最新人教A版选修4-1高中数学1.4直角三角形的射影定理公开课课件

题型一
题型二
题型三
【变式训练 2】 如图,已知∠BAC=90° ,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥ AC,垂足分别为 D,E,F.求证:
������������2 ������������
=
202 25
= 16.
∴DB=AB-AD=25-16=9. ∴CD = ������������· ������������ = 16 × 9 = 12.
题型一
题型二
题型三
反思1.本题可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后 用勾股定理求出CD;此外还有其他方法. 2.运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,有时需要与直角 三角形的其他性质相结合来解.如本题中,直角三角形中的六条线 段AC,BC,CD,AD,DB,AB,若已知其中任意两条线段的长,就可以计 算出其余线段的长.
题型一
题型二
题型三
题型一
与射影定理有关的计算问题
【例1】 若CD是Rt△ACB斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定 DB和CD的长. 分析:先用射影定理求出AD,从而求出DB,再用 射影定理求出CD. 解:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AC2=AD· AB,CD2=AD· DB.
∴AD=
1
2
名师点拨 1.勾股定理:AC2+BC2=AB2,AD2+CD2=AC2,BD2+CD2=BC2.
������△������������������ 2.面积关系:AC· BC=AB· CD=2S△ABC, ������△������������������
=
������������ ������������2 = 2. ������������ ������������
1
2
2.射影定理
文字 语言 符号 语言 图形 语言 作用 确定成比例的线段 直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例 中项;两条直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例 中项 在 Rt△ABC 中,AC⊥ CB,CD ⊥AB 于点 D,则 CD2=BD· AD;AC2=AD· AB;BC2=BD· BA
������������ ������������
2
=
������������ , 通过中间变量即可得证. ������������
������������ =CD· BC,即 ������������
=
������������ . 又由EF∥ ������������
题型一
题型二
题型三
证明 :∵∠BAC=90° ,AD⊥BC, 由射影定理 ,知 AC
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高.若AD=2 cm,DB=6 cm,求CD,AC,BC的长. 解:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴CD2=AD· DB=2×6=12,
∴CD = 12 = 2 3(cm). ∵AC2=AD· AB=2×(2+6)=16, ∴AC= 16 = 4(cm). ∵BC2=BD· AB=6×(2+6)=48, ∴BC= 48 = 4 3(cm).
������������ ������������ ������������ ������������
= =
������������ , ������������ ������������ , 即EF∶DF=BC∶AC. ������������
反思利用射影定理证明比例式成立的证明问题在本部分中比较 常见,在解题过程中,应弄清射影定理中成比例的线段,再结合比例 的基本性质加以灵活运用.
故 CD,AC,BC 的长分别为 2 3 cm,4 cm,4 3 cm.
题型一
题型二
题型三
题型二
与射影定理有关的证明问题
【例2】 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分 ∠ABC交AC于点E,EF⊥BC于点F.求证:EF∶D,得
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【做一做2-1】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且 CD=4,则AD· DB等于( ) A.16 B.4 C.2 D.不确定 解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD· DB=CD2. 又∵CD=4,∴AD· DB=42=16. 答案:A
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【做一做2-2】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,点C在AB上的正射影 为点D,且AC=3,AD=2,则AB= . 解析:∵AC⊥CB, 又∵点D是点C在AB上的正射影, ∴CD⊥AB,∴AC2=AD· AB. 又∵AC=3,AD=2,
四
直角三角形的射影定理
1.掌握正射影即射影的概念,能画出点和线段的射影. 2.理解并掌握射影定理,并能解决有关问题.
1
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1.射影 从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的 正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫 做这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影. 【做一做1】 线段MN在直线l上的射影不可能是 ( ) A.点 B.线段 C.与MN等长的线段 D.直线 解析:当MN⊥l时,射影是一个点;当MN与l不垂直时,射影是一条线 段;特别地,当MN∥l或MN在l上时,射影与MN等长,线段MN的射影不 可能是直线. 答案:D
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������������ =CD· BC,即 ������������
=
������������ . ������������
∵BE 平分 ∠ABC,EA⊥AB,EF⊥BC, ∴AE=EF. ∵EF⊥BC,AD⊥BC, ∴EF∥AD.∴
∴
������������ ������������
=
������������ .∴ ������������
∴AB=
答案:
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������������2 ������������
= .
9 2
用射影定理证明勾股定理
剖析:如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,则由射影定理 可得AC2=AD· AB,BC2=BD· BA, 则AC2+BC2=AD· AB+BD· BA=(AD+BD)· AB=AB2,即 AC2+BC2=AB2. 由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积 割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定 理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.