2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区八年级(下)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是题目要求的）
1．（2分）下列图形是以数学家名字命名的，其中属于中心对称图形的是（）
A．笛卡尔心形线B．赵爽弦图
C．莱洛三角形D．斐波那契螺旋线
2．（2分）下列结论中正确的是（）
A．为了调查中央电视台“经典咏流传”节目的收视率，采取普查的方式
B．嫦娥六号探测器发射前的零部件检查，采取抽样调查的方式
C．“随机选择一个南京景点游玩，恰好选中阅江楼”是随机事件
D．“打开电视，播放体育赛事”是必然事件
3．（2分）当m≠n，下列分式的化简结果为的是（）
A．B．C．D．
4．（2分）下列计算正确的是（）
A．B．
C．D．
5．（2分）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．下列结论：①四边形EGFH是平行四边形；②当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形；③当AC⊥BD时，四边形EGFH 是矩形．其中所有正确结论的序号是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
6．（2分）关于函数的描述，正确的是（）
A．它的自变量取值范围是全体实数B．它的图象关于原点成中心对称
C．它的图象关于直线y＝x成轴对称D．在自变量的取值范围内，y随x的增大而增大
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．
8．（2分）分式与的最简公分母是．
9．（2分）化简的结果是．
10．（2分）计算•（a≥0）的结果是．
11．（2分）若x2﹣x﹣2＝0，则＝．
12．（2分）在一个不透明的袋子中装有若干个白球和10个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验．然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球试验次数100100050001000050000100000“摸出白球”的次数55618303259573010459995根据试验所得数据，估计白球有个．
13．（2分）已知，用“＜”表示a，b，c的大小关系为．14．（2分）如图，在▱ABCD和▱BCEF中，M，N分别为对角线交点，已知BC＝10，且△MDA与△NEF 的周长分别为22与21，则四边形BNCM的周长为．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的两个顶点A，B坐标分别为（﹣2，0），，则C点的坐标为．
16．（2分）已知有两张全等的矩形纸片，长是6cm，宽是3cm．如图将这两张纸片叠合得到菱形ABCD．设菱形ABCD的面积为S cm2，则S的取值范围是．
三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）；（2）．
18．（8分）（1）化简：；（2）解方程．
19．（6分）（1）填空：，（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（2）若a≥0，b＞0，求证：＝．
20．（6分）如图，将△ABC绕点O按逆时针旋转得到△DEF，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质．
21．（6分）随着社会的发展，旅游业已成为全球经济中发展势头最强劲的产业之一．阅读以下统计图，并回答问题．
（1）在2016﹣2023年这8年中，农村居民国内旅游总花费超过7000亿元的年份的频率是；
（2）下列结论中，所有正确结论的序号是．
①2022年中国城镇和农村居民国内旅游花费的总和比2020年的总和多；
②2016﹣2019年中国城镇和农村居民旅游总花费逐步增长；
③2023年中国城镇居民旅游总花费的年增长率高于农村居民旅游总花费的年增长率．
（3）请结合如图提供的信息，写出一个与我国国内旅游花费相关的正确结论．
22．（6分）已知矩形的面积为10，长为x，宽为y．
（1）直接写出y与x的函数表达式（标注自变量x的取值范围）；
（2）若A（1，y1），B（3，y2）是该函数图象上的两个点，则y1y2；
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是该函数图象上的两个点，且x1＜x2，试说明y1＞y2．
23．（6分）甲、乙两地相距300km，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，实际行驶的速度比原计划的速度增加25%，结果提前1h到达．求汽车实际行驶的时间？
甲同学所列的方程为：（1+25%）•＝；
乙同学所列的方程为：＝+1．
（1）甲同学所列方程中的x表示；乙同学所列方程中的y表示．
（2）选择甲、乙两同学中的一个方法解答这个题目．
24．（7分）如图，在▱ABCD中，分别以AB，CD为边向内作△ABE和△CDF，且△ABE≌△CDF，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形．
（2）若点E在对角线BD上，且AE所在直线平分BC，当四边形AECF的面积为6时，▱ABCD的面积为．
25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为﹣1，﹣4．（1）方程的解是，不等式的解集是；
（2）在图中用直尺和圆规作出一次函数y＝kx﹣b的图象；
（3）直接写出的解集．
26．（8分）如图，菱形ABCD边长为6，∠ADC＝120°，点P在AB边上，且AP＝4，点Q是AD边上的一个动点，点Q从点A运动到点D．连接PQ，将线段PQ绕点P顺时针旋转60°得线段PQ′．（1）当点Q与点A重合时，在图中用直尺和圆规作出旋转后的线段PQ′；
（2）在点Q运动过程中，求证：点Q'在某一固定线段上运动；
（3）直接写出线段DQ′长度的取值范围．
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是题目要求的）
