内蒙古包头市第四中学2021-2022高二数学下学期期中试题 理(含解析).doc

包头四中2021-2022度第二学期期中考试
高二年级数学（理科）试题
满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(1)(2)i i +-= A. 3i -- B. 3i -+ C. 3i - D. 3i +
【答案】D 【解析】 【分析】
由复数的乘法运算展开即可．
【详解】解： ()()2
1i 2i 2i 2i 3i i +-=-+-=+
故选D.
【点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.已知椭圆22
11636
x y +=上一点P 到椭圆一个焦点的距离是3,则点P 到另一个焦点的距离为
( ) A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据条件求出a ＝6；再根据椭圆定义得到关于所求距离d 的等式即可得到结论． 【详解】设所求距离为d ，由题得：a ＝6．
根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a 得：2a ＝3+d ⇒d ＝2a ﹣3＝9． 故选D ．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口． 3.抛物线2
2x y =的焦点坐标是（ ）
A. （0,1）
B. （
1
2
，0） C. （1,0） D. （0，1
2
）
【答案】D 【解析】 【分析】
由抛物线焦点的定义直接求解即可.
【详解】抛物线2
2x y =开口向上，焦点为（0，1
2
）， 故选D.
【点睛】本题主要考查了抛物线焦点坐标的求解，解题的关键是将抛物线的方程写出标准方程，注意开口，属于基础题.
4.已知曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点，则该双曲线的
离心率为（ ）
A. 2
C. 3
【答案】A 【解析】 【分析】
将点
代入双曲线的渐近线方程，由此求得b
a
的值，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为b
y x a
=，将点代入双曲线的渐近线方程得
b a =b a =2e ===，故选A. 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的离心率的求法，属于基础题. 5.曲线21x
y e
-=+在点(0,2)处的切线方程为（ ）
A. 22y x =--
B. 22y x =+
C. 22y x =-+
D. 22y x =-
【答案】C 【解析】
试题分析：()()22,02x
f x e
f -''=-=-，故切线为22,22y x y x -=-=-+.
考点：导数与切线．
6.设函数f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x ）的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.
【详解】根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题. 7.若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则可能使//l α的是（ ） A. ()1,0,0m =，()2,0,0n =- B. ()1,3,5m =，()1,0,1n = C. ()0,2,1m =，()1,0,1n =-- D. ()1,1,3m =-，()0,3,1n =
【答案】D 【解析】 【分析】
若//l α，则m n ⊥，因此只需向量数量积为0即可.
【详解】A 中20m n =-≠，所以排除A ；B 中1560m n =+=≠，所以排除B ； C 中1m n =-，所以排除C ；D 中0m n =，所以m n ⊥，能使//l α.
故选D
【点睛】本题主要考查空间向量的方法判断线面平行，由向数量积为0即可，属于基础题型. 8.已知()f x 的导函数为()'f x ，且满足()3
2
2'3f x x f x x ⎛⎫=+-
⎪⎝⎭
，则()1f =（ ） A. -2 B. 2 C. -1
D. 1
【答案】C 【解析】 【分析】 利用导数求得2'3f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值，再由此求得()1f 的值. 【
详解】依题意()2
23213f x x
f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭''，故2
''22223213333f f
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
213f ⎛⎫
=- ⎪⎭
'⎝，所以()32f x x x x -=-，()11f =-，故选C. 【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查函数值的求法，属于基础题.
9.如果过点M(-2,0)的直线l 与椭圆2x 2
+y 2
=1有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是
( )
A. -∞⎛ ⎝⎦
B. ∞⎫
+⎪⎪⎣⎭ C. 11-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D. -,22⎡⎢⎣⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
设过点M （-2，0）的直线l 的方程为y=k （x+2），与椭圆方程联立，得（2k 2+1）x 2+8k 2x+8k 2
-2=0，进而利用根的判别式能求出直线l 的斜率k 的取值范围 【详解】设过点M （-2，0）的直线l 的方程为y=k （x+2），
联立()22
212
y k x x y ⎧+⎪⎨+=⎪⎩＝ ，得（2k 2+1）x 2+8k 2x+8k 2
-2=0， ∵过点M （-2，0）的直线l 与椭圆2
212
x y +=有公共点，
∴△=64k 4-4（2k 2+1）（8k 2-2）≥0， 整理，得k 2≤
12
解得-k 22
≤≤
∴直线l 的斜率k
的取值范围是⎡⎢⎣
⎦ 故选D 【点睛】直线与椭圆有交点，通常联立方程，得一元二次方程组，将问题转化为一元二次方程组有解. 10.若函数2
1(x)2ln 2
f x x b x =-++在() 0,+∞ 上是减函数，则 b 的取值范围是（ ） A. (]
,1-∞-
B. (),1-∞-
C. ()1,-+∞
D.
