近年高考数学复习 第2章 函数、导数及其应用 第4节 二次函数的再研究与幂函数教师用书 文 北师大

2018高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第4节二次函数的再研究与幂函数教师用书文北师大版
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第四节二次函数的再研究与幂函数
［考纲传真] 1。

(1）了解幂函数的概念；（2）结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝错误!，
y＝x的图像，了解它们的变化情况。

2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
1．二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
一般式:f (x）＝ax 2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f （x)＝a（x－h）2＋k(a≠0),顶点坐标为(h，k)；
零点式：f （x）＝a(x－x1)(x－x2）（a≠0），x1,x2为f （x)的零点．
（2)二次函数的图像与性质
函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0)y＝ax2＋bx＋c（a＜0）
图像
定义域R
值域错误!错误!
单调性在错误!上减，
在错误!上增
在错误!上增，
在错误!上减
对称性函数的图像关于x＝－错误!对称
2.幂函数
（1)定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα,这样的函数称为幂函数．
（2)五种常见幂函数的图像与性质
y＝x y＝x2y＝x3y＝x错误!y＝x－1
图像
定义域R R R｛x｜x≥0}{x｜x≠0}
值域R｛y｜y≥0｝R｛y|y≥0｝{y|y≠0}
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
单调性增
(－∞，0)
减,
（0，＋∞）
增
增增
(－∞，0)
和
(0,＋∞）减公共点（1,1)
1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c,x∈R，不可能是偶函数．( ）
(2）二次函数y＝ax2＋bx＋c,x∈［a,b］的最值一定是错误!.( )
（3)幂函数的图像一定经过点(1,1）和点（0，0）．( ）
(4)当n＞0时，幂函数y＝x n在(0,＋∞）上是增函数．（）
[答案] (1）×(2)×（3)×（4）√
2．（教材改编）已知幂函数f （x）＝xα的图像过点(4,2)，若f （m）＝3,则实数m的值为（）
A.错误!B．±错误!
C．±错误!D．9
D［由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝错误!。

所以f （x)＝x错误!＝错误!，
故f （m）＝m＝3⇒m＝9.]
3．已知函数f (x)＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方,则a的取值范围是( ）
【导学号：66482042】
A.错误!B．错误!
C。

错误!D．错误!
C［由题意知错误!即错误!得a＞错误!.］
4．(2017·贵阳适应性考试（二))二次函数f （x）＝2x2＋bx－3（b∈R）零点的个数是( ）
【导学号：66482043】A．0 B．1
C．2 D．4
C［因为判别式Δ＝b2＋24＞0，所以原二次函数有2个零点,故选C。

]
5．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（－2，0)，B(4，0）且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________。

【导学号:66482044】y＝－x2＋2x＋8 ［设y＝a(x＋2)(x－4），对称轴为x＝1，
当x＝1时,y max＝－9a＝9，∴a＝－1，
∴y＝－（x＋2)(x－4）＝－x2＋2x＋8.]
求二次函数的解析式
已知二次函数f (x)满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f （x）的最大值是8,试确定此二次函数的解析式．
［解］法一（利用一般式）：
设f （x）＝ax2＋bx＋c(a≠0)。

2分
由题意得错误!8分
解得错误!
∴所求二次函数为f （x)＝－4x2＋4x＋7. 12分
法二(利用顶点式):
设f (x）＝a(x－m）2＋n。

∵f (2)＝f (－1），
∴抛物线的图像的对称轴为x＝错误!＝错误!。

3分
∴m＝错误!。

又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.
∴y＝f （x）＝a错误!2＋8. 8分
∵f （2）＝－1，∴a错误!2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f （x）＝－4错误!2＋8＝－4x2＋4x＋7. 12分
法三（利用零点式）:
由已知f （x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，2分
故可设f (x)＋1＝a（x－2)（x＋1)，
即f (x）＝ax2－ax－2a－1。

6分
又函数的最大值是8，即错误!＝8,
解得a＝－4，
∴所求函数的解析式为f （x)＝－4x2＋4x＋7. 12分
[规律方法］用待定系数法求二次函数的解析式,关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下
[变式训练1] 已知二次函数f （x)的图像经过点（4,3)，它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R，都有f (2－x)＝f （2＋x），求f （x）的解析式．
[解］∵f (2－x)＝f （2＋x）对x∈R恒成立，
∴f （x）的对称轴为x＝2. 2分
又∵f (x）的图像被x轴截得的线段长为2，
∴f (x)＝0的两根为1和3. 6分
设f （x）的解析式为f （x）＝a（x－1)（x－3)(a≠0)．
又∵f （x）的图像过点（4,3），
∴3a＝3，a＝1. 10分
∴所求f （x）的解析式为f (x)＝（x－1）（x－3)，
即f (x)＝x2－4x＋3. 12分
二次函数的图像与性质
☞角度
(1)设abc＞0，则二次函数f （x）＝ax2＋bx＋c的图像可能是( )
A B C D
(2)已知函数f （x)＝x2＋mx－1,若对于任意x∈［m，m＋1］，都有f （x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．
（1)D(2)错误!［(1）由A，C，D知，f （0)＝c＜0.
∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－错误!＞0，知A，C错误，D符合要求．由B知f (0）＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－错误!＜0，B错误．
(2）作出二次函数f （x）的图像，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f (x)＜0,则有错误!
即错误!解得－错误!＜m＜0。