1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．【分析】根据全面调查与抽样调查、随机事件的概念判断即可．
【解答】解：A、为了调查中央电视台“经典咏流传”节目的收视率，采取抽样调查的方式，故本选项结论错误，不符合题意；
B、嫦娥六号探测器发射前的零部件检查，采取全面调查的方式，故本选项结论错误，不符合题意；
C、“随机选择一个南京景点游玩，恰好选中阅江楼”是随机事件，结论正确，符合题意；
D、“打开电视，播放体育赛事”是随机事件，故本选项结论错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是全面调查与抽样调查、随机事件，正确理解它们的概念是解题的关键．3．【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可得到答案．
【解答】解：A.已是最简分式，无法约分化简，故A选项错误，不符合题意；
B.已是最简分式，无法约分化简，故B选项错误，不符合题意；
C.＝＝，故C选项正确，符合题意；
D.已是最简分式，无法约分化简，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
4．【分析】利用二次根式的运算法则逐项判断即可．
【解答】解：＝＝，则A不符合题意；
＝＝＝4，则B不符合题意；
＝＝，则C不符合题意；
÷（）＝×＝×＝2，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．【分析】①根据三角形中位线定理得到EG＝AB，EG∥AB，FH＝AB，FH∥AB，根据平行四边形的判定定理证明结论；
②根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；
③根据矩形的判定定理解答．
【解答】解：①∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△DAB的中位线，
∴EG＝AB，EG∥AB，
同理，FH＝AB，FH∥AB，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
故①正确，符合题意；
②∵F，G分别是BC，BD的中点，
∴FG是△DCB的中位线，
∴FG＝CD，FG∥CD，
当AB＝CD时，EG＝FG，
∴四边形EGFH是菱形；
当AB与CD满足条件AB＝CD时，四边形EGFH是菱形，
故②正确，符合题意；
③∵HF∥AB，
∴∠HFC＝∠ABC，
∵FG∥CD，
∴∠GFB＝∠DCB，
当AB⊥CD时，
∴∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠HFC+∠GFB＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴平行四边形EGFH是矩形，
∴当AC⊥BD时，四边形EGFH不一定是矩形，
故③错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形、菱形的判定定理是解题的关键．6．【分析】根据正比例函数的性质判断即可．
【解答】解：A、它的自变量取值范围是x≥0，故不符合题意；
B、它的图象关于原点不成中心对称，故不符合题意；
C、它的图象不关于直线y＝x对称，不符合题意；
D、在自变量的取值范围内，y随x的增大而增大，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，关于原点对称的点的坐标，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．【分析】根据分式有意义的条件即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣4≠0，
∴x≠4．
故答案为：x≠4．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．8．【分析】根据最简公分母的定义解答即可．
【解答】解：∵分式与的分母分别是xy、yz，
∴最简公分母是xyz．
故答案为：xyz．
【点评】本题考查了最简公分母，熟知通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母是解题的关键．
9．【分析】先确定分式的分子、分母的公因式，再约分即可．
【解答】解：原式＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
10．【分析】根据二次根式的乘法，可得答案．
【解答】解：原式＝＝6a，
故答案为：6a．
【点评】本题考查了二次根式的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
11．【分析】先计算分式的加法，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵x2﹣x﹣2＝0，
∴x2﹣2＝x，
∴＝＝＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键．
12．【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解；
【解答】解：观察表格发现随着摸球次数的增多摸出黑球频率逐渐稳定在0.6附近，
故摸到黑球的概率估计值为0.6，
设白球x个，则：
＝0.6，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的根，且符合题意，
故答案为：15．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
13．【分析】根据的范围，得出a，b，c三个数的范围，据此得出大小关系．【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴7＜5+＜8，
即7＜a＜8；
∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴6＜3+＜7，
