2，即OC=，
又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC=OC•cos30°=，
OF过圆心，且OF⊥CE，根据垂径定理易知CE=2FC=3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识．题目不是太
难，属于基础性题目．
15．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为 3 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，
∴a＞0．
﹣=﹣3，即b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，
∴m的最大值为3，
故答案为3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．
16．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值．
【考点】正方形的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】证明题；压轴题．
【分析】证△COA≌△DOB，推出等腰直角三角形AOB，求出AB=OA，得出要使AB最小，只要OA 取最小值即可，当OA⊥CD时，OA最小，求出OA的值即可．
【解答】解：
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠COA+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，
∴∠COA=∠DOB，
∵在△COA和△DOB中
，
∴△COA≌△DOB（ASA），
∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB==OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD=OF，
∴CA=DA，
∴OA=CF=1，
即AB=，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质，垂线段最短等知识点的应用，关键是求出AB=OA和得出OA⊥CD时OA最小，题目具有一定的代表性，有一定的难度．三、解答题（本大题共8小题，共52分，应写出必要的解答说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：|﹣2|﹣（﹣3）0+（﹣1）2015．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【专题】计算题．
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用乘方的意义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2﹣1﹣1=0．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=2，b=﹣1．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=2，b=﹣1代入进行计算即可．
【解答】解：原式=×
=a﹣b，
当a=2，b=﹣1时，原式=a﹣b=2+1=3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30m，点C与点A在同一水平线上，A、B、P、C在同一平面内．
（1）求居民楼AB的高度；
（2）求C、A之间的距离．
（精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用在Rt△CPE中，由sin45°=，得出EC的长度，进而可求出答案．
（2）在Rt△CPE中，tan60°=，得出BP的长，进而得出PE的长，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点C作CE⊥BP于点E，
在Rt△CPE中
∵PC=30m，∠CPE=45°，
∴sin45°=，
∴CE=PC•sin45°=30×=15m，
∵点C与点A在同一水平线上，
∴AB=CE=15≈21.2m，
答：居民楼AB的高度约为21.2m；
（2）在Rt△ABP中
∵∠APB=60°，
∴tan60°=，
∴BP==m，
∵PE=CE=15m，
∴AC=BE=15+5≈33.4m，
答：C、A之间的距离约为33.4m．
【点评】此题主要考查了仰角、坡角问题的应用，要求学生借助仰角、坡角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数求解．
20．在学校大课间活动中，小英、小丽和小敏在操场上画出A、B两个区域，一起玩投沙包游戏，沙包落在A区域所得分值与落在B区域所得分值不同，当每个各投沙包四次时，其落点和四次总分如图所示．
（1）请求出A区域和B区域每个沙包落点的分值分别是多少？
（2）求小敏的得分．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设沙包落在A区域得x分，落在B区域得（34﹣3x）分，根据“小英的总分34分”“小丽的总分是32分”作为相等关系列方程组求得A区，B区的得分；
（2）小敏的总分=沙包落在A区域得分×1+沙包落在B区域得分×3，依此计算即可求解．
【解答】解：（1）设A区域和B区域每个落点的分值是x分，y分，依题意得
，
解得，
答：A区域和B区域每个落点的分值是9分，7分；
（2）x+3y=30，所以小敏的得分是30分．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
21．我市某中学艺术节期间，向学校学生征集书画作品．九年级美术李老师从全年级14个班中随机
抽取了A、B、C、D 4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）李老师采取的调查方式是抽样调查（填“普查”或“抽样调查”），李老师所调查的4个班征集到作品共12 件，其中B班征集到作品 3 ，请把图2补充完整．
（2）如果全年级参展作品中有4件获得一等奖，其中有2名作者是男生，2名作者是女生．现在要抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）由题意可求得李老师所调查的4个班征集到作品共：5÷=12（件），B班征集到作品：12﹣2﹣5﹣2=3（件）；继而可补全条形统计图；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽中一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵李老师所调查的4个班征集到作品共：5÷=12（件），
∴B班征集到作品：12﹣2﹣5﹣2=3（件）；
∴李老师采取的调查方式是抽样调查，李老师所调查的4个班征集到作品共12件，其中B班征集到作品3件，
故答案为：抽样调查；12；3；
补全图2，如图所示：
（2）画树状图如下：
∵所有等可能的情况有12种，其中一男一女有8种，
∴恰好抽中一男一女的概率为： =．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的点，且AP=AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若AC=3，求PD的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OA，求出∠AOC，求出∠ACP，得出∠P，求出∠AOD，推出∠PAO=90°，根据切线判定推出即可；
（2）根据∠ACD=30°，AC=3求出DC，求出半径，在Rt△PAO中根据勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）证明：连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
∵OA=OC，
∴∠ACP=∠CAO=30°，
∴∠AOP=60°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=90°，
即OA⊥AP，
∵点A在⊙O上，
∴AP是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°，
∴AD=AC∙tan30°=，CD=2AD=2，
∴DO=AO=CD=，
在Rt△PAO中，由勾股定理得：PA2+AO2=PO2，
∴32+（）2=（PD+）2，
∵PD的值为正数，
∴PD=．
【点评】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
23．在矩形ABCD中，AB=3米，BC=4米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点同时移动的时间为t秒（0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，PQ∥AB；
（2）设四边形ABQP的面积为y，当t为何值时，y的值最小？并求出这个最小值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）首先由勾股定理求得AC=5，然后根据AB∥PQ可得到，从而得到关于t的方程，从而可解得t的值；
（2）过点P作PE⊥BC，由PE∥AB可得到，从而可求得PE=3﹣，然后根据y=△ABC的面积﹣△PQC的面积列出t与y的函数关系式，最后利用配方法求得最小值即可．
【解答】解：（1）如图1所示：
在Rt△ABC中，AC=．
设运动时间为t，则PC=AC﹣AP=5﹣2t，QC=t，
∵AB∥PQ，
∴△CPQ∽△CAB．
∴，．
解得；t=；
（2）如图2所示：过点P作PE⊥BC．
设运动时间为t，则PC=AC﹣AP=5﹣2t，QC=t，
∵PE∥AB，
∴△CPE∽△CAB．
∴，即．
∴PE=3﹣．
∴△PQC的面积==﹣．
∴y=△ABC的面积﹣△PQC的面积==，
配方得：y=．
∴当t=时，y有最小值，最小值为y=．
【点评】本题主要考查的是二次函数和相似三角形的性质和判定的综合应用，利用相似三角形的性质求得PE的长，从而得到y与t的函数关系式是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）由∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（﹣1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得b，c的值；
（2）由直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，又由二次函数y=x2﹣2x﹣3，设点E（t，t+1），则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标；
（3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）由S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF即可求得；
②过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3），可得m2﹣2m﹣3=，即可求得点P的
坐标，又由过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3），可得n2﹣2n﹣2=﹣，求得点P的坐标，则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标．
【解答】解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），
∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），
∴，
解得：b=﹣2，c=﹣3；
（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，EF的最大值为，
∴点E的坐标为（，）；
（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．
可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）
S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=；
②如图：
ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）
则有：m2﹣2m﹣3=，
解得：m1=1+，m2=1﹣，
∴P1（1﹣，），P2（1+，），
ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）
则有：n2﹣2n﹣3=﹣，
解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去），
∴P3（，﹣），
综上所述：所有点P的坐标：P1（1+，），P2（1﹣，），P3（，﹣）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的
性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．。