］
☞角度2 二次函数的最值问题
(1)（2017·广西一模）若x log52≥－1,则函数f （x)＝4x－2x＋1－3的最小值为（)
【导学号:66482045】A．－4 B．－3
C．－1 D．0
（2)（2017·安徽皖北第一次联考）已知函数f （x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，1]上的最大值为2，则a的值为（）
A．2 B．－1或－3
C．2或－3 D．－1或2
（1）A(2)D[(1)x log52≥－1⇒log52x≥log55－1⇒2x≥错误!，
令t＝2x错误!,则有y＝t2－2t－3＝(t－1）2－4，
当t＝1≥错误!，即x＝0时，f (x）取得最小值－4.故选A.
(2）函数f （x）＝－(x－a）2＋a2－a＋1图像的对称轴为x＝a,且开口向下，分三种情况讨论如下：
①当a≤0时，函数f (x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，1］上是减函数，
∴f （x）max＝f (0）＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1。

②当0＜a≤1时，函数f (x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，a］上是增函数，在［a,1]上是减函数,
∴f (x)max＝f （a）＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1,
由a2－a＋1＝2，解得a＝错误!或a＝错误!。

∵0＜a≤1,∴两个值都不满足,舍去．
③当a＞1时，函数f （x）＝－x2＋2ax＋1－a在区间［0，1]上是增函数，
∴f （x)max＝f （1）＝－1＋2a＋1－a＝2，∴a＝2。

综上可知,a＝－1或a＝2.]
☞角度3 二次函数中的恒成立问题
已知a是实数，函数f （x）＝2ax2＋2x－3在x∈［－1，1］上恒小于零，则实数a的取值范围为________．
错误!［由题意知2ax2＋2x－3＜0在［－1,1］上恒成立．
当x＝0时，适合；
当x≠0时，a＜错误!错误!2－错误!。

因为错误!∈(－∞，－1］∪［1，＋∞），当x＝1时，右边取最小值错误!,所以a＜错误!.
综上，实数a的取值范围是错误!.］
[规律方法] 1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解,三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴,结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．2．由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f （x)⇔a≥f （x)max，a≤f (x)⇔a≤f （x)min.
幂函数的图像与性质
（1）幂函数y＝f (x)的图像过点（4,2），则幂函数y＝f （x）的图像是( )
A B C D
（2）已知幂函数f (x)＝xm2－2m－3(m∈N*）的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞）上是减函数，则m的值为________．
（1）C(2）1[（1）令f (x）＝xα，则4α＝2，∴α＝1 2，
∴f (x)＝x 1 2。

（2)∵f (x）在（0，＋∞）上是减函数，
∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.
又m∈N＊，∴m＝1或m＝2.
由于f (x)的图像关于y轴对称．
∴m2－2m－3的值应为偶数，
又当m＝2时，m2－2m－3为奇数,
∴m＝2舍去．因此m＝1。

]
［规律方法]1。

幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
2．若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数,则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
3．若幂函数y＝xα在（0，＋∞）上递增，则α＞0，若在（0，＋∞）上递减,则α＜0.
［变式训练2] (1)设a＝0.5错误!，b＝0。

9错误!，c＝log50.3，则a，b，c的大小关系是（)
【导学号：66482046】A．a＞c＞b B．c＞a＞b
C．a＞b＞c D．b＞a＞c
（2）若(a＋1)错误!＜（3－2a)错误!,则实数a的取值范围是________．
（1）D（2)错误!［(1）a＝0.5错误!＝0。

25错误!，b＝0.9错误!,所以根据幂函数的性质知b＞a＞0，而c＝log50。

3＜0，所以b＞a＞c。

(2)易知函数y＝x错误!的定义域为[0，＋∞），在定义域内为增函数，所以错误!解得－1≤a ＜错误!.］
[思想与方法]
1．二次函数的三种形式的选法
（1）已知三个点的坐标时，宜用一般式．
(2）已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关的量时,常使用顶点式．
（3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x）更方便．2．研究二次函数的性质要注意
(1）结合图像分析；
(2）含参数的二次函数,要进行分类讨论．
3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点,转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
4．幂函数y＝xα（α∈R)图像的特征
α〉0时,图像过原点和(1，1)，在第一象限的图像上升；
α＜0时，图像不过原点,在第一象限的图像下降，反之也成立．
［易错与防范］
1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，若是二次函数,就隐含着a≠0，当题目条件中未说明a≠0时,就要分a＝0，a≠0两种情况讨论．
2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．。