即6＜b＜7；
∵25＜30＜36，
∴5，
即5＜c＜6．
∴a，b，c的大小关系为：c＜b＜a．
【点评】本题主要考查了无理数的估算和实数的大小比较，正确得出的范围是解答本题的关键．
14．【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝10，EF＝BC＝10，AM＝CM，BM＝DM，BN＝EN，CN＝FN，根据三角形的周长公式得到△MDA的周长＝AD+AM+DM＝22，△NEF的周长＝EF+FN+EN ＝21，求得BM+CM＝DM+AM＝22﹣10＝12，BN+CN＝EN+FN＝21﹣10＝11，于是得到结论．
【解答】解：在▱ABCD和▱BCEF中，∵AD＝BC＝10，EF＝BC＝10，AM＝CM，BM＝DM，BN＝EN，CN＝FN，
∴△MDA的周长＝AD+AM+DM＝22，△NEF的周长＝EF+FN+EN＝21，
∴BM+CM＝DM+AM＝22﹣10＝12，BN+CN＝EN+FN＝21﹣10＝11，
∴四边形BNCM的周长＝BM+CM+BN+CN＝12+11＝23，
故答案为：23．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．15．【分析】作CE⊥y轴于E，由正方形ABCD的两个顶点A，B坐标分别为（﹣2，0），，得△CBE≌△BAO（AAS），得BE＝AO＝2，CE＝OB＝，即可得C（﹣，+2）．
【解答】解：作CE⊥y轴于E，
由正方形ABCD的两个顶点A，B坐标分别为（﹣2，0），，
得△CBE≌△BAO（AAS），
得BE＝AO＝2，CE＝OB＝，
得C（﹣，+2）．
故答案为：（﹣，+2）．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，解题关键是正确构造全等三角形．
16．【分析】当两张纸片叠合成如图1的正方形时面积最小，根据正方形的面积公式计算即可；当两张纸片叠合成如图2时，菱形ABCD的面积最大，先证△AFB≌△CEB得出AB＝CB，设AB＝CB＝x，在Rt△CBE中根据勾股定理即可求出x的值，再根据菱形的面积公式计算即可，从而得出S的取值范围．【解答】解：当两张纸片叠合成如图1时，菱形ABCD的面积最小，
此时菱形ABCD为正方形，
∵矩形的宽是3cm，
∴AB＝3cm，
∴正方形ABCD的面积为S＝32＝9（cm2）；
当两张纸片叠合成如图2时，菱形ABCD的面积最大，
∵矩形AECH和矩形AFCG全等，
∴AF＝CE＝3cm，∠AFB＝∠CEB＝90°，
又∵∠ABF＝∠CBE，
∴△AFB≌△CEB（AAS），
∴AB＝CB，
设AB＝CB＝x cm，
则BE＝AE﹣AB＝（6﹣x）cm，
在Rt△CBE中，由勾股定理得CB2＝BE2+CE2，
∴x2＝（6﹣x）2+32，
解得，
即AB＝cm，
∴S＝AB•CE＝（cm2），
∴S的取值范围是9≤S≤，
故答案为：9≤S≤．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟
练掌握菱形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】（1）先化简二次根式，在根据二次根式的加减运算的法则计算即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）
＝2﹣2
＝0；
（2）
＝2+21﹣7+5
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．18．【分析】（1）先算括号里面的，再算除法即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）原式＝[﹣]÷
＝•
＝•
＝；
（2）原方程去分母得：2（x﹣8）+6x＝8（2x﹣14），
整理得：8x﹣16＝16x﹣112，
解得：x＝12，
检验：当x＝12时，2x﹣14≠0，
故原方程的解为x＝12．
【点评】本题考查分式的混合运算及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．19．【分析】（1）根据二次根式的性质进行计算和把二次根式进行分母有理化化简，然后判断即可；
（2）利用二次根式的性质和把二次根式进行分母有理化进行证明即可．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：＝，＝；
（2）证明：∵a≥0，b＞0，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了二次根式的有关运算，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和如何把二次根式分母有理化．
20．【分析】利用旋转变换的性质解答即可（答案不唯一）．
【解答】解：性质1：△ABC≌△DEF；
性质2：OA＝OD；
性质3：∠AOD＝∠COF．
【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换以及扇形面积的计算的知识，解答本题的关键是找出旋转中心，正确地画出旋转图形是求线段AB扫过面积的基础，此题难度不大．
21．【分析】（1）根据统计图中的数据求解即可；
（2）根据统计图中数据解答即可；
（3）结合如图提供的信息，可得一个与我国国内旅游花费相关的正确结论．
【解答】解：（1）由题意可知，＝0.625，
故答案为：0.625；
（2）由统计图可知，
①2022年中国城镇和农村居民国内旅游花费的总和为16888+3565＝20453（亿元），
2020年中国城镇和农村居民国内旅游花费的总和为17967+4320＝22287（亿元），
22287＞20453，
∴2022年中国城镇和农村居民国内旅游花费的总和比2020年的总和少，故①错误；
②2016﹣2019年中国城镇和农村居民旅游总花费逐步增长，故②正确；
③2023年中国城镇居民旅游总花费的年增长率为×100%≈147.5%，
2023年农村居民旅游总花费的年增长率为×100%≈107.6%，
∴2023年中国城镇居民旅游总花费的年增长率高于农村居民旅游总花费的年增长率，故③正确．故答案为：②③；
（3）结合统计图提供的信息，可得如下结论：