[)1,-+∞
【答案】A 【解析】
【详解】分析：()2
12ln 2
f x x x b x =-
++在()0,∞+上是减函数等价于()'0f x ≤在()0,∞+上恒成立，利用分离参数求解即可.
详解：因为()2
12ln 2
f x x x b x =-
++在()0,∞+上是减函数， 所以()'0f x ≤在()0,∞+上恒成立， 即()'2+
0b
f x x x
=-+≤，即22b x x ≤-， ()2
22111,1x x x b -=--≥-∴≤-，故选A
点睛：本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间
[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等
式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围.
11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）
3λ B.
2
2
C.
23
λ 5 【答案】D 【解析】 【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M 到平面D 1EF 的距离,N 到面的距离是M 到该面距离的一半． 【详解】解：以D
原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，
则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1）
，EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1）， 设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），
则1·20·20n ED x z n EF y ⎧=-+=⎨==⎩
，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），
∴点M 到平面D 1EF 的距离为：
d ＝
22555
EM n n
=
=，N 为EM 中点，所以N 5
，选D ．
【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，以及数形结合思想．
12.若函数()()()2
122ln 02
ax f x a x x a =-++>在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极大值，则a 的取值范
围是（ ）
A. 1
,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B. 1,
C. 1,2
D.
2,
【答案】C 【解析】
试题分析：由()()2
122(0)2
ax f x a x lnx a =-++>，
∴导数()()212f x ax a x
=-++
' ， 因为函数()()2
122(0)2
ax f x a x lnx a =-++>在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极大值，
∴方程 ()()2120f x ax a x =-++
='在在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内有解， 即：方程()2120ax a x -++
=在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内有解， ∴1a x =在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内有解，
故 ()1
1,2a x
=
∈ ， 则a 的取值范围是()1,2 . 选C.
点睛：对于涉及函数的极值问题时，往往要使用导数这个解题的工具，在解题时要注意运用等价转化的解题思想，把函数()f x 在区间1,12
⎛⎫ ⎪⎝⎭
内有极大值的问题转化为导函数对应的
方程在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内有解的问题，然后再通过分离参数的方法求出参数a 的范围. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知抛物线2
4y x =-的准线经过椭圆22
2
1(0)4x y b b +=>的焦点，则b =________．
【解析】 【分析】
先根据抛物线的方程求得准线方程，根据椭圆的方程求得焦点，代入抛物线的准线方程求得
b ．
【详解】解：依题意可得抛物线2
4y x =-的准线为1x =，又因为椭圆焦点为(
)
1=．即b 2＝3故b =
．
【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质，椭圆的标准方程．考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握． 14.
()
3
2
3
2sin x
x dx --=⎰________．
【答案】18 【解析】 【分析】
先求出被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理即可得出答案．
【详解】()3
2
33
312sin 2cos 33x x dx x x -⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭⎰.
()()1
1272cos3272cos 333⎛⎫⎡⎤=⨯+-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
=18
【点睛】本题主要考察微积分基本定理的应用，属于基础题
15.双曲线22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，
点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 【答案】2 【解析】
试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=︒，所以直线OA 的方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知22OB =，所以
22222(22)a b a a +=+=，2a =．故答案为2．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为
的形式，当，，
时为椭圆，当
时为双曲线.
16.若函数()3
2
ln f x x x x x ax =-+-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______.
【答案】(),0-∞ 【解析】 【分析】
转化条件得2ln a x x x =-+有两个不同实数根，令()2
ln g x x x x =-+，通过导数画出函
数()g x 的
草图后数形结合即可得解. 【详解】
函数()f x 的定义域为()0,∞+，
∴函数()32322ln 0ln ln f x x x x x ax ax x x x x a x x x =-+-=⇔=-+⇔=-+， ∴
函数()f x 有两个不同的零点即为2ln a x x x =-+有两个不同实数根，
令()2
ln g x x x x =-+，则()()()2111
21x x g x x x x
+-+'=
-+=， ∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；
当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减.