整体而言，2023年是中国旅游市场强势复苏的一年，同时与疫情前的2019年相比，国内出游人次恢复到2019年同期的81.38%，与2019年差距明显缩小，彰显了国内旅游消费的活力与潜能．
【点评】本题考查的是条形统计图，频数与频率，根据统计图读取信息，准确识图，理解统计图中所反映的数据内容及其意义是解题关键．
22．【分析】（1）根据矩形的面积＝长×宽，列出解析式即可；
（2）将A，B两点的横坐标代入函数解析式，求出两点的纵坐标，比较大小即可；
（3）根据反比例函数增减性判断即可．
【解答】解：（1）根据题意得：xy＝10，
∴y＝（0＜x＜10），
∴y与x的函数表达式是y＝（0＜x＜10），
（2）当x＝1时，y1＝10，当x＝3时，y2＝，
∵10，
∴y1＞y2，
故答案为：＞；
（3）∵y与x的函数表达式是y＝，
∴k＝10＞0，
根据函数图象的性质可知：y随x的增大而减小，
∴当x1＜x2，y1＞y2．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题关键．23．【分析】（1）根据题目中的方程即可得到结论；
（2）设汽车原计划需行驶的时间为x h，则汽车实际行驶的时间为（x+1）h，根据题意列方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）甲同学所列方程中的x表示汽车原计划需行驶的时间；乙同学所列方程中的y表示y 表示实际行驶的速度，
故答案为：汽车原计划需行驶的时间；y表示实际行驶的速度；
（2）选择甲同学的方法，
设汽车原计划需行驶的时间为x h，则汽车实际行驶的时间为（x﹣1）h，
根据题意得，（1+25%）•＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，
∴x﹣1＝4，
答：汽车实际行驶的时间为4h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
24．【分析】（1）先由全等三角形的性质可得AE＝CF，再根据SAS证明△ADF≌△CBE，可得AF＝CE，可得结论；
（2）根据同高等底的三角形面积相等可解答．
【解答】（1）证明：∵△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠CBE＝∠ADF，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵点E在对角线BD上，△ABE≌△CDF，
∴点F在对角线BD上，
由（1）知：四边形AECF是平行四边形，且面积为6，
＝×6＝3，
∴S
△AEC
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
＝S△CEM，S△ABM＝S△ACM，
∴S
△BEM
＝S△AEC＝3，
∴S
△ABE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
＝S△COE＝1.5，
∴S
△AOE
＝4.5，
∴S
△AOB
∴▱ABCD的面积＝4×4.5＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，同高等底三角形面积相等，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．【分析】（1）根据两个函数图象交点的横坐标结合图象解答即可；
（2）画出图象即可；
（3）根据图象直接写出不等式解集即可．
【解答】解：（1）∵两个函数图象交点的横坐标分别为﹣1，﹣4，
∴方程的解是：x1＝﹣1，x2＝﹣4，
不等式的解集是：﹣4＜x＜﹣1或x＞0．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣4；﹣4＜x＜﹣1或x＞0．
（2）作图如下：
（3）不等式的解集为：0＜x＜1或x＞4．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象的对称性质是关键．26．【分析】（1）以点P为圆心，AP为半径作圆，交AD于Q'，即可求解；
（2）由旋转的性质可得PQ＝PQ'，∠QPQ'＝60°，由“SAS”可证△APQ≌△EPQ'，可得AQ＝EQ'，∠A＝∠PEQ'＝60°，则点Q'在过点E平行于AB的直线上运动，即可求解；
（3）由垂线段最短，可得当DQ'⊥EQ''时，DQ'有最小值，当点Q'在点Q''时，DQ'有最大值，由勾股定理可求解．
【解答】（1）解：如图1所示，以点P为圆心，AP为半径作圆，交AD于Q'，
则PQ'是所求的线段；
（2）证明：如图，在AD上截取AE＝AP，连接EP，EQ'，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴AD＝AB，∠A＝60°，
∵AP＝AE，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝PE，∠APE＝60°，
∵将线段PQ绕点P顺时针旋转60°得线段PQ′．
∴PQ＝PQ'，∠QPQ'＝60°，
∴∠APE＝∠QPQ'＝60°，
∴∠APQ＝∠EPQ'，
∴△APQ≌△EPQ'（SAS），
∴AQ＝EQ'，∠A＝∠PEQ'＝60°，
∴∠APE＝∠PEQ'＝60°，
∴EQ'∥AB，
∴点Q'在过点E平行于AB的直线上运动，
∵点Q是AD边上的一个动点，点Q从点A运动到点D．
∴Q'从点E出发，运动的距离为AD的长，即EQ''的长，
∴点Q'在某一固定线段上运动；
（3）如图2，过点D作D作DN⊥EQ'于N，
∵AE＝AP＝4，AD＝6，
∴DE＝2，
∵EQ'∥AB，
∴∠A＝∠DEN＝60°，
∵DN⊥EQ'，
∴∠EDN＝30°，
∴EN＝DE＝1，DN＝EN＝，
∵EQ'∥AB，AB∥CD，
∴EQ'∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四边形DCQ''E是平行四边形，
∴DC＝EQ''＝6，
∴NQ''＝5，
∴DQ''＝＝＝2，
∴≤DQ′≤2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键。