()10g =，
∴可画出函数()g x 的草图，如图：
由图可知，要使2ln a x x x =-+有两个不同实数根，则0a <. 故答案为：(),0-∞.
【点睛】本题考查了导数的应用，考查了数形结合思想，属于中档题.
三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.
17.如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA
OB OC ，，两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点.
（1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； （2）求直线A E 和平面OBC 的所成角.
【答案】（1）2
5；（2）4
π 【解析】 【分析】
（1）建立空间直角坐标系，通过直线方向向量夹角的余弦值得到异面直线所成角的余弦值. （2）通过直线的方向向量与平面的法向量所成的角计算线面角.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()0,0,1,2,0,0,0,2,0A B C ，()0,1,0E ， （1）()2,1,0BE =-，()0,2,1AC =-，故
2cos ,555BE AC =
=⨯，所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为2
5
.
（2）平面OBC 的法向量为()0,0,1n =，()0,1,1EA =-，故
2
cos ,212n EA =
=
⨯，因[],0,n EA π∈，故,4n EA π=，故AE 与平面OBC 所成的角为
2
44
π
π
π
-
=
.
【点睛】立体几何中空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.注意求线面角θ 时，直线的方向向量与平面的法向量的夹角α的关系是2
π
αθ-
=.
18.已知焦点为F 的抛物线C ：22(0)x py p =>过点(2,)M m ，且2MF =.
（1）求,p m ；（2）过点M 作抛物线C 的切线l ，交y 轴于点N ，求MFN ∆的面积. 【答案】（1）2p =1m =（2）1 【解析】
试题分析：（1）利用抛物线的定义，结合抛物线C ：2
2(0)x py p =>过点()2,M m ，且
2MF =.
列出方程组，即可求出,p m ；
（2）由24
x y =得'2x y =所以斜率为1，进而求得直线方程为1y x =-得()0,1N -，由此
可求MFN ∆的面积. 试题解析：
（1）由4222pm
p m =⎧⎪
⎨=+⎪⎩得2p = 1m =，
； （2）由2
4
x y =得'2x y =所以斜率为1
直线方程为1y x =-得()0,1N -，所以MFN ∆的面积是1. 19.已知函数32
5f x
x ax bx ，曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程为
31y x .
（1）求()y f x =在R 上的单调区间； （2）求()y f x =在[]3,1-上的最大值. 【答案】（1）增区间为(),2-∞-，2,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭；减区间为22,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭.（2）13
【解析】 【分析】
（1）求导得()2
32f x x ax b '=++，由题意得()13f '=，64a b ++=，解方程组即可得
解；
（2）求出函数()f x 在[]3,1-的极值和端点值，比较即可得解.
【详解】（1）函数32
5f x
x ax bx 的导数为()232f x x ax b '=++，
曲线()y f x =在点()()
1,1P f 处的切线斜率为32k a b =++， 切点为()1,6a b ++， 由切线方程为31y
x ，可得323a b ++=，64a b ++=，
解得2a =，4b =-. 函数32
5f x
x ax bx 的导数()()()2344232f x x x x x '=+-=+-， 由()0f x '>，可得23
x >
或2x <-；由()0f x '<，可得2
23x -<<.
则()f x 的增区间为(),2-∞-，2,3⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭；减区间为22,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭.
（2）由（1）可得()f x 的两极值点分别为-2，
2
3， ()2888513f -=-+++=，288
8
95
53279327f ⎛⎫=+-+= ⎪⎝⎭
，
又()327181258f -=-+++=，()14f = . 故()y f x =在[]3,1-上的最大值为13.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的最值，属于基础题. 20.已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x 轴，离心率5
e =，短轴长为4，（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B ，两点，求AB 的中点坐标及其弦长|AB|．
【答案】（1）22
154
x y ∴+=椭圆的标准方程为：
（2）AB 的中点为5
1(,)63
-，
【解析】 解：（1）
5c a =
24,2
b b =∴=………2分
设2222225,5255204a k c k
b a
c k k k ===-=-=
=
21
5k ∴=15,15k a c ∴=∴==………5分 22
154
x y ∴+=椭圆的标准方程为：………6分
(2)椭圆的右焦点为（1，0），2(1)AB y x 直线方程为：∴=-设A(
) B(
)
22
2
2(1){350154
y x x x x y
=--=+=由得解得125
0,3
x x ==
………9分 设AB 中点坐标为(,)o o x y ，则1200051
,22263
x x x y x +=
==-=- 所以AB 的中点为5
1(,)63
-………11分
法一：2
2545455(0,2),(,),()233333A B AB ⎛⎫-∴=++= ⎪⎝
⎭……13分 法二：12125{
3
x x x x +==
21.如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，且90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，
1BC =， 16AA =，点P ，M ，N 分别为
1BC 、1CC 、1AB 的中点.
（1）求证：11AB A M ⊥；
（2）求二面角111C AB A --的余弦值.
【答案】（1）见解析（26
【解析】
【分析】
（1
）由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后即可得(11,AB =
，
10,A M ⎛= ⎝⎭
，由110AB A M ⋅=即可得证；
（2）分别求出平面11AB C 、平面11AA B 的一个法向量后，根据cos cos ,m n θ=即可得解. 【详解】（1）在直角ABC ∆中，∵1BC =，30BAC ∠=︒
，∴11AC AC == ∵棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，且90ACB ∠=︒，
以点1C 为原点，以11C B 所在的直线为x 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则()10,0,0C
，()1A ，()11,0,0B
，(A
，0,0,2M ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
∴(11,AB =
，10,A M ⎛= ⎝⎭
，
∵1130AB A M ⋅==，∴11AB A M ⊥. （2）依题意得()10,0,0C
，()1A ，()11,0,0B
，(A
，(B
，
(C
，M ⎛ ⎝⎭
，
∴(10,C A =，()111,0,0C B
=，(1A A
=，()
111,A B =， 设平面11AB C 的一个法向量为()111,,n x y z =，
由11100n C B n C A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪
⎩
得1110
x =⎧⎪=，令1z =得()
0,2,1n =-， 设平面11AA B 的一个法向量为()222,,m x y z =，
由11100m A A m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪
⎩得22200
z x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令21y =得(
)
3,1,0m =
，
故二面角的平面角θ
的余弦值为2cos cos ,32
m n m n m n
θ⋅==
=
=⋅⋅.
【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了运算能力，属于中档题.
22.已知函数322
()7(,)f x x ax bx a a a b R =++--∈，且1x =时()f x 有极大值10.
（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）若
'()f x 为()f x 的导函数，不等式1'()(ln 1)523
f x k x x x >--+（k 为正整数）
对任意正实数x 恒成立，求k 的最大值.（注：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61≈≈≈）.
【答案】（Ⅰ）32
()696f x x x x =-++；（Ⅱ）4.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据在1x =时f(x)有极大值10得21a b =-=，或69a b =-=，，再检验舍去21a b =-=，，即得函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）原命题等价于1
1ln 0k x k x x
+++->，记1
1ln k x k x x
ϕ++
+-（x)=，证明()(1)3ln(1)x k k k k ϕϕ≥+=+-+，原命题等价于等价于31+
ln(1)0k k
-+>，记3
()1ln(1)m k k k =+-+，求出k 的最大值.
【详解】（Ⅰ）由2
'()32f x x ax b =++，因为在1x =时f(x)有极大值10，
所以2
320
1710a b a b a a ++=⎧⎨++--=⎩
，从而得2a =-或6a =-， 2a =-时，1b =，
此时2
'()341f x x x =-+，当1
(,1)3
x ∈时，'()0f x <，当(1,)x ∈+∞时， '()0f x >，∴在1x =时f(x)有极小值，不合题意，舍去；
6a =-时，9b =，此时2'()3(43)f x x x =-+，符合题意．
∴所求
32()696f x x x x =-++ .
（Ⅱ）由（1）知2
'()3(43)f x x x =-+，所以等价于
1
'()(ln 1)523
f x k x x x >--+等价于 2+1(ln 1)x x k x x +>-，即1
1ln 0k x k x x
++
+->， 记11ln k x k x x ϕ+++-（x)=，则22
1(1)(1)
()1k k x x k x x x x ϕ++--'=--=, 由()0x ϕ'
>，得x ＞k+1，所以()x ϕ在(0,k+1)上单调递减，在(k+1,+∞)上单调递增，
所以()(1)3ln(1)x k k k k ϕϕ≥+=+-+，
()0x ϕ>对任意正实数x 恒成立，等价于3ln(1)0k k k +-+>，
即3
1+
ln(1)0k k
-+>， 记3
()1ln(1)m k k k =+
-+因为()m k 在(0,+∞)上单调递减，又7(4)ln504
m =->，8
(5)ln 605
m =-<，∵k Z ∈，∴k=1,2,3,4， 故k 的最大值为4.
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。